1、考点规范练30数列的概念与表示基础巩固1.数列1,23,35,47,59,的一个通项公式an=()A.n2n+1B.n2n-1C.n2n-3D.n2n+3答案:B2.(2020安徽芜湖期末)已知数列an的前n项和为Sn=n2-2n+2,则a8=()A.13B.15C.17D.19答案:A解析:a8=S8-S7=82-28+2-(72-27+2)=13,故选A.3.(2020河北石家庄模拟)若数列an满足a1=2,an+1=1+an1-an,则a2 020的值为()A.2B.-3C.-12D.13答案:D解析:因为a1=2,an+1=1+an1-an,所以a2=1+a11-a1=-3,a3=1+
2、a21-a2=-12,a4=1+a31-a3=13,a5=1+a41-a4=2,故数列an是以4为周期的周期数列,从而a2020=a5054=a4=13.4.已知数列an的前n项和为Sn=n2+n+1,bn=(-1)nan(nN*),则数列bn的前50项和为()A.49B.50C.99D.100答案:A解析:由题意得,当n2时,an=Sn-Sn-1=2n,当n=1时,a1=S1=3,所以数列bn的前50项和为-3+4-6+8-10+96-98+100=1+48=49,故选A.5.记Sn为数列an的前n项和.“任意正整数n,均有an0”是“Sn是递增数列”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条
3、件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案:A解析:“an0”“数列Sn是递增数列”,“an0”是“数列Sn是递增数列”的充分条件.如数列an为-1,1,3,5,7,9,显然数列Sn是递增数列,但是an不一定大于零,还有可能小于零,“数列Sn是递增数列”不能推出“an0”,“an0”是“数列Sn是递增数列”的不必要条件.“an0”是“数列Sn是递增数列”的充分不必要条件.6.设数列2,5,22,11,则41是这个数列的第项.答案:14解析:由已知得数列的通项公式为an=3n-1.令3n-1=41,解得n=14,即为第14项.7.已知数列an的前n项和为Sn,a1=1,Sn+1=2Sn(nN*)
4、,则a10=.答案:256解析:因为a1=S1=1,Sn+1=2Sn,所以数列Sn是公比为2的等比数列,所以Sn=2n-1,所以a10=S10-S9=29-28=28=256.8.若数列an的前n项和Sn=3n2-2n+1,则数列an的通项公式an=.答案:2,n=1,6n-5,n2解析:当n=1时,a1=S1=312-21+1=2;当n2时,an=Sn-Sn-1=3n2-2n+1-3(n-1)2-2(n-1)+1=6n-5,显然当n=1时,a1=2不满足上式.故数列an的通项公式为an=2,n=1,6n-5,n2.9.设数列an是首项为1的正项数列,且(n+1)an+12-nan2+an+1
5、an=0,则它的通项公式an=.答案:1n解析:(n+1)an+12-nan2+an+1an=0,(n+1)an+1-nanan+1+an=0.an是首项为1的正项数列,(n+1)an+1=nan,即an+1an=nn+1,故an=anan-1an-1an-2a2a1a1=n-1nn-2n-1121=1n.10.已知数列an的前n项和为Sn.(1)若Sn=(-1)n+1n,求a5+a6及数列an的通项公式;(2)若Sn=3n+2n+1,求数列an的通项公式.解:(1)因为Sn=(-1)n+1n,所以a5+a6=S6-S4=(-6)-(-4)=-2.当n=1时,a1=S1=1;当n2时,an=S
