1、考点规范练31等比数列及其前n项和基础巩固1.(2020四川德阳模拟)已知等比数列an中,a5=3,a4a7=45,则a7-a9a6-a7的值为()A.30B.25C.15D.10答案:A解析:设等比数列an的公比为q.已知a5=3,a4a7=45,则a4a7=a4a6q=a52q=45,解得q=5,所以a7-a9a6-a7=q-q31-q=q(1+q)=30.2.“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起 ,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于12
2、2.若第一个单音的频率为f,则第八个单音的频率为()A.32fB.322fC.1225fD.1227f答案:D解析:由题意知,这十三个单音的频率构成首项为f,公比为122的等比数列,则第八个单音的频率为(122)7f=1227f.3.已知正项等比数列an满足a3=1,a5与32a4的等差中项为12,则a1的值为()A.4B.2C.12D.14答案:A解析:设公比为q.由题意,得a5+32a4=1,a3q2+32a3q=1,q2+32q=1,即2q2+3q-2=0,q=12或q=-2(舍去),故a1=a3q2=4.4.已知an为等比数列,a4+a7=2,a5a6=-8,则a1+a10=()A.7
3、B.5C.-5D.-7答案:D解析:an为等比数列,a5a6=a4a7=-8.联立a4+a7=2,a4a7=-8,可解得a4=4,a7=-2或a4=-2,a7=4,当a4=4,a7=-2时,q3=-12,故a1+a10=a4q3+a7q3=-7;当a4=-2,a7=4时,q3=-2,故a1+a10=a4q3+a7q3=-7.综上可知,a1+a10=-7.5.等差数列an的公差为2,若a2,a4,a8成等比数列,则an的前n项和Sn=()A.n(n+1)B.n(n-1)C.n(n+1)2D.n(n-1)2答案:A解析:a2,a4,a8成等比数列,a42=a2a8,即(a1+6)2=(a1+2)(
4、a1+14),解得a1=2.Sn=na1+n(n-1)2d=2n+n2-n=n2+n=n(n+1).故选A.6.已知数列an为等比数列,首项a1=2,数列bn满足bn=log2an,且b2+b3+b4=9,则a5=()A.8B.16C.32D.64答案:C解析:由题意知bn为等差数列,因为b2+b3+b4=9,所以b3=3,因为b1=1,所以公差d=1,则bn=n,即n=log2an,故an=2n,于是a5=25=32.7.记Sn为等比数列an的前n项和.若a1=1,S3=34,则S4=.答案:58解析:设等比数列an的公比为q.S3=a1+a1q+a1q2=1+q+q2=34,即q2+q+1
5、4=0.解得q=-12.故S4=a1(1-q4)1-q=1-1241+12=58.8.设数列an的前n项和为Sn,若S2=4,an+1=2Sn+1,nN*,则a1=,S5=.答案:1121解析:由题意,可得a1+a2=4,a2=2a1+1,所以a1=1,a2=3.再由an+1=2Sn+1,an=2Sn-1+1(n2),得an+1-an=2an,即an+1=3an(n2).又因为a2=3a1,所以数列an是以1为首项,3为公比的等比数列.所以S5=1-351-3=121.9.(2020广西南宁二模)已知在数列an中,a1=2,且对于任意正整数m,n都有am+n=aman,则数列an的通项公式是.
