1、考点规范练37直接证明与间接证明基础巩固1.(2021陕西韩城模拟)用分析法证明“215”时,正确的步骤是()A.“215,2125”B.“2152125”C.“欲证215,只需证2125”D.“因为2125,所以21QB.P=QC.P1B.a+b2C.a2+b22D.ab15.设a,b,c均为正实数,则三个数a+1b,b+1c,c+1a()A.都大于2B.都小于2C.至少有一个不大于2D.至少有一个不小于26.设f(x)是定义在R上的奇函数,且当x0时,f(x)单调递减.若x1+x20,则f(x1)+f(x2)的值()A.恒为负值B.恒等于零C.恒为正值D.无法确定正负7.设ab0,m=a-
2、b,n=a-b,则m,n的大小关系是.8.某同学在证明命题“7-36-2”时作了如下分析,请你补充完整.要证明7-36-2,只需证明,只需证明,展开得9+2149+218,即1418,只需证明1418,所以原不等式7-3b0,m0,用分析法证明:bab+ma+m;(2)已知实数a,b,c,d满足ac2(b+d),用反证法证明:方程x2+ax+b=0与方程x2+cx+d=0至少有一个方程有实根.能力提升10.若A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于A2B2C2的三个内角的正弦值,则()A.A1B1C1和A2B2C2都是锐角三角形B.A1B1C1和A2B2C2都是钝角三角形C.A1B1C1是钝角三
3、角形,A2B2C2是锐角三角形D.A1B1C1是锐角三角形,A2B2C2是钝角三角形11.已知a,b,c,d均为正实数,设S=aa+b+c+bb+c+d+cc+d+a+dd+a+b,则下列判断中正确的是()A.0S1B.1S2C.2S3D.3S412.用合适的方法证明:(1)已知a,b都是正数,求证:a5+b5a2b3+a3b2.(2)已知a是整数,a2是偶数,求证:a也是偶数.高考预测13.(2021安徽黄山模拟)观察下列三角形数表:假设第n行的第二个数为an(n2,nN*),(1)归纳出an+1与an的关系式并求出an的通项公式;(2)求证:数列an(n2,nN*)中任意的连续三项不可能构
4、成等差数列.答案：1.C解析用分析法证明“215”时,正确的步骤是“欲证215,只需证2125”.2.C解析P=a+a+5,Q=a+2+a+3(a0),P2=2a+5+2a(a+5)=2a+5+2a2+5a,Q2=2a+5+2(a+2)(a+3)=2a+5+2a2+5a+6.a2+5aa2+5a+6,a2+5aa2+5a+6.P2Q2.P1,但a1,b2,故C推不出;若a=-2,b=-3,则ab1,故D推不出;对于B,若a+b2,则a,b中至少有一个大于1,反证法:假设a1,且b1,则a+b2与a+b2矛盾,因此假设不成立,故a,b中至少有一个大于1.5.D解析a0,b0,c0,a+1b+b+
5、1c+c+1a=a+1a+b+1b+c+1c6,当且仅当a=b=c=1时等号成立,故三个数不能都小于2,即至少有一个不小于2.6.A解析由f(x)是定义在R上的奇函数,且当x0时,f(x)单调递减,可知f(x)是R上的减函数.由x1+x20,可知x1-x2,即f(x1)f(-x2)=-f(x2),则f(x1)+f(x2)0,故选A.7.mn解析(方法一:取特殊值法)取a=2,b=1,得mb0,所以要得出m与n的大小关系,只需判断mn=a-ba-b与1的大小关系,只需判断a+b-2aba-b与1的大小关系,只需判断a+b-2ab-(a-b)与0的大小关系,只需判断2b-2ab与0的大小关系,只需
6、判断b-a与0的大小关系.由ab0,可知b-a0,即mn1,即可判断mn.8.7+26+3(7+2)2(6+3)2因为1418显然成立解析要证明7-36-2,只需证明7+26+3,只需证明(7+2)2(6+3)2,展开得9+2149+218,即1418,只需证明1418.因为1418显然成立,所以原不等式7-3b0,m0,故要证明bab+ma+m成立,则只需证明b(a+m)a(b+m),即证ab+bmab+am成立,即bmam成立,即ba成立即可.由条件知ba成立,故bab+ma+m成立.(2)反证法:假设结论不成立,即方程x2+ax+b=0与方程x2+cx+d=0都没有实根,则两方程的判别式
7、分别满足1=a2-4b0,2=c2-4d0,则a2+c2-4d-4ba2+c2,即4d+4ba2+c22ac,即2(b+d)ac,这与条件ac2(b+d)矛盾,即假设不成立,故原命题成立.10.D解析由条件知,A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0,则A1B1C1是锐角三角形,且A2B2C2不可能是直角三角形.假设A2B2C2是锐角三角形.由sinA2=cosA1=sin2-A1,sinB2=cosB1=sin2-B1,sinC2=cosC1=sin2-C1,得A2=2-A1,B2=2-B1,C2=2-C1,则A2+B2+C2=2,这与三角形内角和为180相矛盾.因此假设不成立,故A2B2C2
8、是钝角三角形.11.B解析因为a0,b0,c0,d0,所以S=aa+b+c+bb+c+d+cc+d+a+dd+a+baa+b+c+d+bb+c+d+a+cc+d+a+b+dd+a+b+c=a+b+c+da+b+c+d=1,即S1;因为aa+b+caa+c,cc+d+aca+c,bb+c+dbb+d,dd+a+bdd+b,所以aa+b+c+cc+d+aaa+c+ca+c=1,bb+c+d+dd+a+bbb+d+dd+b=1,即S=aa+b+c+bb+c+d+cc+d+a+dd+a+b2,所以1S2.故选B.12.解(1)选用综合法证明如下:因为(a5+b5)-(a2b3+a3b2)=a2(a3-
9、b3)+b2(b3-a3)=(a3-b3)(a2-b2)=(a-b)(a2+ab+b2)(a-b)(a+b)=(a-b)2(a+b)(a2+ab+b2),因为a,b都是正数,所以上式非负,所以(a5+b5)-(a2b3+a3b2)0,所以a5+b5a2b3+a3b2.(2)选用反证法证明如下:假设a不是偶数,即a是奇数,不妨设a=2n+1(nZ),则a2=4n2+4n+1.因为4(n2+n)是偶数,所以4n2+4n+1是奇数,这与已知a2是偶数矛盾,由上述矛盾可知,a一定是偶数.13.(1)解由三角形数表可知an+1=an+n,an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a3-a2)+a2=(n-1)+(n-2)+2+2=n2-n+22(n3).又a2=2也满足上式,an=n2-n+22(n2).(2)证明(反证法)假设an中存在连续三项构成等差数列,可设an-1,an,an+1(n3,nN*)成等差数列,则2an=an-1+an+12n2-n+22=(n-1)2-(n-1)+22+(n+1)2-(n+1)+22n2-n+2=n2-n+30=1,显然矛盾,即假设不成立.故数列an(n2,nN*)中任意的连续三项不可能构成等差数列.
