1、模块综合测评(时间150分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1若复数zai的实部与虚部相等，则实数a()A1B1C2D2【解析】zai的虚部为1，故a1，选B.【答案】B2已知复数z，则i在复平面内对应的点位于()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【解析】z，i，ii.【答案】B3观察：2，2，2，对于任意的正实数a，b，使2成立的一个条件可以是()Aab22Bab21Cab20Dab21【解析】由归纳推理可知ab21.故选B.【答案】B4已知函数f(x)的导函数为f(x)，且满足f(x)2xf(1)
2、ln x，则f(1)()AeB1C1De【解析】f(x)2xf(1)ln x，f(x)2f(1)，f(1)2f(1)1，f(1)1.【答案】B5由y2x5是一次函数；y2x5的图象是一条直线；一次函数的图象是一条直线写一个“三段论”形式的正确推理，则作为大前提、小前提和结论的分别是()ABCD【解析】该三段论应为：一次函数的图象是一条直线(大前提)，y2x5是一次函数(小前提)，y2x5的图象是一条直线(结论)【答案】D6已知函数yf(x)的导函数yf(x)的图象如图1所示，则()图1A函数f(x)有1个极大值点，1个极小值点B函数f(x)有2个极大值点，2个极小值点C函数f(x)有3个极大值
3、点，1个极小值点D函数f(x)有1个极大值点，3个极小值点【解析】根据极值的定义及判断方法，检查f(x)的零点左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个点处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个点处取得极小值；如果左右都是正，或者左右都是负，那么f(x)在这个点处不是极值由此可见，x2是函数f(x)的极大值点，x3是极小值点，x1，x4不是极值点【答案】A7曲线yex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为() 【导学号：05410080】A.e2B2e2Ce2 D.【解析】f(x)ex，曲线在点(2，e2)处的切线的斜率为kf(2)e2，切线方程为ye2e2(x2)
4、，即e2xye20，切线与x轴和y轴的交点坐标分别为A(1,0)，B(0，e2)，则切线与坐标轴围成的OAB的面积为1e2.【答案】D8已知数列1，aa2，a2a3a4，a3a4a5a6，则数列的第k项是()Aakak1a2kBak1aka2k1Cak1aka2kDak1aka2k2【解析】由归纳推理可知，第k项的第一个数为ak1，且共有k项故选D.【答案】D9函数f(x)ax3x在R上为减函数，则()Aa0Ba1CabcBbacCacbDbca【解析】由题意可得axdxx；b1xdx1x1；cx3dx.综上，abc.【答案】A11在数学归纳法的递推性证明中，由假设nk时成立推导nk1时成立时
5、，f(n)1增加的项数是()A1B2k1C2k1D2k【解析】f(k)1，又f(k1)1.从f(k)到f(k1)是增加了(2k11)2k12k项【答案】D12已知函数f(x)x3ln(x)，则对于任意实数a，b(ab0)，则的值为()A恒正B恒等于0C恒负D不确定【解析】可知函数f(x)f(x)x3ln(x)(x)3ln(x)0，所以函数为奇函数，同时，f(x)3x20，f(x)是递增函数，所以0，所以选A.【答案】A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)13复数(i为虚数单位)的实部等于_【解析】3i，其实部为3.【答案】314观察下列等式：132332,
6、13233362,13233343102，根据上述规律，第五个等式为_【解析】第n个等式左边为1到n1的立方和，右边为123(n1)的平方，所以第五个等式为132333435363212.【答案】13233343536321215曲线ysin x(0x)与直线y围成的封闭图形的面积为_【解析】由于曲线ysin x(0x)与直线y的交点的横坐标分别为x及x，因此所求图形的面积为dx.【答案】16已知函数f(x)x33mx2nxm2在x1时有极值0，则mn_ . 【导学号：05410081】【解析】f(x)3x26mxn，由已知可得或当时，f(x)3x26x33(x1)20恒成立与x1是极值点矛盾
7、，当时，f(x)3x212x93(x1)(x3)，显然x1是极值点，符合题意，mn11.【答案】11三、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)设复数z，若z2azb1i，求实数a，b的值. 【导学号：05410082】【解】z1i.因为z2azb(1i)2a(1i)b2iaaib(ab)(2a)i1i，所以解得18(本小题满分12分)已知函数f(x)x33ax23x1.(1)当a时，讨论f(x)的单调性；(2)若x2，)时，f(x)0，求a的取值范围【解】(1)当a时，f(x)x33x23x1，f(x)3x26x3.令f(x)0，得x1
8、1，x21.当x(， 1)时，f(x)0，f(x)在(，1)上是增函数；当x(1，1)时，f(x)0，f(x)在(1, 1)上是减函数；当x(1，)时，f(x)0，f(x)在(1，)上是增函数(2)由f(2)0，得a.当a，x(2，)时，f(x)3(x22ax1)33(x2)0，所以f(x)在(2，)上是增函数，于是当x2，)时，f(x)f(2)0.综上，a的取值范围是.19(本小题满分12分)设等差数列an的公差为d，Sn是an中从第2n1项开始的连续2n1项的和，即S1a1，S2a2a3，S3a4a5a6a7，Sna2n1a2n11a2n1，若S1，S2，S3成等比数列，问：数列Sn是否成
9、等比数列？请说明你的理由【解】S1，S2，S3成等比数列，S1a10，且S1S3S，由S1S3S，得a1(a4a5a6a7)(a2a3)2，即a1(4a118d)(2a13d)2,2a1d3d2.d0或a1d.当d0时，Sn2n1a10，2(常数)，nN，Sn成等比数列；当a1d时，Sna2n1a2n11a2n12n1a2n1d2n1a1(2n11)dd2n1d4n10，4(常数)，nN，Sn成等比数列综上所述，若S1，S2，S3成等比数列，则Sn成等比数列20(本小题满分12分)已知幂函数f(x)xm22m3(mZ)为偶函数，且在区间(0，)上是单调增函数(1)求函数f(x)的解析式；(2)
10、设函数g(x)f(x)ax3x2b(xR)，其中a，bR，若函数g(x)仅在x0处有极值，求a的取值范围【解】(1)因为f(x)在区间(0，)上是单调增函数，所以m22m30，即m22m30，所以1m0，所以a11.由S2a1a2，得a2a210，所以a21，由S3a1a2a3，得a2a310，所以a3.(2)猜想an(nN)证明：当n1时，a11，命题成立；假设nk(k1，kN)时，ak成立，则nk1时，ak1Sk1Sk，即ak1，所以a2ak110.所以ak1，则nk1时，命题成立则知，nN，an.22(本小题满分12分)设函数f(x)aexln x，曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为ye(x1)2.(1)求a，b；(2)证明：f(x)1.【解】(1)函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)aexln xexex1ex1.由题意可得f(1)2，f(1)e.故a1，b2.(2)证明：由(1)知，f(x)exln xex1，从而f(x)1等价于xln xxex.设函数g(x)xln x，则g(x)1ln x.所以当x时，g(x)0.故g(x)在上单调递减，在上单调递增，从而g(x)在(0，)上的最小值为g.设函数h(x)xex，则h(x)ex(1x)所以当x(0,1)时，h(x)0；当x(1，)时，h(x)0时，g(x)h(x)，即f(x)1.