1、考点规范练6函数的单调性与最值基础巩固1.(2020北京顺义区期中)下列函数,既是偶函数又在区间(0,+)内单调递增的是()A.y=1xB.y=e-xC.y=-x2+1D.y=lg|x|答案:D解析:A中,y=1x为奇函数,不符合题意;B中,设y=f(x)=e-x,则f(-x)=exf(x),故f(x)既不是偶函数也不是奇函数,不符合题意;C中,设f(x)=1-x2,则f(-x)=1-(-x)2=1-x2=f(x),即f(x)为偶函数,且当x0时,函数单调递减,不符合题意;D中,y=lg|x|为偶函数,且当x0时,y=lgx单调递增,符合题意.2.若函数y=ax与y=-bx在区间(0,+)内都
2、是减函数,则y=ax2+bx在区间(0,+)内()A.单调递增B.单调递减C.先增后减D.先减后增答案:B解析:因为函数y=ax与y=-bx在区间(0,+)内都是减函数,所以a0,b0.所以y=ax2+bx的图象的对称轴方程为x=-b2a,且-b2a1,4-a2x+2,x1是R上的增函数,则实数a的取值范围是()A.(1,+)B.4,8)C.(4,8)D.(1,8)答案:B解析:由f(x)在R上是增函数,则有a1,4-a20,4-a21+2a,解得4a0,即x3或x3时,函数u=x2-2x-3单调递增;当x-1时,函数u=x2-2x-3单调递减.因为函数y=lnu在定义域上单调递增,所以f(x
3、)的单调递减区间为(-,-1).5.函数f(x)=x1-x在()A.(-,1)(1,+)内是增函数B.(-,1)(1,+)内是减函数C.(-,1)和(1,+)内是增函数D.(-,1)和(1,+)内是减函数答案:C解析:由题意可知函数f(x)的定义域为x|x1,f(x)=x1-x=11-x-1.又根据函数y=-1x的单调性及有关性质,可知f(x)在区间(-,1)和(1,+)内是增函数.6.已知函数f(x)满足f(x)=f(-x),且当x-2,2时,f(x)=ex+sin x,则()A.f(1)f(2)f(3)B.f(2)f(3)f(1)C.f(3)f(2)f(1)D.f(3)f(1)f(2)答案
4、:D解析:由f(x)=f(-x),得f(2)=f(-2),f(3)=f(-3).由f(x)=ex+sinx,得函数f(x)在区间-2,2内单调递增.又-2-31-2f(1)f(-3).f(2)f(1)f(3).7.(2020四川成都期末)已知函数f(x)=|x|ln|x|.若a=f(ln 2),b=f(-ln 3),c=f(e),则a,b,c的大小关系为()A.bcaB.bacC.abcD.acb答案:C解析:f(x)=|x|ln|x|为偶函数,当x0时,f(x)=xlnx,f(x)=lnx-1(lnx)2,易得,当xe时,f(x)0,函数f(x)单调递增;当0xe时,f(x)0,函数f(x)
5、单调递减,因为0ln2ln3f(ln3)f(e),即abc.8.(2020内蒙古呼和浩特模拟)对于函数f(x),在使f(x)M恒成立的所有常数M中,我们把M中的最大值称为函数f(x)的“下确界”,则函数f(x)=xex的下确界为()A.1eB.-eC.-1D.-1e答案:D解析:f(x)=(x+1)ex,当x(-,-1)时,f(x)0,所以f(x)在区间(-,-1)内单调递减,在区间(-1,+)内单调递增,所以f(x)min=f(-1)=-1e,则根据题意可知,函数f(x)=xex的下确界为-1e.9.函数f(x)=13x-log2(x+2)在区间-1,1上的最大值为.答案:3解析:因为y=1
6、3x在R上单调递减,y=log2(x+2)在区间-1,1上单调递增,所以f(x)在区间-1,1上单调递减.所以f(x)在区间-1,1上的最大值为f(-1)=3.10.已知f(x)=x2-4x+3,x0,-x2-2x+3,x0,不等式f(x+a)f(2a-x)在区间a,a+1上恒成立,则实数a的取值范围是.答案:(-,-2)解析:二次函数y1=x2-4x+3的图象的对称轴是直线x=2,所以该函数在区间(-,0上单调递减,所以x2-4x+33,同样可知函数y2=-x2-2x+3在区间(0,+)内单调递减,所以-x2-2x+3f(2a-x),得到x+a2a-x,即2xa在区间a,a+1上恒成立,所以
