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2023届高三数学 寒假二轮微专题45讲 43.doc

1、43排列组合与概率5.1排列组合5.1.1 含有相同元素的全排列若个元素,有个元素相同,另有个元素也相同,一直到另有个元素相同,即,这个元素的全排列数为理解方式:方法1. 将个元素彼此之间种交换顺序的排列合并为一种. 方法2. 只选位置.注:此种理解方式其实完全等同于组合数的推导.例1. 走上7级台阶,每次只能上一级或者两级,共有多少种不同的走法?1级13572级0123解:分类,共有4种走法,故.点评:本题亦可用递推公式斐波那契数列.练习:1. 66的方格中停有三辆完全相同的红车和三辆完全相同的黑车,每一行每一列只有一辆车,每辆车占一格,则停放总数为_14400_.2. 在一个44的方格中填

2、入8个1,使得每一行每一列都有2个1,填法的总数为_90_.5.1.2 容斥原理下的错位排列.设集合,其所有元素的一个全排列满足,都有,则称这样的全排列为错位全排列.例2. 证明:错位全排列数为:.证明:记为满足的全排列的集合,则显然由容斥原理,排列数为,证毕.5.1.3 不定方程 的非负整数解.例3. 求证:(1)方程 的正整数解为个.(2)方程 的非负整数解为个.证明:(1)挡板法:(2) 的非负整数解一一对应的正整数解,.练习:两个实数集,若从到的映射使得中每个元素都有原象且,则这样的映射共有( )个. . . .5.1.4 二项式定理恒等式:(1) (2) (3)(范德蒙恒等式)其他结

3、论:例4.求中的系数.解法1. .解法2.数列求和.例5. 求的百万位上的数字.解:. 由于则当时,百万位上均为0,故答案为.点评:求形如某一指定位置数字时,常用二项展开式.例6.将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色,并使同一条棱的两个端点异色,共有5种颜色可供使用,则不同的染色方法共有_420_种.解:分类:用5种颜色时:,用4种颜色时:,用5种颜色时:,故总的涂法.练习:用4种不同的颜色涂在三棱台的6个顶点,要求同一条棱上的两点不同颜色,则不同的染色方法共有_264_种.例7. 对于一个四位数,其各位数字至多有两个不相同,试求共有多少个这样的四位数?解法1: 4个,9种.3个和1个,这种情形

4、下,再分为1个0的情形,有种;3个0的情形,有种;没有0的情形,有种. 2个和2个,这种情形下,再分为无0,有种;有0,有种.故共计有种.点评:其中亦可用排除法,比如可用.解法2:全是,9种. 有两个数字,. 第一步:千位,种情况;第二步:再选一个数字,种情况;第三步:百十个位填数字,但不能都与千位相同,故要减1.因此,总的方法为.点评:解法2技巧性更强.练习题1. 解不等式. 2. 的最后位数是.3. 将凸五边形每个顶点染上五种颜色之一,使得每条对角线两个端点颜色不同的染色方法共有种.4. 已知集合且,则符合条件的共有_组.(顺序不同视为不同组)5. 的展开式中,有理数有项.6. 数列共有项

5、,且,则满足条件的数列共有个.7. 红蓝两色车,马,炮各一枚,将这六枚棋子排成一列,其中每对均是红在前,蓝在后,则共有种排法.8. 数列为等差数列,从而中取出三个数,依然构成等差数列,则取法共有种. 注:,即.9. ,则.10. ,若,则.注:11. 在平面直角坐标系中,则以中点为顶点且位置不同的正方形个数为.12. 设,其中,则在排列种,至少有两个相邻的排列的个数为.13. 马路上有编号为的盏路灯,为节能关闭只,但不能关闭相邻,也不能关闭两端,则关灯方法共有种.14. 已知集合满足,若中元素个数不是中元素,中元素个数不是中元素,则满足条件的集合的个数是.15. 若四位数满足,就称其为好数,那

6、么,好数的个数是.16. 从数按从小到大的顺序取出,使得且,那么所有符合要求的取法共有种.17. 记,则( ) 18. 整数满足,则这样的有( )组. 19. 已知是的一个排列,且,则有( )种不同排列数. 20. 方程的非负整数解有( )组. 21. 若集合的三个子集满足,且,则称为的有序子集列,现,则有( D )个有序子集列. 22. 设,则( ) 23. 为的一个排列,且,则排列共有_个.24. 在圆周十等分点中取四个,可围成梯形个.25. 将个数:个,个,个,个,填入一个矩阵,要求每行每列正好有个偶数,则共有_种填法.26. 从中挑三个不同的数字组成五位数,其中有两个数字各用了两次,如

