1、考点规范练13函数模型及其应用基础巩固1.在我国大西北,某地区荒漠化土地面积每年平均比上一年增长10.4%,专家预测经过x年可能增长到原来的y倍,则函数y=f(x)的图象大致为()2.在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积不小于300 m2的内接矩形花园(阴影部分),则其边长x(单位:m)的取值范围是()A.15,20B.12,25C.10,30D.20,303.某单位为鼓励职工节约用水,作出如下规定:每位职工每月用水不超过10立方米,按每立方米3元收费;用水超过10立方米,超过的部分按每立方米5元收费.某职工某月的水费为55元,则该职工这个月实际用水为()A.13立方米B.14立方米C.
2、15立方米D.16立方米4.某房地产公司计划出租70套相同的公寓房.当每套房月租金定为3 000元时,这70套公寓能全租出去;当月租金每增加50元时(设月租金均为50元的整数倍),就会多一套房子租不出去.设租出的每套房子每月需要公司花费100元的日常维修等费用(设租不出去的房子不需要花这些费用).要使公司获得最大利润,每套公寓月租金应定为()A.3 000元B.3 300元C.3 500元D.4 000元5.(2021河北沧州三模)生物入侵指生物由原生存地侵入到另一个新的环境,从而对入侵地的生态系统造成危害的现象.若某入侵物种的个体平均繁殖数量为Q,一年四季均可繁殖,繁殖间隔T为相邻两代间繁殖
3、所需的平均时间.在物种入侵初期,可用对数函数模型K(n)=ln n来描述该物种累计繁殖数量n与入侵时间K(单位:天)之间的对应关系,且Q=T+1,在物种入侵初期,基于现有数据得出Q=9,T=80.据此,累计繁殖数量比现有数据增加3倍所需要的时间约为(ln 20.69,ln 31.10)()天.A.6.9B.11.0C.13.8D.22.06.某位股民购进某只股票,在接下来的交易时间内,他的这只股票先经历了n次涨停(每次上涨10%),又经历了n次跌停(每次下跌10%),则该股民这只股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为()A.略有盈利B.略有亏损C.没有盈利也没有亏损D.无法判断盈亏情况7.根据有关
4、资料,围棋状态空间复杂度的上限M约为3361,而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080,则下列各数中与MN最接近的是()(参考数据:lg 30.48)A.1033B.1053C.1073D.10938.已知甲、乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示.假设某商人持有资金120万元,他可以在t1至t4的任意时刻买卖这两种商品,且买卖能够立即成交(其他费用忽略不计).如果他在t4时刻卖出所有商品,那么他将获得的最大利润是()A.40万元B.60万元C.120万元D.140万元9.设某公司原有100名员工从事产品A的生产,平均每人每年创造产值t万元(t为正常数).公司决定从原有员工中分流x
5、(0x10,即y=3x,0x10,5x-20,x10.易知该职工这个月的实际用水量超过10立方米,所以5x-20=55,解得x=15.故该职工这个月实际用水为15立方米.4.B解析由题意,设利润为y元,租金定为(3000+50x)元(0x70,xN),则y=(3000+50x)(70-x)-100(70-x)=(2900+50x)(70-x)=50(58+x)(70-x)5058+x+70-x22=204800,当且仅当58+x=70-x,即x=6时,等号成立,故每月租金定为3000+300=3300(元)时,公司获得最大利润,故选B.5.C解析因为Q=T+1,且Q=9时,T=80,所以9=8
6、0+1,解得=10.设初始时间为K1,初始累计繁殖数量为n,累计繁殖数量增加3倍后的时间为K2,则K2-K1=ln(4n)-lnn=ln4=20ln213.8(天).6.B解析设该股民购这只股票的价格为a元,则经历n次涨停后的价格为a(1+10%)n=a1.1n元,经历n次跌停后的价格为a1.1n(1-10%)n=a1.1n0.9n=a(1.10.9)n=0.99naa,故该股民这只股票略有亏损.7.D解析设MN=x=33611080,两边取对数,得lgx=lg33611080=lg3361-lg1080=361lg3-8093.28,所以x1093.28,即与MN最接近的是1093.故选D.
7、8.C解析甲6元时该商人全部买入甲商品,可以买1206=20(万份),在t2时刻全部卖出,此时获利202=40(万元),乙4元时该商人全部买入乙商品,可以买(120+40)4=40(万份),在t4时刻全部卖出,此时获利402=80(万元),共获利40+80=120(万元),故选C.9.16解析由题意,分流前每年创造的产品A的产值为100t(万元),分流x人后,每年创造的产品A的产值为(100-x)(1+1.2x%)t,则0x100,xN*,(100-x)(1+1.2x%)t100t,解得0x503.因为xN*,所以x的最大值为16.10.14a2解析令t=A(t0),则A=t2,D=aA-A=
8、at-t2=-t-12a2+14a2,当t=12a,即A=14a2时,D取得最大值.11.C解析由题意,得(0,192)和(22,48)是函数y=ekx+b图象上的两个点,所以192=eb,48=e22k+b.由得,48=e22keb,把代入得e22k=48192=14,即(e11k)2=14,所以e11k=12.所以当储藏温度为33时,保鲜时间y=e33k+b=(e11k)3eb=18192=24(h).12.546.6元解析依题意,价值为x元的商品和实际付款额f(x)之间的函数关系式为f(x)=x,0x200,0.9x,200500.当f(x)=168时,由1680.9187200,故此时
9、x=168;当f(x)=423时,由4230.9=470(200,500,故此时x=470.故两次共购得价值为470+168=638元的商品.又5000.9+(638-500)0.7=546.6元,即若一次性购买上述商品,应付款额为546.6元.13.解(1)对于函数模型f(x)=115x+10:验证条件:当x=30时f(x)=12,而x5=6,即f(x)x5不成立,故不符合公司要求;对于函数模型f(x)=2x-6:当x25,1600时,条件f(x)是增函数满足;f(x)max=21600-6=240-6=7490,满足条件;对于条件:记g(x)=2x-6-x5(25x1600),则g(x)=
10、-15(x-5)2-1.x5,40,当x=5时,g(x)max=-15(5-5)2-1=-10.f(x)x5恒成立,即条件也成立.故函数模型f(x)=2x-6符合公司要求.(2)a2,函数f(x)=ax-10符合条件;由函数f(x)=ax-10(a2)符合条件,得a1600-10=a40-1090,解得2a52;由函数f(x)=ax-10(a2)符合条件,得ax-10x5对x25,1600恒成立,即ax5+10x对x25,1600恒成立.x5+10x22,当且仅当x5=10x,即x=50时等号成立,a22.综上所述,实数a的取值范围为2,52.14.11.5解析由题中表格可知,销售单价每增加1元,日均销售量就减少40桶.设每桶水定价为(6+x)元时,该桶装水经营部的日利润为y元,则y=(6+x-5)(480-40x)-200=-40x2+440x+280=-40x-1122+1490(0x12),所以当x=5.5时,y取得最大值,所以每桶水定价为11.5元时,该桶装水经营部能获得最大利润.