1、第一章 计数原理章末综合检测(一)第一章 计数原理一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的15 位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有()A10 种 B20 种C25 种D32 种解析：选 D.每位同学都有两种选择，因此，共有 2532 种不同的报名方法第一章 计数原理2(x2)6 的展开式中 x3 的系数是()A20 B40C80 D160解析：选 D.法一：设含 x3 的为第 k1 项，则 Tk1Ck6x6k2k，令 6k3，得 k3，故展开式中 x3 的系数为 C3623160.法二：根据
2、二项展开式的通项公式的特点：二项展开式每一项中所含的 x 与 2 的次数和为 6，则根据题意满足条件 x3 的项按3 与 3 分配即可，则展开式中 x3 的系数为 C3623160.第一章 计数原理3某中学高三学习雷锋志愿小组共有 16 人，其中一班、二班、三班、四班各 4 人，现从中任选 3 人，要求这三人不能全是同一个班的学生，且三班至多选 1 人，则不同选法的种数为()A484 B472C252 D232解析：选 B.若三班有 1 人入选，则另两人从三班以外的 12 人中选取，共有 C14C212264 种选法若三班没有人入选，则要从三班以外的 12 人中选 3 人，又这 3 人不能全来
3、自同一个班，故有 C3123C34208 种选法故总共有 264208472 种不同的选法第一章 计数原理4圆周上有 8 个等分圆周的点，以这些等分点为顶点的锐角三角形或钝角三角形的个数是()A16 B24C32 D48解析：选 C.圆周上 8 个等分点共可构成 4 条直径，而直径所对的圆周角是直角，又每条直径对应着 6 个直角三角形，共有 C14C1624 个直角三角形斜三角形的个数为 C38C14C1632 个第一章 计数原理5甲、乙、丙 3 位同学选修课程，从 4 门课程中，甲选修2 门，乙、丙各选修 3 门，则不同的选修方案共有()A36 种B48 种C96 种D192 种解析：选 C
4、.不同选修方案的种数为 C24C34C3496.第一章 计数原理6设(x21)(2x1)9a0a1(x2)a2(x2)2a11(x2)11，则 a0a1a2a11 的值为()A2 B1C1 D2解析：选 A.令 x1，即得 a0a1a2a112.第一章 计数原理7(x22)(1x21)5 的展开式的常数项是()A3 B2C2 D3解析：选 D.常数项由分别来自 x22，(1x21)5 的项组成，(1x21)5的展开式的通项为 Tr1Cr5(1x2)5r(1)r，则第一个因式取 2，第二个因式取(1)5，得 2(1)52；第一个因式取 x2，第二个因式取 1x2，得 1C45(1)45，因此，(
5、x22)(1x21)5 的展开式的常数项是 5(2)3.第一章 计数原理8(xy)(2xy)5 的展开式中 x3y3 的系数为()A80 B40C40 D80解析：选 C.当第一个括号内取 x 时，第二个括号内要取含x2y3 的项，即 C35(2x)2(y)3，当第一个括号内取 y 时，第二个括号内要取含 x3y2 的项，即 C25(2x)3(y)2，所以 x3y3 的系数为 C2523C352210(84)40.第一章 计数原理9在制作飞机的某一零件时，要先后实施 6 个工序工序A 只能出现在第一步或最后一步，工序 B 和 C 实施时必须相邻，则实施顺序的编排方法共有()A34 种B48 种
6、C96 种D108 种解析：选 C.由题意可知，先排工序 A，有 2 种编排方法；再将工序 B 和 C 视为一个整体(有 2 种顺序)与其他 3 个工序全排列共有 2A44种编排方法故实施顺序的编排方法共有22A4496 种故选 C.第一章 计数原理10将 18 个参加青少年科技创新大赛的名额分配给 3 所学校，要求每所学校至少有 1 个名额且各校分配的名额互不相等，则不同的分配方法种数为()A96 B114C128 D136解析：选 B.由题意可得每所学校至少有 1 个名额的分配方法种数为 C217136，分配名额相等有 22 种(可以逐个数)，则满足题意的方法有 13622114 种第一章
7、 计数原理11从集合1，2，3，10中，选出由 5 个数组成的子集，使得这 5 个数中任何两个数的和不等于 11，则这样的子集共有()A10 个B16 个C20 个D32 个解析：选 D.因为这 10 个数中两数之和为 11 的共有 5 组，即(1，10)，(2，9)，(3，8)，(4，7)，(5，6)，所以从 10 个数中任取 5 个数组成一个子集，使得这 5 个数中任何两个数的和不等于 11 的子集个数共有 C12C12C12C12C1232 个第一章 计数原理12若(x2m)9a0a1(x1)a2(x1)2a9(x1)9，且(a0a2a8)2(a1a3a9)239，则实数 m 的值为()
8、A1 或3 B1 或 3C1 D3解析：选 A.令 x0，得到 a0a1a2a9(2m)9，令 x2，得到 a0a1a2a3a9m9，所以有(2m)9m939，即 m22m3，解得 m1 或3.第一章 计数原理二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分13某台小型晚会由 6 个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位该台晚会节目演出顺序的编排方案共有_种解析：分两类解决：第 1 类，甲排在第一位，共有 A4424 种排法；第 2 类，甲排在第二位，共有 A13A3318 种排法 由分类加法计数原理可知，节目演出顺序的编排方案共有2418