6、n-Sn-1=(-1)n+1n-(-1)n(n-1)=(-1)n+1n+(n-1)=(-1)n+1(2n-1).又a1也适合于此式,所以an=(-1)n+1(2n-1).(2)当n=1时,a1=S1=6;当n2时,an=Sn-Sn-1=(3n+2n+1)-3n-1+2(n-1)+1=23n-1+2.因为a1不适合式,所以an=6,n=1,23n-1+2,n2.能力提升11.已知数列an满足an+1=an-an-1(n2),a1=m,a2=n,Sn为数列an的前n项和,则S2 017的值为()A.2 017n-mB.n-2 017mC.mD.n答案:C解析:an+1=an-an-1(n2),a1
7、=m,a2=n,a3=n-m,a4=-m,a5=-n,a6=m-n,a7=m,a8=n,an+6=an.则S2017=S3366+1=336(a1+a2+a6)+a1=3360+m=m.12.已知函数f(x)是定义在区间(0,+)内的单调函数,且对任意的正数x,y都有f(xy)=f(x)+f(y).若数列an的前n项和为Sn,且满足f(Sn+2)-f(an)=f(3)(nN*),则an等于()A.2n-1B.nC.2n-1D.32n-1答案:D解析:由题意知f(Sn+2)=f(an)+f(3)=f(3an)(nN*),Sn+2=3an,Sn-1+2=3an-1(n2),两式相减,得2an=3a
8、n-1(n2).又当n=1时,S1+2=3a1=a1+2,a1=1.数列an是首项为1,公比为32的等比数列.an=32n-1.13.已知数列an满足:a1+3a2+5a3+(2n-1)an=(n-1)3n+1+3(nN*),则数列an的通项公式an=.答案:3n解析:a1+3a2+5a3+(2n-3)an-1+(2n-1)an=(n-1)3n+1+3,当n2时,把n换成n-1,得a1+3a2+5a3+(2n-3)an-1=(n-2)3n+3,两式相减得an=3n,当n=1时,a1=3,符合,所以an=3n.14.(2020上海青浦区二模)定义函数f(x)=xx,其中x表示不小于x的最小整数,
9、如1.4=2,-2.3=-2.当x(0,n(nN*)时,函数f(x)的值域为An,记集合An中元素的个数为an,则an=.答案:n(n+1)2解析:由题意得,当x(n-1,n时,x=n,所以xx所在的区间为(n(n-1),n2,区间长度为n,xx取到的整数为n2-n+1,n2-n+2,n2-n+n=n2,共n个,所以,当x(0,1时,xx有1个;当x(1,2时,xx有2个;当x(2,3时,xx有3个;当x(n-1,n时,xx有n个.所以x(0,n时,xx共有1+2+3+n=n(n+1)2个数.故an=n(n+1)2.15.设数列an的前n项和为Sn.已知a1=a(a3),an+1=Sn+3n,
10、nN*,bn=Sn-3n.(1)求数列bn的通项公式;(2)若an+1an,求a的取值范围.解:(1)因为an+1=Sn+3n,所以Sn+1-Sn=an+1=Sn+3n,即Sn+1=2Sn+3n,由此得Sn+1-3n+1=2(Sn-3n),即bn+1=2bn.又b1=S1-3=a-3,故bn的通项公式为bn=(a-3)2n-1.(2)由题意可知,a2a1对任意的a都成立.由(1)知Sn=3n+(a-3)2n-1.于是,当n2时,an=Sn-Sn-1=3n+(a-3)2n-1-3n-1-(a-3)2n-2=23n-1+(a-3)2n-2,故an+1-an=43n-1+(a-3)2n-2=2n-21232n-2+a-3.当n2时,由an+1an,可知1232n-2+a-30,即a-9.又a3,故所求的a的取值范围是-9,3)(3,+).高考预测16.已知数列an的通项公式an=a,n=1,4n+(-1)n(8-2a),n2,若对任意nN*,anan+1恒成立,则a的取值范围是.答案:(3,5)解析:对任意nN*,anan+1恒成立,当n=1时,由a1a2,可得a8+(8-2a),解得a163;当n2时,4n+(-1)n(8-2a)0,当n=2k时,可化为-(4-a)+10,解得a3;当n=2k+1时,可化为4-a+10,解得a5.综上可得3a5.a的取值范围是(3,5).