1、考点规范练43点与直线、两条直线的位置关系基础巩固1.(2020四川资阳模拟)已知直线l1:ax+(a+2)y+2=0与l2:x+ay+1=0平行,则实数a的值为()A.-1或2B.-1C.2D.0或2答案:B解析:由aa-(a+2)=0,即a2-a-2=0,解得a=2或-1.经过验证,当a=2时两条直线重合,舍去.因此a=-1.故选B.2.(2020江西南昌模拟)已知a0,b0,两条直线l1:(a-1)x+y-1=0,l2:x+2by+1=0,且l1l2,则2a+1b的最小值为()A.2B.4C.8D.9答案:C解析:a0,b0,两条直线l1:(a-1)x+y-1=0,l2:x+2by+1=
2、0,且l1l2,(a-1)+2b=0,即a+2b=1.2a+1b=2a+1b(a+2b)=2+2+ab+4ba4+2ab4ba=8,当且仅当4ba=ab,即a=12,b=14时等号成立,2a+1b的最小值为8.故选C.3.若直线l1:y=k(x-4)与直线l2关于点(2,1)对称,则直线l2恒过定点()A.(0,4)B.(0,2)C.(-2,4)D.(4,-2)答案:B解析:直线l1:y=k(x-4)(k0)恒过定点(4,0),其关于点(2,1)对称的点为(0,2).因为直线l1:y=k(x-4)与直线l2关于点(2,1)对称,所以直线l2恒过定点(0,2).4.若动点A,B分别在直线l1:x
3、+y-7=0和l2:x+y-5=0上移动,则AB的中点M到原点的距离的最小值为()A.32B.22C.33D.42答案:A解析:依题意知,AB的中点M的集合为与直线l1:x+y-7=0和l2:x+y-5=0距离相等的直线,则M到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离.设点M所在直线的方程为l:x+y+m=0,根据平行线间的距离公式得|m+7|2=|m+5|2|m+7|=|m+5|m=-6,即l:x+y-6=0,根据点到直线的距离公式,得中点M到原点的距离的最小值为|-6|2=32.5.若直线l经过直线y=2x+1和y=3x-1的交点,且平行于直线2x+y-3=0,则直线l的方程为.答案:2x+
4、y-9=0解析:直线y=2x+1与y=3x-1的交点为(2,5).设直线l方程为2x+y+m=0,m-3,将(2,5)代入得m=-9.故直线l方程为2x+y-9=0.6.已知点A(1,3)关于直线y=kx+b对称的点是B(-2,1),则直线y=kx+b在x轴上的截距是.答案:56解析:由题意得线段AB的中点-12,2在直线y=kx+b上,故3-11+2k=-1,2=k-12+b,解得k=-32,b=54,所以直线方程为y=-32x+54.令y=0,即-32x+54=0,解得x=56,故直线y=kx+b在x轴上的截距为56.7.已知两条直线a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0的交点为P
5、(2,3),求过两点Q1(a1,b1),Q2(a2,b2)的直线方程.解：(方法一)P(2,3)是已知两条直线的交点,2a1+3b1+1=0,2a2+3b2+1=0.2(a1-a2)+3(b1-b2)=0.由题意可知,a1a2,b1-b2a1-a2=-23.故所求直线方程为y-b1=-23(x-a1),即2x+3y-(2a1+3b1)=0,2x+3y+1=0.过Q1,Q2两点的直线方程为2x+3y+1=0.(方法二)点P是已知两条直线的交点,2a1+3b1+1=0,2a2+3b2+1=0.可见Q1(a1,b1),Q2(a2,b2)都满足方程2x+3y+1=0.过Q1,Q2两点的直线方程为2x+
