1、考点规范练58分类加法计数原理与分步乘法计数原理基础巩固1.如图,一只蚂蚁从正四面体A-BCD的顶点A出发,沿着正四面体A-BCD的棱爬行,每秒爬一条棱,每次爬行的方向是随机的,则蚂蚁第1秒后到点B,第4秒后又回到A点的不同爬行路线有()A.6条B.7条C.8条D.9条2.(2021云南省第一次统一检测)甲、乙、丙三名志愿者到某医院参加抗击新冠疫情活动,该医院有A,B两种类型的机器各一台,其中甲只会操作A种类型的机器,乙、丙两名志愿者两种类型的机器都会操作.现从甲、乙、丙三名志愿者中选派2人去操作该医院A,B两种类型的机器(每人操作一台机器),则不同的选派方法一共有()A.2种B.4种C.6种
2、D.8种3.有a,b,c,d,e共5人,从中选1名组长和1名副组长,但a不能当副组长,不同选法的种数是()A.20B.16C.10D.64.用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中比40 000大的偶数共有()A.144个B.120个C.96个D.72个5.(2021山东聊城模拟)设4名学生报名参加同一时间安排的3项课外活动方案有a种,这4名学生在运动会上共同争夺100米、跳远、铅球3项比赛的冠军的可能结果有b种,则(a,b)为()A.(34,34)B.(43,34)C.(34,43)D.(A43,A43)6.已知集合M=1,-1,2,N=-3,4,6,-8,从两个集合中各取
3、一个元素作为点的坐标,则在平面直角坐标系中位于第一、第二象限内的不同点的个数为()A.18B.16C.14D.127.(2021广西南宁三中月考)某学校要对如图所示的5个区域进行绿化(种花),现有4种不同颜色的花供选择,要求相邻区域不能种同一种颜色的花,则共有()种不同的种花方法.A.24B.36C.48D.728.高三年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参加社会实践,但去哪个工厂可自由选择,甲工厂必须有班级要去,则不同的分配方案有()A.16种B.18种C.37种D.48种9.甲、乙两人从4门课程中各选修2门,则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法共有种.(用数字作答)10.三边长均为正整数
4、,且最大边长为11的三角形的个数是.11.在数字0,1,2,3,4,5,6中,任取3个不同的数字为系数a,b,c组成二次函数y=ax2+bx+c,则一共可以组成个不同的解析式.12.我们把中间位上的数字最大,而两边依次减小的多位数称为“凸数”.如132,341等,则由1,2,3,4,5可以组成无重复数字的三位“凸数”的个数是.能力提升13.某校开设8门课程供学生选修,其中A,B,C三门由于上课时间相同,至多选一门,学校规定:每名同学选修三门,则每名同学不同的选修方案种数为()A.30B.40C.90D.14014.某体育彩票规定:从01至36共36个号中抽出7个号为一注,每注2元.某人想从01
5、至10中选3个连续的号,从11至20中选2个连续的号,从21至30中选1个号,从31至36中选1个号组成一注,则这人把这种特殊要求的号买全,至少要花()A.3 360元B.6 720元C.4 320元D.8 640元15.把2支相同的签字笔、3支相同的钢笔全部分给4名优秀学生,每名学生至少1支,则不同的分法有()A.24种B.28种C.32种D.36种16.北京大兴国际机场为4F级国际机场、大型国际枢纽机场、国家发展新动力源,于2019年9月25日正式通航.目前建有“三纵一横”4条跑道,分别叫西一跑道、西二跑道、东一跑道、北一跑道,如图所示.若有2架飞往不同目的地的飞机要从以上不同跑道同时起飞
6、,且西一跑道、西二跑道至少有一道被选取,则共有种不同的安排方法.(用数字作答)17.(2021广西桂林中学模拟)通常,我国民用汽车号牌的编号由两部分组成:第一部分为汉字表示的省、自治区、直辖市简称和用英文字母表示的发牌机关代号,笫二部分为由阿拉伯数字与英文字母组成的序号.其中序号的编码规则为:由0,1,2,9这10个阿拉伯数字与除I,O之外的24个英文字母组成;最多只能有2个位置是英文字母,如:粤A326S0,则采用5位序号编码的粤A牌照最多能发放的汽车号牌有万张.高考预测18.从0,2中选一个数字,从1,3,5中选两个数字,组成无重复数字的三位数,其中奇数的个数为()A.24B.18C.12
7、D.6答案：1.B解析如图,由题意知,不同的爬行路线有7条.故选B.2.B解析先从乙、丙两名志愿者中选1人去操作B种类型机器,有2种选法,再从剩下两人选1人去操作A种类型机器,有2种选法,则不同的选派方法一共有22=4种.3.B解析当a当组长时,则共有14=4(种)选法;当a不当组长时,又因为a也不能当副组长,则共有43=12(种)选法.因此共有4+12=16(种)选法.4.B解析由题意可知,符合条件的五位数的万位数字是4或5.当万位数字为4时,个位数字从0,2中任选一个,共有2432=48(个)偶数;当万位数字为5时,个位数字从0,2,4中任选一个,共有3432=72(个)偶数.故符合条件的
