1、选修41几何证明选讲一、填空题1如图所示，过O外一点P作一条直线与O交于A，B两点已知PA2，过点P的O的切线长PT4，则弦AB的长为_解析由切割线定理知PT2PAPB，PB8.弦AB的长为PBPA826.答案62如图，已知RtABC的两条直角边AC，BC的长分别为3 cm,4 cm，以AC为直径的圆与AB交于点D，则_.解析AB5，由BC2BDBA知BD，DA5.答案3如图，ABCAFE，EF8，且ABC与AFE的相似比是32，则BC等于_解析ABCAFE，.又EF8，BC12.答案124如图所示，在RtABC中，ACB90，CDAB于D，且ADBD94，则ACBC的值为_解析因为ACB90
2、，CDAB于D，所以由射影定理，得AC2ADAB，BC2BDAB，所以2.因为ADBD94，所以ACBC32.答案325如图所示，在圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E，EFDB，垂足为F，若AB6，AE1，则DFDB_.解析利用相交弦定理及射影定理求解由题意知，AB6，AE1，BE5.CEDEDE2AEBE5.在RtDEB中，EFDB，由射影定理得DFDBDE25.答案56如图所示，过点P的直线与O相交于A，B两点若PA1，AB2，PO3，则O的半径r_.解设O的半径为r(r0)，PA1，AB2，PBPAAB3.延长PO交O于点C，则PCPOr3r.设PO交O于点D，则PD3r.由圆的割线
3、定理知，PAPBPDPC，13(3r)(3r)，则r.答案7(2013广东高考)如图，AB是圆O的直径，点C在圆O上，延长BC到D使BCCD，过C作圆O的切线交AD于E.若AB6，ED2，则BC_.解析因为AB为圆O的直径，所以ACBC.又BCCD，所以ABD是等腰三角形，所以ADAB6，DACBAC.因为CE切圆O于点C.ECAABC.又BACABC90，DACECA90，故CEAD，故CD2DEDA2612，所以BCCD2答案28(2013湖北高考)如图，圆O上一点C在直径AB上的射影为D，点D在半径OC上的射影为E，若AB3AD，则的值为_解析设圆O的直径AB2R，则AD，DO，DB.由
4、相交弦定理，得CD2ADDB，所以CDR.在RtCDO中，COR，由射影定理可得EO，于是CER，故8.答案8二、解答题9如图，已知圆上的弧，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明：(1)ACEBCD；(2)BC2BECD.证明(1)因为，所以ABCBCD.又因为EC与圆相切于点C，故ACEABC，所以ACEBCD.(2)因为ECBCDB，EBCBCD，所以BDCECB，故，即BC2BECD.10(2013辽宁高考)如图，AB为O的直径，直线CD与O相切于E，AD垂直CD于D，BC垂直CD于C，EF垂直AB于F，连接AE，BE.证明：(1)FEBCEB；(2)EF2ADBC.证明(1)由
5、直线CD与O相切，得CEBEAB.由AB为O的直径，得AEEB，从而EABEBF；又EFAB，得FEBEBF.从而FEBEAB.故FEBCEB.(2)由BCCE，EFAB，FEBCEB，BE是公共边，得RtBCERtBFE，所以BCBF.同理可证RtADERtAFE，得ADAF.又在RtAEB中，EFAB，故EF2AFBF，所以EF2ADBC.11(2013课标全国)如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D.(1)证明：DBDC；(2)设圆的半径为1，BC，延长CE交AB于点F，求BCF外接圆的半径(1)证明如图，连接DE，交BC于点G.由弦切角定理，得ABEBCE，而ABECBE，故CBEBCE，所以BECE.又因为DBBE，所以DE为圆的直径，DCE90.由勾股定理可得DBDC.(2)解由(1)知，CDEBDE，DBDC，故DG是BC边的中垂线，所以BG.设DE的中点为O，连接BO，则BOG60，从而ABEBCECBE30，所以CFBF，故RtBCF外接圆的半径为.