1、第 2 课时 指数函数性质的应用目标 1.会利用指数函数的单调性比较两个幂的大小；2.会利用指数函数的单调性解简单的指数不等式；3.会利用指数函数的单调性求指数型函数的值域重点 指数函数单调性的应用难点 求指数型函数的值域知识点一 比较幂的大小填一填比较幂的大小的常用方法：(1)对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断；(2)对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数图象的变化规律来判断；(3)对于底数不同，且指数也不同的两个幂的大小比较，可先化为同底的两个幂，或者通过中间值来比较答一答1af(x)与(1a)g(x)(a0，且 a1)如何比较大小
2、？提示：化为同底的幂值，比如可将(1a)g(x)化为 ag(x)知识点二 指数函数型复合函数填一填指数函数与其他函数复合后形成复合函数，如 yaf(x)和 yf(ax)(a0，且 a1)通过对这些复合函数性质的研究，搞清指数函数与其他函数之间的联系，明确复合函数的性质与指数函数的性质的区别与联系形如 yaf(x)(a0，且 a1)的函数的单调性的判断，常用复合函数法利用复合函数的单调性：当 a1 时，函数 yaf(x)与函数 yf(x)的单调性相同；当 0a1 时，函数 yaf(x)与函数 yf(x)的单调性相反答一答2讨论函数 y12x22x 的单调性提示：此函数是由指数函数及二次函数复合而
3、成的函数，因此也可根据复合函数的单调性对其进行讨论函数 y12 x22x 的定义域为 R，令 ux22x，则 y12u.列表如下：由表可知，原函数在(，1上是减函数，在(1，)上是增函数.类型一 利用指数函数的单调性比较大小例 1 比较下列各组数的大小：(1)1.9 与 1.93；(2)0.723与 0.70.3；(3)0.71 与 0.6 2.分析 底数相同的幂依据指数函数的单调性比较；底数不同且指数也不同的，可借助中间值比较解(1)指数函数 y1.9x 在 R 上是增函数，且3，1.91.93.(2)指数函数 y0.7x 在 R 上是减函数，且 2 30.2680.70.3.(3)指数函数
4、 y0.7x 在 R 上单调递减，且10.701.指数函数 y0.6x 在 R 上单调递减，且 20，0.6 20.6 2.对于幂的大小比较，一般规律为：1同底数幂的大小比较：构造指数函数，利用单调性比较大小.2既不同底数，又不同指数的幂的大小比较：利用中间量法，常借助中间量 0 或 1 进行比较.变式训练 1 比较下列各题中两个值的大小：(1)571.8，572.5；(2)230.5，340.5；(3)0.20.3,0.30.2.解：(1)因为 0572.5，所以571.8340.5.(3)因为 00.20.31，所以指数函数 y0.2x 与 y0.3x 在定义域 R上均是减函数，且在区间(
5、0，)上函数 y0.2x 的图象在函数 y0.3x的图象的下方，所以 0.20.20.30.2.又根据指数函数 y0.2x 的性质可得 0.20.30.20.2，所以 0.20.3ax4(a0 且 a1)求 x 的取值范围解(1)122x1(21)2x1212x.因此原不等式等价于 212x21，又 y2x 是 R 上的增函数，所以 12x1.所以 x0.因此原不等式的解集是x|x0(2)当 0a1 时，由 yax 在 R 上单调递减得3xx4，即4x1.当 a1 时，由 yax 在 R 上单调递增得3xx4，即4x4.解得 x1.综上，当 0a1 时，x 的取值范围为(，1)解与指数有关的不
6、等式时，需注意的问题：1形如 axay 的不等式，借助 yaxa0，且 a1的单调性求解，如果 a 的取值不确定，需分 a1 与 0ab 的不等式，注意将 b 化为以 a 为底的指数幂的形式，再借助 yaxa0，且 a1的单调性求解；3形如 axbx 的形式，利用图象求解.变式训练 2 根据下列条件，确定实数 x 的取值范围(1)0.23x1 125；(2)a0 且 a1)解：(1)原不等式可化为 513x52.函数 y5x 在 R 上是增函数，13x2，即 xa12.函数 yax(a0 且 a1)，当 a1 时，y 是增函数，当 0a1 时，由 4x112知 x38；当 0a1 时，由 4x
7、112知 x1 时，x 的取值范围是38，当 0a1 时，x的取值范围是，38.类型三 指数函数的单调区间例 3 判断 f(x)(13)x22x 的单调性，并求其值域分析 先利用复合函数单调性判断 f(x)的单调性，再利用单调性求值域解 令 ux22x，则原函数变为 y(13)u.ux22x(x1)21 在(，1上递减，在1，)上递增，又y(13)u 在(，)上递减，y(13)x22x 在(，1上递增，在1，)上递减ux22x(x1)211，y(13)u，u1，)，00，且 a1)的单调性由两点决定，一是底数 a1 还是 0a1；二是 f(x)的单调性它由两个函数 yau，uf(x)复合而成2
8、求复合函数的单调区间，首先求出函数的定义域，然后把函数分解成 yf(u)，u(x)，通过考查 f(u)和(x)的单调性，求出 yf(x)的单调性变式训练 3 求函数 y2x22x3的单调区间解：x22x30，x22x30，1x3.函数的定义域为1,3，函数 ux22x3(x1)24，其图象的对称轴为直线 x1.ux22x3 在1,1上单调递增，在1,3上单调递减，函数 y2x22x3在1,1上单调递增，在1,3上单调递减，函数 y2x22x3的单调增区间是1,1，减区间是1,31函数 y121x 的单调递增区间为(A)A(，)B(0，)C(1，)D(0,1)解析：函数定义域为 R，设 u1x，
9、y12u.u1x 在 R 上为减函数，又y12u 在(，)为减函数，y121x 在(，)是增函数，选 A.2若122a132a，解得 a12.3设 y140.9，y280.48，y3121.5，则(D)Ay3y1y2By2y1y3Cy1y2y3Dy1y3y2解析：40.921.8,80.4821.44，121.521.5，根据 y2x 在 R 上是增函数，所以 21.821.521.44，即 y1y3y2，故选 D.4某种细菌在培养过程中，每 20 min 分裂一次，即由 1 个细菌分裂成 2 个细菌，经过 3 h，这种细菌由 1 个可繁殖成 512 个解析：3 h920 min，即经过 9
10、次分裂，可分裂为 29512 个5已知函数 y12x26x17.(1)求此函数的定义域，值域(2)确定函数的单调区间解：(1)定义域为 R，值域为0，1256.(2)函数的单调递增区间为(，3，单调递减区间为3，)本课须掌握的两大问题1比较两个指数式值大小的主要方法(1)比较形如 am 与 an 的大小，可运用指数函数 yax 的单调性(2)比较形如 am 与 bn 的大小，一般找一个“中间值 c”，若 amc且 cbn，则 amc 且 cbn，则 ambn.2指数函数单调性的应用(1)形如 yaf(x)的函数的单调性：令 uf(x)，xm，n，如果两个函数 yau 与 uf(x)的单调性相同，则函数 yaf(x)在m，n上是增函数；如果两者的单调性相异(即一增一减)，则函数 yaf(x)在m，n上是减函数(2)形如 axay 的不等式，当 a1 时，axayxy；当 0aayx0，且 a1)的值域是(0，)，利用换元法解题时，要注意新元的取值范围，即换元要换限，否则极易出错对应训练 求函数 y14x12x1 的值域解：令 t12x，则 t0，yf(t)t2t1t12234，因为函数 f(t)t12234在(0，)上为增函数，所以 y(1，)，即函数的值域为(1，)