7、2(a+1)a,解得a-2,所以实数a的取值范围是(-,-2).能力提升11.已知函数f(x)=12-x2+2mx-m2-1的单调递增区间与值域相同,则实数m的值为()A.-2B.2C.-1D.1答案:B解析:-x2+2mx-m2-1=-(x-m)2-1-1,12-x2+2mx-m2-12.f(x)的值域为2,+).y1=12x在R上单调递减,y2=-(x-m)2-1的单调递减区间为m,+),f(x)的单调递增区间为m,+).由条件知m=2.12.若存在正数x使2x(x-a)x-12x(x0).令f(x)=x-12x,函数f(x)在区间(0,+)内为增函数,可知f(x)的值域为(-1,+),故
8、存在正数x使原不等式成立时,a-1.13.(2020湖南衡阳三模)设函数f(x)=2x,x12,x2-ax-lnx,x12,若f(x)有最小值,则实数a的取值范围为()A.2,+)B.2,+)C.ln2-14,+D.1,+)答案:D解析:当x12时,f(x)无最小值,且f(x)0,要使f(x)有最小值,只需当x12时,f(x)有最小值,且f(x)min0即可.当x12时,f(x)=2x-a-1x,2x-1x(-1,+),若a-1,则f(x)0,f(x)在区间12,+内单调递增,此时f(x)无最小值;若a-1,则f(x)=2x2-ax-1x,记方程2x2-ax-1=0的两根分别为x1,x2,不妨
9、设x1x2,x1x2=-120,x10x2,又2122-a2-1=-a+1212.f(x)在区间(0,x2)内单调递减,在区间(x2,+)内单调递增,此时f(x)min=f(x2)=x22-ax2-lnx2,由2x22-ax2-1=0,得ax2=2x22-1,f(x2)=1-x22-lnx20,x21,a=2x2-1x21.14.(2020浙江绍兴二模)已知函数f(x)=ax-a,x0,x2+(4a-3)x+3a,x0,且a1)在R上单调递减,且关于x的方程|f(x)|=2-x恰好有两个不相等的实数解,则a的取值范围是.答案:14,2334解析:由y=ax-a在区间0,+)内单调递减,则0a1
10、.函数f(x)在R上单调递减,则3-4a20,0a2,即a23时,由|x2+(4a-3)x+3a|=2-x,得x2+(4a-2)x+3a-2=0.则=(4a-2)2-4(3a-2)=0,解得a=34或a=1(舍去),当1-a3a2,即14a23时,由图象可知,符合条件.综上所述,a的取值范围为14,2334.15.已知f(x)=xx-a(xa).(1)若a=-2,试证明f(x)在区间(-,-2)内单调递增;(2)若a0,且f(x)在区间(1,+)内单调递减,求a的取值范围.答案:(1)证明当a=-2时,f(x)=xx+2(x-2).设对任意的x1,x2(-,-2),且x10,x1-x20,f(
11、x1)f(x2).f(x)在区间(-,-2)内单调递增.(2)解任设1x10,x2-x10,要使f(x1)-f(x2)0,只需(x1-a)(x2-a)0在区间(1,+)内恒成立,a1.综上所述,a的取值范围是(0,1.高考预测16.(2020山东滨州三模)已知函数f(x)=x2-2x+1x-2,h(x)=ax-4(a1).若对x13,+),x23,+),使得f(x1)=h(x2),则实数a的最大值为.答案:2解析:f(x)=x2-2x+1x-2=x+1x-2,f(x)=1-1(x-2)2,由x3可得x-21,则f(x)0,则f(x)在区间3,+)内单调递增,可得f(x)的最小值为f(3)=4,即f(x)的值域为A=4,+),由h(x)=ax-4(a1)在区间3,+)内单调递增,可得h(x)h(3)=a3-4,即h(x)的值域为B=a3-4,+),由x13,+),x23,+),使得f(x1)=h(x2),可得AB,则a3-44,解得a2.故a的最大值为2.