9、42 种 答案：42第一章 计数原理14如果(3x2 2x3)n 的展开式中含有非零常数项，则正整数 n的最小值为_解析：展开式通项 Tr1Crn(3x2)nr(2x3)rCrn3nr(2)rx2n5r.由题意得 2n5r0，n52r(r0，1，2，n)，故当 r2 时，正整数 n 有最小值，n 的最小值为 5.答案：5第一章 计数原理15将 A，B，C，D 四个小球放入编号为 1，2，3 的三个盒子中，若每个盒子中至少放一个球且 A，B 不能放入同一个盒子中，则不同的放法有_种解析：先把 A，B 放入不同盒中，有 326 种放法，再放C，D，若 C，D 在同一盒中，只能是第 3 个盒，1 种
10、放法；若 C，D 在不同盒中，则必有一球在第 3 个盒中，另一球在A 或 B 的盒中，有 224 种放法 故共有 6(14)30 种放法 答案：30第一章 计数原理16某交通指挥中心电子显示屏上有 7 盏信号灯排成一排，每盏灯可显示红色或绿色若每次只显示其中的 3 盏灯，但相邻的两盏灯不能同时显示，则这个电子显示屏所能显示的信号种数共有_种(用数字作答)解析：显示灯的种数共有 C3510 种(相当于在 4 个固定位置的 5 个空位中选 3 个空的选法)，又因每个显示灯只有两种显示，故共有 102380 种信号种数 答案：80第一章 计数原理三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17
11、(本小题满分 10 分)已知 Ax|1log2x3，xN，Bx|x6|3，xN试问：(1)从集合 A 和 B 中各取一个元素作直角坐标系中点的坐标，共可得到多少个不同的点？(2)从 AB 中取出三个不同的元素组成三位数，从左到右的数字要逐渐增大，这样的三位数有多少个？第一章 计数原理解：A3，4，5，6，7，B4，5，6，7，8(1)从 A 中取一个数作为横坐标，从 B 中取一个数作为纵坐标，有 5525 个，而 8 作为横坐标的情况有 5 种，3 作为纵坐标的情况有 4 种，故共有 555434 个不同的点(2)AB3，4，5，6，7，8，C3620.第一章 计数原理18(本小题满分 12
12、分)设(2x1)10a0a1xa2x2a10 x10，求下列各式的值(1)a0a1a2a10；(2)a6.解：(1)令 x1，得 a0a1a2a10(21)101.(2)a6 即为含 x6 项的系数，Tr1Cr10(2x)10r(1)rCr10(1)r210rx10r，所以当 r4 时，T5C410(1)426x613 440 x6，即 a613 440.第一章 计数原理19(本小题满分 12 分)5 名男生，2 名女生站成一排照相求在下列约束条件下，有多少种站法？(1)女生不站在两端；(2)女生相邻；(3)女生不相邻；(4)站成两排，前排 3 人，后排 4 人第一章 计数原理解：(1)法一：
13、先考虑两端站的人，再考虑其他位置，有 A25A552 400 种站法 法二：先考虑女生应站的位置，再考虑其他元素，有 A25A552 400 种站法(2)将相邻元素捆绑，当作一个元素，与其他元素一起全排列，有 A66A221 440 种站法(3)分两步：第一步，先排男生，有 A55种站法；第二步，将 2 名女生插入男生所形成的 6 个空隙(包括两端)中，有 A26种站法 由分步乘法计数原理，知有 A55A263 600 种站法(4)无论分成多少排，实质都是在七个不同位置上排七个不同元素，因此，共有 A775 040 种站法第一章 计数原理20(本小题满分 12 分)已知(a21)n 展开式中各
14、项系数之和等于165 x2 1x5的展开式的常数项，而(a21)n 展开式的二项式系数最大的项等于 54，求 a 的值解：由165 x2 1x5，得 Tr1Cr5165 x2 5r1xr1655rCr5x205r2.令 Tr1 为常数项，则 205r0，所以 r4，所以常数项 T5C45165 16.第一章 计数原理又(a21)n 展开式的各项系数之和等于 2n.由题意得 2n16，所以 n4.由二项式系数的性质知，(a21)4 展开式中二项式系数最大的项是中间项 T3，所以 C24a454，所以 a 3.第一章 计数原理21(本小题满分 12 分)把 n 个正整数全排列后得到的数叫做“再生数
15、”，“再生数”中最大的数叫做最大再生数，最小的数叫做最小再生数(1)求 1，2，3，4 的再生数的个数，以及其中的最大再生数和最小再生数；(2)试求任意 5 个正整数(可相同)的再生数的个数第一章 计数原理解：(1)1，2，3，4 的再生数的个数为 A4424，其中最大再生数为 4 321，最小再生数为 1 234.(2)需要考查 5 个数中相同数的个数若 5 个数各不相同，有A55120 个；若有 2 个数相同，则有A55A2260 个；若有 3 个数相同，则有A55A3320 个；若有 4 个数相同，则有A55A445 个；若5 个数全相同，则有 1 个第一章 计数原理22(本小题满分 1
16、2 分)6 个人坐在一排 10 个座位上，则(用数字表示)：(1)空位不相邻的坐法有多少种？(2)4 个空位只有 3 个相邻的坐法有多少种？第一章 计数原理解：(1)第一步：6 人先坐在 6 个座位上并排好顺序有 A66720 种，第二步：将 4 个空位插入有 C4735 种，所以空位不相邻的坐法共有 A66C477203525 200 种(2)第一步：6 人先坐在 6 个座位上并排好顺序有 A66720 种，第二步：先将 3 个空位捆绑当作一个空位，再将产生的“两个”空位采用插空法插入有 A2742 种，所以 4 个空位只有3 个相邻的坐法有 A66A277204230 240 种第一章 计数原理本部分内容讲解结束 按ESC键退出全屏播放