6、3y+1=0.8.(2020河北石家庄期末)已知直线l1:x+y+2=0;l2:mx+2y+n=0.(1)若l1l2,求m的值;(2)若l1l2,且直线l1与l2之间的距离为5,求m,n的值.解：(1)因为直线l1的斜率为k1=-1,又l1l2,所以直线l2的斜率为k2=-m2=1,解得m=-2.(2)l1l2,m1=21n2,解得m=2,且n4.l2的方程为x+y+n2=0,两条平行线间的距离d=|2-n2|2=5,解得n=4210.9.已知光线从点A(-4,-2)射出,到直线y=x上的B点后被直线y=x反射到y轴上的C点,又被y轴反射,这时反射光线恰好过点D(-1,6),求BC所在的直线方
7、程.解：作出草图,如图所示.设A关于直线y=x的对称点为A,D关于y轴的对称点为D,则易得A(-2,-4),D(1,6).由入射角等于反射角可得AD所在直线经过点B与点C.故BC所在的直线方程为y-6-4-6=x-1-2-1,即10x-3y+8=0.能力提升10.三条直线l1:x-y=0,l2:x+y-2=0,l3:5x-ky-15=0构成一个三角形,则k的取值范围是()A.kRB.kR,且k1,k0C.kR,且k5,k-10D.kR,且k5,k1答案:C解析:若有两条直线平行或三条直线交于同一点,则不能构成三角形.由l1l3,得k=5;由l2l3,得k=-5;由x-y=0与x+y-2=0,得
8、x=1,y=1,若(1,1)在l3上,则k=-10.若l1,l2,l3能构成一个三角形,则k5,且k-10,故选C.11.(2020安徽合肥模拟)已知点A(1,1)和B76,79,直线l:ax+by-7=0,若直线l与线段AB有公共点,则a2+b2的最小值为()A.24B.492C.25D.32413答案:B解析:直线l经过点A,可得a+b-7=0,直线l经过点B,可得76a+79b-7=0,化为3a+2b-18=0.由题意,可得(a+b-7)(3a+2b-18)0,点(a,b)所在的区域,如图所示.a2+b2表示点(a,b)到原点(0,0)的距离的平方,O(0,0)到直线a+b-7=0的距离
9、d1=72=722,O(0,0)到直线3a+2b-18=0的距离d2=1813=181313,又d12-d22=492-32413=-11260),l2:-4x+2y+1=0,l3:x+y-1=0,且l1与l2之间的距离是7510.(1)求a的值;(2)能否找到一点P,使P同时满足下列三个条件:点P在第一象限;点P到l1的距离是点P到l2的距离的12;点P到l1的距离与点P到l3的距离之比是25.若能,求点P的坐标;若不能,说明理由.解：(1)因为直线l2:2x-y-12=0,所以两条平行线l1与l2间的距离为d=a-1222+(-1)2=7510,所以a+125=7510,即a+12=72,
10、又a0,解得a=3.(2)假设存在点P,设点P(x0,y0).若点P满足条件,则点P在与l1,l2平行的直线l:2x-y+c=0上,且|c-3|5=12c+125,即c=132或c=116,所以2x0-y0+132=0或2x0-y0+116=0.若点P满足条件,由点到直线的距离公式,有|2x0-y0+3|5=25|x0+y0-1|2,即|2x0-y0+3|=|x0+y0-1|,所以x0-2y0+4=0或3x0+2=0.因为点P在第一象限,所以3x0+2=0不合题意,舍去.联立2x0-y0+132=0,x0-2y0+4=0,解得x0=-3,y0=12(舍去);联立2x0-y0+116=0,x0-2y0+4=0,解得x0=19,y0=3718.所以存在点P19,3718同时满足三个条件.高考预测16.若三条直线x+y-3=0,x-y+1=0,mx+ny-5=0相交于同一点,则点(m,n)到原点的距离的最小值为()A.5B.6C.23D.25答案:A解析:联立方程组x+y-3=0,x-y+1=0,解得x=1,y=2.三条直线x+y-3=0,x-y+1=0,mx+ny-5=0相交于同一点,m+2n=5.则点(m,n)到原点的距离的最小值为原点到直线x+2y=5的距离d=512+22=5.故选A.7