8、偶数共有48+72=120(个).5.C解析由题意知本题是一个分步乘法计数问题,首先每名学生报名有3种选择,有4名学生,根据分步乘法计数原理知共有34种选择.每项冠军有4种可能结果,3项冠军根据分步乘法计数原理知共有43种可能结果.6.C解析分两类:第一类,M中的元素作为点的横坐标,N中的元素作为点的纵坐标,在第一象限内的点共有22=4(个),在第二象限内的点共有12=2(个);第二类,M中的元素作为点的纵坐标,N中的元素作为点的横坐标,在第一象限内的点共有22=4(个),在第二象限内的点共有22=4(个).故所求不同点的个数为4+2+4+4=14.7.D解析区域2,4同色时,有4322=48
9、种;区域2,4不同色时,有43211=24种,由可得,一共有48+24=72种着色方法.8.C解析三个班去四个工厂,不同的分配方案共43种,甲工厂没有班级去的分配方案共33种,因此满足条件的不同的分配方案共有43-33=37(种).9.24解析分三步完成:第一步甲、乙两人从4门课程中同选1门,有4种方法;第二步甲从剩下的3门课程中任选1门,有3种方法;第三步乙从剩下的2门课程中任选1门,有2种方法,故甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法共有432=24(种).10.36解析另两边长用x,y(x,yN*)表示,且不妨设1xy11,要构成三角形,必须x+y12.当y取11时,x可取1,2,3,11
10、,有11个三角形;当y取10时,x可取2,3,10,有9个三角形;当y取6时,x只能取6,只有1个三角形.所以所求三角形的个数为11+9+7+5+3+1=36.11.180解析分三步完成:第一步任取一个数为a,a不为零有6种方法;第二步从剩余的6个数中任取一个数为b有6种方法;第三步从剩余的5个数中任取一个数为c有5种取法.由分步乘法计数原理得,共有665=180(个)不同的解析式.12.20解析根据“凸数”的特点,中间的数字只能是3,4,5,故分三类:第一类,当中间数字为“3”时,此时有2种(132,231);第二类,当中间数字为“4”时,从1,2,3中任取两个放在4的两边,故有A32=6种
11、;第三类,当中间数字为“5”时,从1,2,3,4中任取两个放在5的两边,故有A42=12种.根据分类加法计数原理,得到由1,2,3,4,5可以组成无重复数字的三位“凸数”的个数是2+6+12=20.13.B解析因为A,B,C三门由于上课时间相同,至多选一门,所以可分两类:第一类,A,B,C三门课都不选,有C53=10(种)方案;第二类,A,B,C中选一门,剩余5门课中选2门,有C31C52=30(种)方案.故根据分类加法计数原理知共有10+30=40(种)方案.14.D解析从01至10中选3个连续的号共有8种选法;从11至20中选2个连续的号共有9种选法;从21至30中选1个号有10种选法;从
12、31至36中选1个号有6种选法,由分步乘法计数原理知共有89106=4320(种)选法,故至少需花43202=8640(元).15.B解析第一类,有一个人分到一支钢笔和一支签字笔,这种情况的分法有:先将一支钢笔和一支签字笔分到一个人手上,有4种分法,再将剩余的2支钢笔、1支签字笔分给剩余的3名学生,有3种分法,共有34=12(种);第二类,有一个人分到两支签字笔,这种情况的分法有:先将两支签字笔分到一个人手上,有4种情况,再将剩余的3支钢笔分给剩余3个人,只有1种分法,共有41=4(种);第三类,有一个人分到两支钢笔,这种情况的分法有:先将两支钢笔分到一个人手上,有4种情况,再将剩余的两支签字
13、笔和一支钢笔分给剩余的3个人,有3种分法,共有34=12(种).综上所述,总共有12+4+12=28(种)分法.16.10解析分两类:第一类,西一跑道、西二跑道均被选取,有A22=2种起飞方式;第二类,西一跑道、西二跑道只有一道被选取,有C21C21A22=8种起飞方式.由分类加法计数原理可知,满足条件的安排方法有2+8=10种.17.706解析分三类情况:(1)后5位全部为数字,共有105张号牌;(2)后5位有一个字母,共有104C241C51=1.2106张号牌;(3)后5位有两个字母,若两个字母相同,有103C241C52=2.4105张号牌;若两个字母不同,有103C242A52=5.52106张号牌.综上,共有105+1.2106+2.4105+5.52106=7.06106=706万张号牌.18.B解析三位数可分成两类:第一类是奇偶奇,其中个位有3种选择,十位有2种选择,百位有2种选择,共有322=12(个);第二类是偶奇奇,个位有3种选择,十位有2种选择,百位有1种选择,共有321=6个.故由分类加法计数原理,可知共有12+6=18(个).故选B.6