1、压轴大题突破练压轴大题突破练(一)(推荐时间：60分钟)1 已知函数f(x)xln(1x)a(x1)，其中a为实常数(1)当x1，)时，f(x)0恒成立，求a的取值范围；(2)求函数g(x)f(x)的单调区间解(1)由题意知：f(x)ln(1x)a0，则a0，即h(x)在1，)上单调递增，a1，x(1，a2)时，g(x)0，g(x)在(a2，)上单调递增当a1时，g(x)0，g(x)在(1，)上单调递增，综上所述，当a1时，g(x)的增区间为(a2，)，减区间为(1，a2)，当a1时，g(x)的增区间为(1，)2 已知抛物线x24y，过点A(0,1)任意作一条直线l交抛物线C于M，N两点，O为
2、坐标原点(1)求的值；(2)过M，N分别作抛物线C的切线l1，l2，试探求l1与l2的交点是否在定直线上，并证明你的结论解(1)由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为ykx1，M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立方程组消去y得x24kx40，所以x1x24k，x1x24，y1y2(kx11)(kx21)k2x1x2k(x1x2)14k24k211，故x1x2y1y2413.(2)因为x24y，所以yx，l1的方程为yx1(xx1)，整理得yx1x，同理得l2的方程为yx2x；联立方程x2x1得(x2x1)y，y1，故l1与l2的交点的纵坐标等于1，即l1与l2的交点在直线y1上3 已知
3、函数f(x)ax3bx23x在x1处取得极值(1)求函数f(x)的解析式；(2)求证：对于区间1,1上任意两个自变量的值x1，x2，都有|f(x1)f(x2)|4；(3)若过点A(1，m)(m2)可作曲线yf(x)的三条切线，求实数m的取值范围(1)解f(x)3ax22bx3，依题意，f(1)f(1)0，即解得a1，b0.f(x)x33x.(2)证明f(x)x33x，f(x)3x233(x1)(x1)，当1x1时，f(x)0，故f(x)在区间1,1上为减函数，f(x)maxf(1)2，f(x)minf(1)2.对于区间1,1上任意两个自变量的值x1，x2，都有|f(x1)f(x2)|f(x)m
4、axf(x)min|2(2)4.(3)解f(x)3x233(x1)(x1)，曲线方程为yx33x，点A(1，m)(m2)不在曲线上设切点为M(x0，y0)，则点M的坐标满足y0x3x0.因f(x0)3(x1)，故切线的斜率为3(x1)，整理得2x3xm30.过点A(1，m)可作曲线的三条切线，关于x0的方程2x3xm30有三个实根设g(x0)2x3xm3，则g(x0)6x6x0，由g(x0)0，得x00或x01.g(x0)在(，0)和(1，)上单调递增，在(0,1)上单调递减函数g(x0)2x3xm3的极值点为x00，x01.关于x0的方程2x3xm30有三个实根的充要条件是解得3m2.故所求
5、的实数m的取值范围是(3，2)4 已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线y24x上相异的两点，且满足x1x22.(1)若AB的中垂线经过点P(0,2)，求直线AB的方程；(2)若AB的中垂线交x轴于点M，求AMB的面积的最大值及此时直线AB的方程解(1)当AB垂直于x轴时，显然不符合题意，所以可设直线AB的方程为ykxb，代入方程y24x得：k2x2(2kb4)xb20，有x1x22得bk，直线AB的方程为yk(x1)，AB中点的横坐标为1，AB中点的坐标为，AB的中垂线方程为y(x1)x，AB的中垂线经过点P(0,2)，故2得k，故直线AB的方程yx，即9x6y10.(2)由(1)可知AB的中垂线方程为yx，M点的坐标为(3,0)直线AB的方程为k2xky2k20，M到直线AB的距离d，由得y2ky2k20，y1y2，y1y2，|AB|y1y2|，SAMB4，设t，则0t1，S4t(2t2)4t38t，S12t28，由S0，得t，即k时，Smax，直线AB的方程为3xy10.
