1、考纲要求1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组。2了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组。3会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决。考情分析1.以选择题、填空题的形式考查平面区域问题，常常与图形面积、函数图象、曲线与方程、几何概型等问题联系在一起命题。2二元一次不等式(组)表示的平面区域，求线性目标函数的最值是高考命题的热点，难度中等偏下，主要考查可行域的画法、目标函数最值的求法、由最优解(可行域)情况确定参数的范围，以及数形结合的思想。小题热身1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)不等式 AxByC0 表示的平面区域一定在直线 AxBy
2、C0 的上方。()(2)任何一个二元一次不等式组都表示平面上的一个区域。()(3)线性目标函数的最优解可能是不唯一的。()(4)目标函数 zaxby(b0)中，z 的几何意义是直线 axbyz0 在 y 轴上的截距。()解析：(1)错误。不等式 AxByC0 表示的平面区域不一定在直线 AxByC0 的上方，因为(AxByC)B0 不一定成立。(2)错误，当二元一次不等式组中的不等式所表示的区域没有公共部分时，就无法表示平面上的一个区域。(3)正确，当线性目标函数转化成的直线和某个边界重合时，最优解无穷多。(4)错误，目标函数 zaxby(b0)中，zb是直线 axbyz0 在y 轴上的截距。
3、2若点(m,1)在不等式 2x3y50 所表示的平面区域内，则 m的取值范围是()Am1 Bm1Cm1 Dm1解析：依题意有 2m350，解得 m1。答案：D3不等式组x0 x3y43xy4所表示的平面区域的面积等于()A.32B.23C.43 D.34解析：不等式组所表示的平面区域是一个三角形，三个顶点的坐标分别是(0，43)，(0,4)，(1,1)，所以三角形的面积 S12(443)143。答案：C4设变量 x，y 满足xy1xy1x0，则 x2y 的最大值和最小值分别为()A1，1 B2，2C1，2 D2，1解析：画出可行域如图，分析图可知当直线 ux2y 经过点 A、C 时分别对应 u
4、 的最大值和最小值。答案：B5如图，点(x，y)在四边形 ABCD 内部和边界上运动，那么 2xy 的最小值为_。解析：设目标函数为 z2xy，借助平移，显然点(1,1)满足题意，则 2xy 的最小值为 1。答案：1知识重温一、必记 6个知识点1二元一次不等式表示平面区域在平面直角坐标系中，平面内所有的点被直线 AxByC0 分成三类：(1)满足 AxByC_0 的点；(2)满足 AxByC_0 的点；(3)满足 AxByC_0 的点。2二元一次不等式表示平面区域的判断方法直线 l：AxByC0 把坐标平面内不在直线 l 上的点分为两部分，当点在直线 l 的同一侧时，点的坐标使式子 AxByC
5、 的值具有_的符号，当点在直线 l 的两侧时，点的坐标使 AxByC 的值具有_的符号。0 或 AxByC0 时，区域为直线 AxByC0 的上方；(2)当 B(AxByC)0(a0)。2线性规划问题中的最优解不一定是唯一的，即可行域内使目标函数取得最值的点不一定只有一个，也可能有无数多个，也可能没有。考点一 二元一次不等式(组)表示平面区域【典例 1】(1)(2016北京模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，不等式组1xy3，1xy1 表示图形的面积等于()A1 B2C3 D4(2)(2016扬州模拟)已知不等式组xy10，xy10，3xy30表示的平面区域为 D，若直线 ykx1 将区域 D
6、 分成面积相等的两部分，则实数 k的值是_。B13解析：(1)不等式组对应的平面区域如图，对应的区域为正方形 ABCD，其中 A(0,1)，D(1,0)，边长 AD 2，则正方形的面积 S 2 22，故选 B。(2)区域 D 如图中的阴影部分所示，直线 ykx1 经过定点 C(0,1)，如果其把区域 D 划分为面积相等的两个部分，则直线 ykx1 只要经过 AB 的中点即可。由方程组xy10，3xy30，解得 A(1,0)。由方程组xy10，3xy30，解得 B(2,3)。所以 AB 的中点坐标为32，32，代入直线方程 ykx1 得，3232k1，解得 k13。悟技法平面区域面积问题的解题思
7、路(1)求平面区域的面积：首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为不等式组问题，从而再作出平面区域；对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形(如平行四边形或梯形)，可利用面积公式直接求解。若为不规则四边形，可分割成几个三角形分别求解再求和即可。(2)利用几何意义求解的平面区域问题，也应作出平面图形，利用数形结合的方法去求解。通一类1(2016汕头模拟)已知约束条件x1，xy40，kxy0表示面积为 1的直角三角形区域，则实数 k 的值为()A1 B1 C0 D2A解析：先作出不等式组x1，xy4对应的平面区域，如图：要使阴影部分为直角三角形
