1、考点规范练51双曲线基础巩固1.(2020山西运城模拟)当m变化时,对于双曲线C:x22m-y2m=1(m0),值不变的是()A.实轴长B.虚轴长C.焦距D.离心率答案:D解析:由题意可得a2=2m,b2=m,c2=3m,显然双曲线实轴长、虚轴长、焦距都是变量,而离心率e=ca=62是常数.故选D.2.设椭圆C1的离心率为513,焦点在x轴上,且长轴长为26,若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8,则曲线C2的标准方程为()A.x242-y232=1B.x2132-y252=1C.x232-y242=1D.x2132-y2122=1答案:A解析:由题意知椭圆C1的焦点坐标
2、为F1(-5,0),F2(5,0),设曲线C2上的一点P,则|PF1|-|PF2|=8.由双曲线的定义知a=4,b=3.故曲线C2的标准方程为x242-y232=1.3.双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1作x轴的垂线交双曲线于A,B两点,若AF2B3,则双曲线离心率的取值范围是()A.(1,3)B.(1,6)C.(1,23)D.(3,33)答案:A解析:由题意,将x=-c代入双曲线的方程,得y2=b2c2a2-1=b4a2,|AB|=2b2a.过焦点F1且垂直于x轴的弦为AB,AF2B3,AF2F16,tanAF2F1=b2a2c1.c2-a22ac
3、33,12e-12e0,b0)的两条渐近线分别交于D,E两点.若ODE的面积为8,则C的焦距的最小值为()A.4B.8C.16D.32答案:B解析:由题意可知,双曲线的渐近线方程为y=bax.因为直线x=a与双曲线的渐近线分别交于D,E两点,所以不妨令D(a,-b),E(a,b),所以|DE|=2b.所以SODE=122ba=ab=8.所以c2=a2+b22ab=16,当且仅当a=b=22时取等号.所以c4,所以2c8.所以双曲线C的焦距的最小值为8.故选B.5.设F1和F2为双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的两个焦点,若F1,F2,P(0,2b)是等边三角形的三个顶点,则双曲线的渐
4、近线方程是()A.y=33xB.y=3xC.y=217xD.y=213x答案:B解析:F1,F2,P(0,2b)是等边三角形的三个顶点,设F1(-c,0),F2(c,0),则|F1P|=c2+4b2,c2+4b2=2c.c2+4b2=4c2,c2+4(c2-a2)=4c2.c2=4a2,即c=2a,b=c2-a2=3a.双曲线的渐近线方程为y=bax,即为y=3x.故选B.6.(2020全国,理15)已知F为双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右焦点,A为C的右顶点,B为C上的点,且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3,则C的离心率为.答案:2解析:由题意可得A(a,0),F(c,0)
5、,其中c=a2+b2.由BF垂直于x轴可得点B的横坐标为c,代入双曲线方程可得点B的坐标为Bc,b2a.AB的斜率为3,Bc,b2a.kAB=b2ac-a=b2a(c-a)=c2-a2a(c-a)=c+aa=e+1=3,e=2.7.双曲线C:x24-y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线交双曲线左支于A,B两点,则|AF2|+|BF2|的最小值为.答案:9解析:由双曲线的定义,得|AF2|+|BF2|=|AF1|+2a+|BF1|+2a=|AB|+4a2b2a+4a=212+8=9.8.设A,B分别为双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右顶点,双曲线的实轴长为43,焦点
6、到渐近线的距离为3.(1)求双曲线的方程;(2)已知直线y=33x-2与双曲线的右支交于M,N两点,且在双曲线的右支上存在点D,使OM+ON=tOD,求t的值及点D的坐标.解:(1)由题意知a=23,故可得一条渐近线方程为y=b23x,即bx-23y=0,所以|bc|b2+12=3,又c2=a2+b2,所以b2=3,所以双曲线的方程为x212-y23=1.(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),D(x0,y0),则x1+x2=tx0,y1+y2=ty0.将直线方程y=33x-2代入双曲线方程得x2-163x+84=0,0,则x1+x2=163,y1+y2=12.故x0y0=433,x021
7、2-y023=1,解得x0=43,y0=3.由OM+ON=tOD,得(163,12)=(43t,3t),故t=4,点D的坐标为(43,3).9.已知点M(-2,0),N(2,0),动点P满足条件|PM|-|PN|=22,记动点P的轨迹为W.(1)求W的方程;(2)若A和B是W上的不同的两点,O是坐标原点,求OAOB的最小值.解:(1)由|PM|-|PN|=22知动点P的轨迹是以M,N为焦点的双曲线的右支,实半轴长a=2.又焦距2c=4,所以虚半轴长b=c2-a2=2.所以W的方程为x22-y22=1(x2).(2)设A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).当ABx轴时,x1=x2,y
