1、考纲要求1.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型。2通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系。3会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图。考情分析1.主要考查一元二次不等式的解法和含参数的恒成立问题，多以选择题和填空题的形式出现。2常常与集合运算、函数定义域的求解、用导数求单调区间等问题结合在一起进行考查，难度为中等及以下。小题热身1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)若不等式 ax2bxc0 的解集为(x1，x2)，则必有 a0。()(2)若不等式 ax2bxc0 的解集是(，x1)(x2，)，则方程 ax2bxc0 的两个根
2、是 x1 和 x2。()(3)若方程 ax2bxc0(a0)没有实数根，则不等式 ax2bxc0 的解集为 R。()(4)不等式 ax2bxc0 在 R 上恒成立的条件是 a0 且 b24ac0。()解析：(1)正确。由不等式 ax2bxc0 的解集为(x1，x2)可知函数对应的抛物线开口向上，因此必有 a0。(2)正确。由一元二次不等式的解集与相应方程的根的关系可知结论是正确的。(3)错误。只有当 a0 时才成立，当 a0 时，若方程 ax2bxc0(a0)没有实数根，则不等式 ax2bxc0 的解集为空集。(4)错误。还要考虑 a0 的情况，不等式 ax2bxc0 在 R 上恒成立的条件是
3、 a0，b0，c0 或 a0 且 b24ac0。2不等式12x 13x 0 的解集为()A.13，12B.，13 12，C.12，13D.，12 13，解析：不等式12x 13x 0，同解于x12 x13 0，又相应方程x12 x13 0 的两根为：x113，x212，x12 x13 0 的解为13x12。故原不等式的解集为x|13x12。答案：A3不等式 x2|x|20 的解集是()Ax|2x2 Bx|x2 或 x2Cx|1x1 Dx|x1 或 x1解析：原不等式|x|2|x|20(|x|2)(|x|1)0|x|202x2，故选 A。答案：A4若关于 x 的方程 x2mx10 有两个不相等的
4、实数根，则实数 m 的取值范围是()A(1,1)B(2,2)C(，2)(2，)D(，1)(1，)解析：由题意可得 m240，即(m2)(m2)0，得 m2 或 m2。答案：C5不等式 2224xx 12的解集为_。解析：原不等式2224xx 21x22x41，即 x22x30，解之得3x1，解集为3,1。答案：3,1知识重温一、必记 2个知识点1一元二次不等式的特征一元二次不等式的二次项(最高次项)系数不等于 0。2一元二次不等式的解法判别式b24ac000二次函数yax2bxc(a0)的图象一元二次方程ax2bxc0(a0)的根有两不等实根x1，x2，(x1x2)有两相等实根x1x2 b2a
5、没有实根ax2bxc0(a0)的解集_ax2bxc0(a0)的解集_x|xx1 或 xx2x|xx1Rx|x1xx2二、必明 2个易误点1二次项系数中含有参数时，则应先考虑二次项是否为零，然后再讨论二次项系数不为零时的情形，以便确定解集的形式。2当 0(a0)的解集为 R 还是。考点一 一元二次不等式的解法【典例 1】解关于 x 的不等式：ax2(a1)x10。解析：当 a0 时，原不等式可化为x11。当 a0 时，原不等式可化为(ax1)(x1)0。即为1a1 或 x0 时，原不等式可化为x1a(x1)0，若 0a1，所以 1x1，则1a1，所以1ax1。综上知，当 a0 时，不等式的解集为
6、x|x1；当 a0 时，不等式的解集为x|x1；当 0a1 时，不等式的解集为x|1x1 时，不等式的解集为x|1ax0g1x2x24x40，解得 x3。故当 x 的取值范围为(，1)(3，)时，对任意的 a1,1，函数 f(x)的值恒大于零。考点三 一元二次不等式的实际应用【典例 3】某商品 2014 年的价格为 8 元/件，年销量是 a 件。现经销商计划在 2015 年将该商品的价格降至 5.5 元/件到 7.5 元/件之间，经调查，顾客的期望价格是 4 元/件。经测算，该商品价格下降后新增的年销量与实际价格和顾客期望价格的差成反比，比例系数为 k，该商品的成本价为 3 元/件。(1)写出