8、，当 k0 时，此三角形的面积为1233921，所以不成立，所以 k0，则必有 BCAB，因为 xy40 的斜率为1，所以直线 kxy0 的斜率为 1，即 k1故选 A。考点二 求线性目标函数的最值【典例 2】设 x，y 满足约束条件xy10，xy10，x3y30，则 zx2y 的最大值为()A8 B7C2 D1B解析：作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，作直线y12x，平移直线 y12x，当直线 y12xz2经过点 C 时在 y 轴上的截距z2取得最大值，即 z 取得最大值，由xy10，x3y30得x3y2，即 C(3,2)，代入 zx2y 得 zmax3227，故选 B。悟技法利用
9、可行域求线性目标函数最值的方法首先利用约束条件作出可行域，根据目标函数找到最优解时的点，解得点的坐标代入求解即可。2设 x，y 满足约束条件xya，xy1，且 zxay 的最小值为 7，则 a()A5 B3C5 或 3 D5 或3解析：联立方程xya，xy1，解得xa12，ya12，代入 xay7中，解得 a3 或5，当 a5 时，zxay 的最大值是 7；当 a3时，zxay 的最小值是 7，故选 B。答案：B考点三 线性目标函数的最优解问题【典例 3】x，y 满足约束条件xy20，x2y20，2xy20。若 zyax 取得最大值的最优解不唯一，则实数 a 的值为()A.12或1 B2 或1
10、2C2 或 1 D2 或1D解析：由线性约束条件可得其图象如图所示，由图象可知直线 zyax 经过 AB 或 AC 时取得最大值的最优解不唯一，此时 a2 或1。悟技法利用可行域及最优解求参数及其范围的方法利用约束条件作出可行域，通过分析可行域及目标函数确定最优解的点，再利用已知可解参数的值或范围。通一类3(2016杭州模拟)若 x，y 满足约束条件xy10，x2x2，y2，且 zkxy 取得最小值时的点有无数个，则 k()A1 B2C1 或 2 D1 或2D解析：作出不等式组对应的平面区域如图(阴影部分)。由 zkxy，得 ykxz，若 k0，此时 yz，此时 z 只在 B 处取得最小值，不
11、满足条件。若 k0，则目标函数的斜率k0。平移直线 ykxz，由图象可知当直线 ykxz 和直线 xy10 平行时，此时目标函数取得最小值时最优解有无数多个。此时k1，即 k1。若 k0。平移直线 ykxz，由图象可知当直线 ykxz 和直线 y2x2 平行时，此时目标函数取得最小值时最优解有无数多个，此时k2，即 k2。综上，k1 或 k2。故选 D。考点四 求非线性目标函数的最值【典例 4】(1)已知 x，y 满足约束条件xy10，2xy30，当目标函数 zaxby(a0，b0)在该约束条件下取到最小值 2 5时，a2b2的最小值为()A5 B4C.5 D2(2)(2016枣庄模拟)已知实
12、数 x，y 满足约束条件x0，4x3y4，y0，则wy1x 的最小值是()A2 B2C1 D1BD解析：(1)不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，根据目标函数的几何意义可知，目标函数在点 A(2,1)处取得最小值，故 2ab2 5。方法一：将 2ab2 5两边分别平方得 4a2b24ab20，而 4ab2a2ba24b2，当且仅当 a2b，即 a 45，b 25时取等号。所以 204a2b2a24b25(a2b2)，所以 a2b24，即 a2b2的最小值为 4。方法二：将 2ab2 5看作平面直角坐标系 aOb 中的直线，则a2b2 的几何意义是直线上的点与坐标原点距离的平方，故其最小值
13、为坐标原点到直线 2ab2 5距离的平方，即|2 5|524。(2)作出不等式组对应的平面区域如图：y1x 的几何意义是区域内的点 P(x，y)到定点 A(0，1)之间的斜率，由图象可知当 P 位于点 D(1,0)时，直线 AP 的斜率最小，此时y1x的最小值为1001 1，故选 D。悟技法利用可行域求非线性目标函数最值的方法画出可行域，分析目标函数的几何意义是斜率问题还是距离问题，依据几何意义可求得最值。通一类4(2016保定模拟)已知7x5y230，x7y110，4xy100，则 x2y2 的最大值为_，最小值为_。370解析：不等式组7x5y230，x7y110，4xy100，表示的平面
14、区域为如图所示ABC 的内部(包括边界)，令 zx2y2，则 z 即为点(x，y)到原点的距离的平方。由7x5y230，x7y110，得 A 点坐标(4,1)，此时 zx2y2421217，由7x5y230，4xy100，得 B 点坐标(1，6)，此时 zx2y2(1)2(6)237，由x7y110，4xy100，得 C 点坐标(3,2)，此时 zx2y2(3)22213，而在原点处，x0，y0，此时 zx2y202020，所以当x1，y6时 x2y2取得最大值 37，当x0，y0时 x2y2取得最小值 0。考点五 线性规划的实际应用【典例 5】某旅行社租用 A，B 两种型号的客车安排 900