8、1=-y2,从而OAOB=x1x2+y1y2=x12-y12=2.当AB与x轴不垂直时,设直线AB的方程为y=kx+m(k1),与W的方程联立,消去y得(1-k2)x2-2kmx-m2-2=0,又0,则x1+x2=2km1-k2,x1x2=m2+2k2-1,所以OAOB=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=(1+k2)(m2+2)k2-1+2k2m21-k2+m2=2k2+2k2-1=2+4k2-1.又因为x1x20,所以k2-10.所以OAOB2.综上所述,当ABx轴时,OAOB取得最小值2.能力提升10.已知点F1,F
9、2是双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点,O为坐标原点,点P在双曲线C的右支上,且满足|F1F2|=2|OP|,|PF1|3|PF2|,则双曲线C的离心率的取值范围为()A.(1,+)B.102,+C.1,102D.1,52答案:C解析:由|F1F2|=2|OP|,可得|OP|=c,则PF1F2为直角三角形,且PF1PF2,可得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,由双曲线定义可得|PF1|-|PF2|=2a.又|PF1|3|PF2|,所以|PF2|a,所以(|PF2|+2a)2+|PF2|2=4c2,化为(|PF2|+a)2=2c2-a2,即有2c2-a24a2,
10、可得c102a,由e=ca1,可得10)的右焦点为F,点Q(0,b),已知点P在双曲线C的左支上,若PQF的周长的最小值是8,则双曲线C的离心率是,此时,点P的坐标为.答案:5-52,1解析:如图,设F为C的左焦点,连接PF,QF,则|QF|=|QF|,|PF|=|PF|+2,所以PQF的周长l=|PQ|+|PF|+|QF|=|PQ|+|PF|+|QF|+2.因为|PQ|+|PF|QF|=c2+b2,所以PQF的周长l2c2+b2+2.因为PQF的周长的最小值是8,所以2c2+b2+2=8,所以b=2,c=5,所以双曲线C的离心率是ca=5.当PQF的周长取最小值时,点P在直线QF上,联立y=
11、255x+2,x2-y24=1,解得x=-52,y=1,故P的坐标为-52,1.12.已知双曲线C:x2-y2=1及直线l:y=kx-1.(1)若l与C有两个不同的交点,求实数k的取值范围;(2)若l与C交于A,B两点,O是坐标原点,且AOB的面积为2,求实数k的值.解:(1)双曲线C与直线l有两个不同的交点,则方程组x2-y2=1,y=kx-1有两个不同的实数根,整理得(1-k2)x2+2kx-2=0.故1-k20,=4k2+8(1-k2)0,解得-2k|x2|时,SOAB=SOAD-SOBD=12(|x1|-|x2|)=12|x1-x2|;当A,B在双曲线的两支上,且x1x2时,SOAB=
12、SODA+SOBD=12(|x1|+|x2|)=12|x1-x2|.故SOAB=12|x1-x2|=2,即(x1-x2)2=(22)2,即-2k1-k22+81-k2=8,解得k=0或k=62.又-2k0,b10)和椭圆C2:y2a22+x2b22=1(a2b20)均过点P233,1,且以C1的两个顶点和C2的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形.(1)求C1,C2的方程;(2)是否存在直线l,使得l与C1交于A,B两点,与C2只有一个公共点,且|OA+OB|=|AB|?证明你的结论.解:(1)设C2的焦距为2c2,由题意知,2c2=2,2a1=2.从而a1=1,c2=1.因为点P233,
13、1在双曲线x2-y2b12=1上,所以2332-1b12=1.故b12=3.由椭圆的定义知2a2=2332+(1-1)2+2332+(1+1)2=23.于是a2=3,b22=a22-c22=2.故C1,C2的方程分别为x2-y23=1,y23+x22=1.(2)不存在符合题设条件的直线.若直线l垂直于x轴,因为l与C2只有一个公共点,所以直线l的方程为x=2或x=-2.当x=2时,易知A(2,3),B(2,-3),所以|OA+OB|=22,|AB|=23.此时,|OA+OB|AB|.当x=-2时,同理可知,|OA+OB|AB|.若直线l不垂直于x轴,设l的方程为y=kx+m.由y=kx+m,x
14、2-y23=1得(3-k2)x2-2kmx-m2-3=0.当l与C1相交于A,B两点时,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是上述方程的两个实根,从而x1+x2=2km3-k2,x1x2=m2+3k2-3.于是y1y2=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=3k2-3m2k2-3.由y=kx+m,y23+x22=1得(2k2+3)x2+4kmx+2m2-6=0.因为直线l与C2只有一个公共点,所以上述方程的判别式=16k2m2-8(2k2+3)(m2-3)=0.化简,得2k2=m2-3,因此OAOB=x1x2+y1y2=m2+3k2-3+3k2-3m2k2-3=-k2-3k2-
15、30,于是OA2+OB2+2OAOBOA2+OB2-2OAOB,即|OA+OB|2|OA-OB|2,故|OA+OB|AB|.综合可知,不存在符合题设条件的直线.高考预测14.圆M:(x-m)2+y2=4与双曲线C:y2a2-x2b2=1(a0,b0)的两条渐近线相切于A,B两点,若|AB|=2,则C的离心率为()A.233B.3C.2D.3答案:A解析:圆M:(x-m)2+y2=4的圆心坐标为M(m,0),双曲线C:y2a2-x2b2=1(a0,b0)的两条渐近线方程为y=abx.由圆M和两条渐近线都关于x轴对称,可设A(s,1),B(s,-1),s0,sm.由题意可得(s-m)2+1=4,则s-m=-3.由A为切点,直线AM与渐近线y=abx垂直,可得1s-mab=-1,则ba=33,可得双曲线的离心率为e=ca=1+b2a2=1+13=233,故选A.9
