1、考纲要求1.了解直接证明的两种基本方法分析法和综合法，了解分析法和综合法的思考过程和特点。2.了解反证法的思考过程和特点。考情分析1.从近几年高考试题看，综合法、分析法及反证法是高考常考内容，主要考查学生观察问题、分析问题及解决问题的能力。2常与数列、函数、不等式、立体几何、解析几何等知识交汇命题，在求解过程中应注意解答的规范化。小题热身1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)综合法的思维过程是由因导果，逐步寻找已知的必要条件。()(2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件。()(3)用反证法证明时，推出的矛盾不能与假设矛盾。()(4)在解决问题时，常常用分析法寻找解
2、题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程。()解析：(1)正确。因为综合法的思维过程是由因导果，就是寻找已知的必要条件，因此(1)正确。(2)错误。分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充分条件，不是充要条件。(3)错误。用反证法证明时，推出的矛盾可以与已知、公理、定理、事实或者假设等相矛盾。(4)正确。在解决问题时，常常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程。2用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于 60”时，假设正确的是()A假设三内角都不大于 60B假设三内角都大于 60C假设三内角至多有一个大于 60D假设三内角至多有两个大于 60解析：根
3、据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，即“三内角都大于 60 度”。故选 B。答案：B3若 a，bR，则下面四个式子中恒成立的是()Alg(1a2)0 Ba2b22(ab1)Ca23ab2b2D.aba1b1解析：在 B 中，a2b22(ab1)(a22a1)(b22b1)(a1)2(b1)20，a2b22(ab1)恒成立。答案：B4设 a，b，c(，0)，则 a1b，b1c，c1a()A都不大于2B都不小于2C至少有一个不大于2D至少有一个不小于2解析：因为 a1bb1cc1a6，所以三者不能都大于2。答案：C5设 a 32 2，b2 7，则 a，b 的大小关系为_。解析：a 32 2，
4、b2 7两式的两边分别平方，可得 a2114 6，b2114 7，显然，6 7。ab。答案：ab知识重温一、必记 3个知识点1综合法一般地，利用_，经过一系列的_，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法。用 P 表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q 表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为：PQ1 Q1Q2 Q2Q3 QnQ已知条件和某些数学定义、公理、定理等推理论证2分析法一 般 地，从 要 _ 出 发，逐 步 寻 求使 它成 立 的 _，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止。这种证明的方法叫做分析法。用 Q 表示要证
5、明的结论，则分析法可用框图表示为：QP1 P1P2 P2P3 得到一个明显成立的条件3反证法一般地，假设_，经过正确的推理，最后得出_，因此说明_，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。证明的结论充分条件原命题不成立矛盾假设错误二、必明 2个易误点1用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)”“即要证”“就要证”等分析到一个明显成立的结论 P，再说明所要证明的数学问题成立。2利用反证法证明数学问题时，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的。考点一 综合法【典例 1】设an是首项为 a，公差为 d 的等差数列(d0)，Sn 是其前 n 项的和。记
6、 bn nSnn2c，nN*，其中 c 为实数，若 c0，且 b1，b2，b4 成等比数列，证明：Snkn2Sk(k，nN*)。证明：由题意得，Snnann12d。由 c0，得 bnSnn an12 d。又因为 b1，b2，b4成等比数列，所以 b22b1b4，即ad22aa32d，化简得 d22ad0。因为 d0，所以 d2a。因此，对于所有的 mN*，有 Smm2a。从而对于所有的 k，nN*，有 Snk(nk)2an2k2an2Sk。悟技法通一类1(2016中山模拟)定义在 x0,1上的函数 f(x)。若 x10，x20且 x1x21，都有 f(x1x2)f(x1)f(x2)成立，则称函
7、数 f(x)为理想函数。g(x)2x1(x0,1)是否为理想函数，如果是，请予以证明；如果不是，请说明理由。解析：g(x)2x1(x0,1)是理想函数。当 x10，x20，且 x1x21 时，f(x1x2)212xx 1，f(x1)f(x2)21x 22x 2，所以 f(x1x2)f(x1)f(x2)212xx 21x 22x 121x(22x 1)(22x 1)(2x21)(2x11)，因为 x10，x20，所以 21x 10,22x 10，所以 f(x1x2)f(x1)f(x2)0，则 f(x1x2)f(x1)f(x2)。故函数 g(x)2x1(x0,1)是理想函数。考点二 分析法【典例