7、,则这样的五位数共有( )个. 27. 从正边形所有顶点中选个,能构成( )个钝角三角形. 28. ( ) 以上均不对5.1.5 卡塔兰数:例8. 已知,并且满足,求有序数组的个数.解:依题,中共有个,个,先不考虑记为(*)式,则共有种,接下来考虑排除法,若不符合(*)式,则一定存在一个的自然数,使得:,现将全部改变符号,即有:,对应后则有个,个,反之,对任一个个,个组成的有序数组,其必然存在一个最小的自然数,满足.作对应,显然,与互为逆映射,从而不满足(*)式的个数,就是由个,个组成的有序数组的个数,从而.点评:卡塔兰数在组合数学中常出现在各种计数问题中,其前几项为,其满足 或.主要应用场景

8、:(1)括号化: (2)出栈次序 (3)凸多边形三角划分 (4)给定节点组成二叉树注:2016年三卷高考选择题12题即卡塔兰数的应用.常见等价场景:(1) 个人进入剧场,票价元,有个人有元,个人有元,售票员不带钱,问有多少种方式使得只要带元的人买票,售票员就可以找零.(2) 圆上有个点,连成条线段且不相交(3) 个高矮不同的人排成两排,每排从左到右逐渐变高,且每列从前到后也逐渐变高.概率统计概率统计题型近几年主要考察递推关系.例9. 几何分布期望与方差.几何分布:伯努利实验中,记每次试验中事件发生的概率为,试验进行到事件出现时停止,此时所进行的试验次数为,其分布列为:,记为,因为此分布列是几何

9、数列的一般项,故称几何分布.若,则,故.注: 以记第次成功出现时的试验次数,则亦是随机变量,称其概率分布为巴斯卡分布:,其中,记作,显然,的巴斯卡分布即几何分布. 以记第次成功出现时所经历的失败次数,则,有些资料上把这个称为巴斯卡分布,几何分布亦是如此定义,例10. 投掷一枚质量均匀的硬币,若出现两次正面向上即停止,问总投掷次数的数学期望.(2017年清华大学暑期学校)解法1. 显然,本题是的巴斯卡分布,记投掷次数为,则那么由于,故当时,.解法2. 采用递推关系,其中表示第一次不成功,表示第一次成功,为从第次开始,成功一次所需次数的随机变量,显然满足几何分布,故,则解得.点评:(1)解法1中,

10、可处理为,因为的二级导数为,不影响式子的值. ,此处先取极限再求导,因为这两者顺序可交换. 显然,这样处理计算量小得多,此手法使用母函数. (2)巴斯卡分布本身就可以分拆为个集合分布的叠加,其期望自然就是几何分布相加,即. (3)解法2中这样的递推公式竞赛和自招都比较喜欢考察,也很好用,比如几何分布的期望.练习:(1)设一个袋子里有红,黄,蓝色小球各一个,现每次从袋子里取出一个小球(取出某色球概率均相同),确定颜色后放回,直到连续两次取出红色球为止,记此时取出球的次数为,则_. (2)甲,乙两个赌徒赌博,约定先胜七局者赢得全部赌注,但进行到甲胜局,乙胜局时,因故不得不中止,试问如何分配赌注才公

11、平? (3)数学家左,右口袋中各有根火柴的一个火柴盒,每次任取一盒用一根,求发现一盒用光时,另一盒有根火柴的概率. (4)四人传球,首次甲传球,问传了次后,球回到甲的概率.例11.某人上台阶走格的概率是,走格的概率为,问他能走到第格的概率.解:设走到第格的概率为,则.点评:典型的递推.练习.1. 将长为的线段分成三段,能构成三角形的概率是多少?2. 上台阶走一格或者两格,现需要走格,请问有多少种走法?3. 将一枚均匀的硬币连续投掷次,以表示未出现连续次证明的概率.(1) 求;(2) 探究的递推公式并证明;(3) 讨论的单调性及极限,并阐述该极限的概率意义.4. 均匀正四面体上写有,每轮投掷两个正四面体,若底面数字之和大于则获胜且游戏结束,否则轮到其他玩家,则甲乙两人轮流投掷,由甲开始,问甲能获胜的概率?游戏进行轮数的数学期望?5. 一袋中有个白球和个黑球,从中任取一个球,取出白球则放回,黑球则不再放回且另补一个白球到袋中,次操作后,袋中白球个数记为.(1) 求的数学期望;(2) 设,求;(3) 证明:的数学期望.6. 如图,一点从出发,掷一枚骰子,若大于等于点,则沿平行于方向(正反方向均可)移动一步,若小于等于点,则沿平行于方向(正反方向均可)移动一步,投掷次骰子后,回到点的概率为,回到点的概率为.(1) 求;(2) 投掷次骰子经过点次数为,求的分布列;(3) 比较三者大小.

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