6、答案:an=2n解析:在数列an中,a1=2,且对于任意正整数m,n都有am+n=aman,令m=1,得an+1=2an,则an是首项和公比均为2的等比数列,从而an=2n.10.已知数列an满足a1=1,nan+1=2(n+1)an.设bn=ann.(1)求b1,b2,b3;(2)判断数列bn是否为等比数列,并说明理由;(3)求an的通项公式.解：(1)由条件可得an+1=2(n+1)nan.将n=1代入得,a2=4a1,而a1=1,所以a2=4.将n=2代入得,a3=3a2,所以a3=12.从而b1=1,b2=2,b3=4.(2)bn是首项为1,公比为2的等比数列.由条件可得an+1n+1
7、=2ann,即bn+1=2bn,又b1=1,所以bn是首项为1,公比为2的等比数列.(3)由(2)可得ann=2n-1,所以an=n2n-1.11.已知an是公差为3的等差数列,数列bn满足b1=1,b2=13,anbn+1+bn+1=nbn.(1)求an的通项公式;(2)求bn的前n项和.解：(1)由已知,a1b2+b2=b1,b1=1,b2=13,得a1=2.所以数列an是首项为2,公差为3的等差数列,通项公式为an=3n-1.(2)由(1)和anbn+1+bn+1=nbn得bn+1=bn3,因此bn是首项为1,公比为13的等比数列.记bn的前n项和为Sn,则Sn=1-13n1-13=32
8、-123n-1.12.已知数列an满足an=2an-1+1(n2),a4=15.(1)求a1,a2,a3;(2)判断数列an+1是否为等比数列,并说明理由;(3)求数列an的前n项和Sn.解：(1)由an=2an-1+1(n2)及a4=15知a4=2a3+1,解得a3=7,同理得a2=3,a1=1.(2)由an=2an-1+1(n2),知an+1=2an-1+2,即an+1=2(an-1+1),故an+1是以a1+1=2为首项,公比为2的等比数列.(3)an+1=(a1+1)2n-1,an=2n-1.Sn=a1+a2+a3+an=(21-1)+(22-1)+(23-1)+(2n-1)=(21+
9、22+23+2n)-n=2(1-2n)1-2-n=2n+1-2-n.能力提升13.若a,b是函数f(x)=x2-px+q(p0,q0)的两个不同的零点,且a,b,-2这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则p+q的值等于()A.6B.7C.8D.9答案:D解析:a,b是函数f(x)=x2-px+q(p0,q0)的两个不同的零点,a+b=p,ab=q.p0,q0,a0,b0.又a,b,-2这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,2b=a-2,ab=4或2a=b-2,ab=4.解得a=4,b=1;解得a=1,b=4.p=a+b=5,q=14=4.p+q=9.故
10、选D.14.(2020宁夏银川一中四模)设数列an满足a1=2,a2=6,且an+2-2an+1+an=2.(1)a4=;(2)若x表示不超过x的最大整数,则2 020a1+2 020a2+2 020a2 020=.答案:(1)20(2)2 019解析:(1)由a1=2,a2=6,且an+2-2an+1+an=2,得a3-2a2+a1=a3-12+2=2,解得a3=12.又由a4-2a3+a2=a4-24+6=2,得a4=20.(2)由an+2-2an+1+an=2,得(an+2-an+1)-(an+1-an)=2,所以数列an+1-an为首项a2-a1=4,公差为2的等差数列,即an+1-a
11、n=4+2(n-1)=2(n+1).所以an=a1+(a2-a1)+(an-an-1)=2+4+6+2n=12n(2+2n)=n(n+1),n2.当n=1时,a1=12=2,满足上式.故an=n(n+1),从而1an=1n(n+1)=1n-1n+1,20201a1+1a2+1a2 020=20201-12+12-13+12 020-12 021=20201-12 021=2019+12021,所以2 020a1+2 020a2+2 020a2 020=2019.15.(2020山东淄博一模)已知一个等差数列an的前3项a1,a2,a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数,且其中的任意两个数不在
12、表的同一列.行第一列第二列第三列第一行582第二行4312第三行1669(1)请选择一个可能的a1,a2,a3组合,并求数列an的通项公式;(2)记(1)中选择的an的前n项和为Sn,判断是否存在正整数k,使得a1,ak,Sk+2成等比数列,若存在,请求出k的值;若不存在,请说明理由.解：(1)由题意可知,有两种组合满足条件:a1=8,a2=12,a3=16,此时等差数列an,a1=8,d=4,所以其通项公式为an=8+4(n-1)=4n+4.a1=2,a2=4,a3=6,此时等差数列an,a1=2,d=2,所以其通项公式为an=2n.(2)若选择,Sn=n(8+4n+4)2=2n2+6n.则
13、Sk+2=2(k+2)2+6(k+2)=2k2+14k+20.若a1,ak,Sk+2成等比数列,则ak2=a1Sk+2,即(4k+4)2=8(2k2+14k+20),整理,得5k=-9,此方程无正整数解,故不存在正整数k,使得a1,ak,Sk+2成等比数列.若选择,Sn=n(2+2n)2=n2+n,则Sk+2=(k+2)2+(k+2)=k2+5k+6.若a1,ak,Sk+2成等比数列,则ak2=a1Sk+2,即(2k)2=2(k2+5k+6),整理得k2-5k-6=0,因为k为正整数,所以k=6.故存在正整数k=6,使得a1,ak,Sk+2成等比数列.高考预测16.已知等比数列bn,b1+b2=34,且b2+b3=38.(1)求数列bn的通项公式;(2)若数列ann是首项为b1,公差为b2的等差数列,求数列1an的前n项和.解：(1)设数列bn的公比为q,则b1+b1q=34,b1q+b1q2=38,解得b1=12,q=12,所以bn=12n.(2)由(1)知数列ann是首项为12,公差为14的等差数列,所以ann=12+(n-1)14=n+14,从而an=n2+n4.所以1an=4n(n+1)=41n-1n+1.故数列1an的前n项和Sn=411-12+12-13+1n-1n+1=41-1n+1=4nn+1.