7、该商品价格下降后，经销商的年收益 y 与实际价格 x 的函数关系式；(2)设 k2a，当实际价格最低定为多少时，仍然可以保证经销商2015 年的收益比 2014 年至少增长 20%?解析：(1)设该商品价格下降后为 x 元/件，则由题意可知年销量增加到kx4a 件，故经销商的年收益 ykx4a(x3)，5.5x7.5。(2)当 k2a 时，依题意有2ax4a(x3)(83)a(120%)，化简得x211x30 x40，解得 x6 或 4x5。又 5.5x7.5，故 6x7.5，即当实际价格最低定为 6 元/件时，仍然可以保证经销商 2015 年的收益比 2014 年至少增长 20%。悟技法构建
8、不等式模型解决实际问题不等式的应用问题常常以函数为背景，多是解决实际生活、生产中的最优化问题等，解题时，要仔细审题，认清题目的条件以及要解决的问题，理清题目中各量之间的关系，建立恰当的不等式模型进行求解。通一类3某摩托车厂上年度生产摩托车的投入成本为 1 万元/辆，出厂价为 1.2 万元/辆，年销售量为 1 000 辆。本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本。若每辆车投入成本增加的比例为 x(0 x1)，则出厂价相应地提高比例为 0.75x，同时预计年销售量增加的比例为 0.6x，已知年利润(出厂价投入成本)年销售量。(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系
9、式；(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例 x 应在什么范围内？解析：(1)由题意得 y1.2(10.75x)1(1x)1000(10.6x)(0 x1)，整理得 y60 x220 x200(0 x1)。(2)要 保 证 本 年 度 的 年 利 润 比 上 年 度 有 所 增 加，必 须 有y1.211 00000 x1，即60 x220 x00 x1。解得 0 x13。投入成本增加的比例应在0，13 范围内。高考模拟1(2016珠海模拟)不等式2x2x30 的解集是()Ax|x32C.x1x32D.xx32解析：不等式2x2x30，即(2x3)(x1)0，解得 x32
10、，所以不等式的解集是x|x32。答案：D2(2016武汉模拟)一元二次不等式 2kx2kx380 对一切实数 x都成立，则 k 的取值范围是()A(3,0)B(3,0C3,0 D(，3)0，)解析：由一元二次不等式 2kx2kx380 对一切实数 x 都成立，则k0k242k38 0，解得3k0。综上，满足一元二次不等式2kx2kx380 对任意实数 x2,3恒成立，则实数 a 的取值范围为_。解析：令 f(x)x22xa(x1)2a1，所以 f(x)在区间(1，)上单调递增，又不等式 x22xa0 对任意实数 x2,3恒成立，所以 f(2)0 恒成立，即 44a0，解得 a0。故实数 a 的
11、取值范围是 a0。答案：a04(2016南开区模拟)关于 x 的不等式(mx1)(x2)0，若此不等式的解集为x|1x2，则 m 的取值范围是_。解析：不等式(mx1)(x2)0 的解集为x|1x2，方程(mx1)(x2)0 的两个实数根为1和 2，且m01m2；解得 m0；m 的取值范围是 m0。答案：m05(2016洛阳模拟)若已知不等式 2x1m(x21)对满足|m|2 的一切实数 m 的取值都成立，则 x 的取值范围为_。解析：构造变量 m 的函数求解：2x1m(x21)即：(x21)m(2x1)0 时，则 f(2)0，从而 2x22x10 解得：1 32x0，即 x1，所以 1x1 32。712x1 32(2)当 x210 时，则 f(2)0 可得2x22x30，解得 x 712，又1x1，从而 712x1。(3)当 x210 时，则 f(m)12x12，故 x1；综上有：712x1 32。