15、 名客人旅行，A，B 两种车辆的载客量分别为 36 人和 60 人，租金分别为 1 600元/辆和 2 400 元/辆，旅行社要求租车总数不超过 21 辆，且 B 型车不多于 A 型车 7 辆，则租金最少为()A31 200 元 B36 000 元C36 800 元 D38 400 元C解析：本题考查不等式的简单应用，线性规划中的最优解问题。设需 A 型车 x 辆，B 型车 y 辆，则 yx7，xy21，36x60y900，x，yNyx7，xy21，3x5y75，x，yN。由目标函数 z1 600 x2 400y，得 y23xz2 400，z2 400表示直线在 y 轴上的截距，要 z 最小，
16、则直线在 y 轴上的截距最小，画出可行域(如图)。平移直线 l：y23x 到 l0 过点 A(5,12)时，zmin51 6002 4001236 800.故选 C。悟技法求解线性规划应用题的注意点(1)明确问题中的所有约束条件，并根据题意判断约束条件中是否能够取到等号。(2)注意结合实际问题的实际意义，判断所设未知数 x，y 的取值范围，特别注意分析 x，y 是否是整数、非负数等。(3)正确地写出目标函数，一般地，目标函数是等式的形式。通一类5某公司生产甲、乙两种桶装产品。已知生产甲产品 1 桶需耗 A原料 1 千克、B 原料 2 千克；生产乙产品 1 桶需耗 A 原料 2 千克，B原料 1
17、 千克。每桶甲产品的利润是 300 元，每桶乙产品的利润是 400元。公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗 A、B 原料都不超过 12 千克。通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是()A1 800 元 B2 400 元C2 800 元 D3 100 元C解析：设每天分别生产甲产品 x 桶，乙产品 y 桶，相应的利润为z 元，则 x2y12，2xy12，x0，y0，z300 x400y，在坐标平面内画出该不等式组表示的平面区域及直线 300 x400y0，平移该直线，当平移到经过该平面区域内的点 A(4,4)时，相应直线在 y 轴上的截距达到最大，此时
18、 z300 x400y 取得最大值，最大值是 z300440042 800，即该公司可获得的最大利润是 2 800 元。高考模拟1(2015山东卷)已知 x，y 满足约束条件xy0，xy2，y0。若 zaxy 的最大值为 4，则 a()A3 B2C2 D3解析：画出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，因为目标函数 zaxy 的最大值为 4，即目标函数对应直线与可行域有公共点时，在 y 轴上的截距的最大值为 4，作出过点 D(0,4)的直线，由图可知，目标函数在点 B(2,0)处取得最大值，故有 a204，解得 a2。故选 B。答案：B2(2016辽宁三校一模)变量 x，y 满足条件xy1
19、0y1，x1，则(x2)2y2 的最小值为()A.3 22 B.5C.92 D5D解析：不等式组xy10，y1，x1，在平面直角坐标系中所表示的平面区域如图中的阴影部分所示。设 P(x，y)是该区域内的任意一点，则(x2)2y2 的几何意义是点P(x，y)与点 M(2,0)距离的平方。由图可知，当点 P 的坐标为(0,1)时，|PM|最小，所以|PM|221 5，所以|PM|25，即(x2)2y25，故选 D。3(2016资阳三模)设实数 x，y 满足y2x2，xy20，x2，则y1x3的取值范围是()A.，15 1，)B.13，1C.15，13D.15，1D解析：作出不等式组y2x2，xy2
20、0，x2，表示的可行域如图所示，从图可看出，y1x3表示可行域内的点与点 A(3,1)连线的斜率，其最大值为 kAD61231，最小值为 kAC012315，故选 D。4(2015陕西卷)某企业生产甲、乙两种产品均需用 A，B 两种原料。已知生产 1 吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示。如果生产 1 吨甲、乙产品可获利润分别为 3 万元、4 万元，则该企业每天可获得最大利润为()甲乙原料限额A(吨)3212B(吨)128A.12 万元B16 万元C17 万元 D18 万元D解析：设生产甲 x 吨、乙 y 吨，则有目标函数 z3x4y，依题意得约束条件为3x2y12，x2y8，x0，y0，易知最优解为(2,3)，代入目标函数可得 z 的最大值为 18，故选 D。5(2015课标卷)若 x，y 满足约束条件xy10，x2y0，x2y20，则 zxy 的最大值为_。32解析：可行域如图所示，zxy 在 B 处取到最大值。由x2y0，x2y20，解得x1，y12，B1，12。zmax11232。