8、2】已知函数 f(x)tanx，x0，2，若 x1，x20，2，且x1x2，求证：12f(x1)f(x2)fx1x22。证 明：要 证 12 f(x1)f(x2)f x1x22，即 证 明 12(tanx1 tanx2)tanx1x22，只需证明12sinx1cosx1sinx2cosx2 tanx1x22，只需证明 sinx1x22cosx1cosx2sinx1x21cosx1x2。由于 x1，x20，2，故 x1x2(0，)。cosx1cosx20，sin(x1x2)0，1cos(x1x2)0，故只需证明 1cos(x1x2)2cosx1cosx2，即证 1cosx1cosx2sinx1s
9、inx22cosx1cosx2，即证：cos(x1x2)fx1x22。悟技法分析法证题的技巧(1)逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件。正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键。(2)证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价(或充分成立)的中间结论，然后通过综合法由条件证明这个中间结论，从而使原命题得证。通一类2已知函数 f(x)3x2x，试证：对于任意的 x1，x2R，均有fx1fx22fx1x22。证明：要证明fx1fx22fx1x22，即证明2x1x22，因此只要证明(x1x2)，即证明，因此只要证明，由于 x1，x2R
10、时，31x 0,32x 0，由基本不等式知显然成立，故原结论成立。考点三 反证法【典例 3】设an是公比为 q 的等比数列。(1)推导an的前 n 项和公式。(2)设 q1，证明数列an1不是等比数列。解析：(1)分两种情况讨论。当 q1 时，数列an是首项为 a1 的常数数列，所以 Sna1a1a1na1。当 q1 时，Sna1a2an1anqSnqa1qa2qan1qan。上面两式错位相减：(1q)Sna1(a2qa1)(a3qa2)(anqan1)qana1qanSna1qan1q a11qn1q。综上，Snna1，q1，a11qn1q，q1。(2)使用反证法。设an是公比 q1 的等比
11、数列，假设数列an1是等比数列，则(a21)2(a11)(a31)，即(a1q1)2(a11)(a1q21)，整理得 a1(q1)20 得 a10 或 q1 均与题设矛盾，故数列an1不是等比数列。悟技法用反证法证明不等式要把握三点：(1)必须先否定结论，即肯定结论的反面；(2)必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须依据这一条件进行推证；(3)推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与已知事实矛盾等，且推导出的矛盾必须是明显的。通一类3等差数列an的前 n 项和为 Sn，a11 2，S393 2。(1)求数列an的通项 an 与前 n 项和 Sn；(2)
12、设 bnSnn(nN*)，求证：数列bn中任意不同的三项都不可能成为等比数列。解析：(1)由已知得a1 21，3a13d93 2，d2，故 an2n1 2，Snn(n 2)。(2)证明：由(1)得 bnSnn n 2。假设数列bn中存在三项 bp，bq，br(p，q，rN*，且互不相等)成等比数列，则 b2qbpbr。即(q 2)2(p 2)(r 2)。(q2pr)2(2qpr)0。p，q，rN*，q2pr0，2qpr0。pr22pr，(pr)20.pr，与 pr 矛盾。数列bn中任意不同的三项都不可能成等比数列。高考模拟1用反证法证明命题“设 a，b 为实数，则方程 x3axb0 至少有一个
13、实根”时，要做的假设是()A方程 x3axb0 没有实根B方程 x3axb0 至多有一个实根C方程 x3axb0 至多有两个实根D方程 x3axb0 恰好有两个实根解析：至少有一个实根的否定是没有实根，故做的假设是“方程x3axb0 没有实根”。答案：A2(2016昆明模拟)命题“对于任意角，cos4sin4cos2”的证明：“cos4sin4(cos2sin2)(cos2sin2)cos2sin2cos2”过程应用了()A分析法B综合法C综合法、分析法综合使用D间接证明法解析：证明过程是由左到右顺次证明，因而采用了综合法。答案：B3(2016厦门模拟)已知函数 f(x)12(exex)，则
14、f(x)的图象()A关于原点对称 B关于 y 轴对称C关于 x 轴对称 D关于直线 yx 对称解析：因为 f(x)的定义域为 R。且 f(x)12(exex)12(exex)f(x)。所以 f(x)是奇函数，因而 f(x)的图象关于原点对称。答案：A4(2016潍坊模拟)设 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且当 x0 时，f(x)单调递减，若 x1x20，则 f(x1)f(x2)的值()A恒为负值 B恒等于零C恒为正值 D无法确定正负解析：由 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且当 x0 时，f(x)单调递减，可知 f(x)是 R 上的单调递减函数，由 x1x20，可知 x1x2，f(x1)
15、f(x2)f(x2)，则 f(x1)f(x2)0，故选 A。答案：A5(2016长沙模拟)已知函数 f(x)log2(x2)，a，b，c 是两两不相等的正数，且 a，b，c 成等比数列，试判断 f(a)f(c)与 2f(b)的大小关系为_。解析：因为 f(a)log2(a2)，f(c)log2(c2)，2f(b)2log2(b2)。因为 a，b，c 是不相等的正数，所以 ac2 ac。因为 a，b，c 成等比数列，b2ac，所以 ac2(ac)b24b，即 ac2(ac)4b24b4，从而(a2)(c2)(b2)2。因为 f(x)log2(x2)是增函数，所以 log2(a2)(c2)log2(b2)2，即 log2(a2)log2(c2)2log2(b2)。故 f(a)f(c)2f(b)。答案：f(a)f(c)2f(b)
