1、滚动测试卷四(第一九章)(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.(2021广西桂林、崇左、贺州高三4月联考)已知集合A=(x,y)|3x-y=0,B=(x,y)|x+my+1=0.若AB=,则实数m的值为()A.-3B.-13C.13D.32.设复数3-i2 021在复平面内对应的点为A,则过原点和点A的直线的倾斜角为()A.6B.-6C.23D.563.将函数f(x)=sin2x+3的图象向右平移6个单位,得到函数g(x)的图象,则下列说法错误的是()A.g(x)的周期为B.x=6是函数g(x)图象的一条对称轴C.g6=32D.g(x)为奇函
2、数4.已知函数y=f(x)的定义域为x|x0,满足f(x)+f(-x)=0,当x0时,f(x)=ln x-x+1,则函数y=f(x)的大致图象是()5.已知向量a,b满足|a|=1,(a+b)a,(2a+b)b,则向量a,b的夹角为()A.6B.4C.3D.346.(2021新高考)已知F1,F2是椭圆C:x29+y24=1的两个焦点,点M在C上,则|MF1|MF2|的最大值为()A.13B.12C.9D.67.(2021广西南宁模拟)某制药公司生产某种胶囊,其中胶囊中间部分为圆柱,且圆柱高为l,左右两端均为半球形,其半径为r.若该胶囊的表面积为S,则它的体积V取最大值时r的值为()A.S4B
3、.S2C.SD.S68.某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图所示.圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A,圆柱表面上的点N在侧(左)视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上,从M到N的路径中,最短路径的长度为()A.217B.25C.3D.29.已知P为抛物线y2=4x上一个动点,Q为圆x2+(y-4)2=1上的一个动点,则点P到点Q的距离与点P到直线x=-1的距离之和的最小值是()A.5B.8C.17-1D.15-110.(2021江苏常熟模拟)南宋数学家杨辉在1261年所著的详解九章算法中首次提出“杨辉三角”,如图所示,这是数学史上的一个伟大的成就.在“杨辉三角”中,已知每一行的数字之
4、和构成的数列为等比数列且记该数列前n项和为Sn,设bn=5log2(Sn+1)-1,将数列bn中的整数项组成新的数列cn,则c2 021的值为()A.5 043B.5 047C.5 048D.5 05211.已知f(x)是定义域为(-,+)的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x),若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+f(50)=()A.-50B.0C.2D.5012.已知F1,F2是椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点,A是C的左顶点,点P在过A且斜率为36的直线上,PF1F2为等腰三角形,F1F2P=120,则C的离心率为()A.23B.12C.13D.14二、填
5、空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.用x表示不大于实数x的最大整数,方程lg2x-lg x-2=0的实根个数是.14.设实数x,y满足约束条件x+y0,x-y-20,x0,则z=3x+2y的最大值为.15.(2021广西北海模拟预测)过F(a2+b2,0)作与双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的两条渐近线平行的直线,分别交两渐近线于A,B两点,若O,A,F,B四点共圆(O为坐标原点),则双曲线的离心率为.16.如图,在等腰直角三角形ABC中,斜边AB=4,D为AB的中点,将ACD沿CD折叠得到三棱锥C-ABD如图所示.若三棱锥C-ABD的外接球的半径为5,则ADB=.图图
6、三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(10分)已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bcos A+33a=c.(1)求cos B;(2)如图,D为ABC外一点,在平面四边形ABCD中,D=2B,且AD=1,CD=3,BC=6,求AB的长.18.(12分)如图,等边三角形PAC所在平面与梯形ABCD所在平面垂直,且有ADBC,AB=AD=DC=2,BC=4.(1)证明:AB平面PAC;(2)求点D到平面PAB的距离.19.(12分)已知动圆C与圆E:x2+(y-1)2=14外切,并与直线y=-12相切.(1)求动圆圆心C的轨迹;(2)若从点P(m,-4)作曲线的两条切线,切
7、点分别为A,B,求证:直线AB恒过定点.20.(12分)已知各项为正数的等比数列an的前n项和为Sn,数列bn的通项公式bn=n,n为偶数,n+1,n为奇数(nN*),若S3=b5+1,b4是a2和a4的等比中项.(1)求数列an的通项公式;(2)求数列anbn的前n项和Tn.21.(12分)(2021北京高考)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)过点A(0,-2),以四个顶点围成的四边形的面积为45.(1)求椭圆E的标准方程;(2)过点P(0,-3)的直线l的斜率为k,交椭圆E于不同的两点B,C,直线AB,AC交y=-3于点M,N,若|PM|+|PN|15,求k的取值范围.22.(1
8、2分)已知函数f(x)=x-1x-aln x,(1)若f(x)无极值点,求a的取值范围;(2)设g(x)=x+1x-(ln x)2,当a取(1)中的最大值时,求g(x)的最小值;(3)证明:i=1n12i(2i+1)ln2n+12n+1(nN*).答案：1.B解析因为AB=,所以直线3x-y=0与直线x+my+1=0平行,所以3m-(-1)1=0,所以m=-13.经检验,当m=-13时,两直线平行.2.D解析设直线的倾斜角为,0,),复数3-i2021=3-i在复平面内对应的点是A(3,-1),原点(0,0),直线过原点和点A,直线的斜率k=-1-03-0=-33,即tan=-33,=56.故
9、选D.3.B解析由题意得g(x)=sin2x,周期为,A正确;g6=sin3=32,B不正确,C正确;g(x)=sin2x为奇函数,D正确.4.A解析因为函数y=f(x)的定义域为x|x0,满足f(x)+f(-x)=0,所以函数f(x)是奇函数,排除C项,D项.当x=e时,f(e)=1-e+1=2-e0,排除B项,A项正确.5.D解析设向量a,b的夹角为,因为|a|=1,(a+b)a,(2a+b)b,所以(a+b)a=1+|b|cos=0,(2a+b)b=2|b|cos+|b|2=0.由可得cos=-22,=34,故选D.6.C解析由题意知|MF1|+|MF2|=2a=6,则|MF1|MF2|
10、MF1|+|MF2|2=3,则|MF1|MF2|9,当且仅当|MF1|=|MF2|=3时,等号成立.故|MF1|MF2|的最大值为9.故选C.7.A解析依题意,4r2+2rl=S,l=S-4r22r,故体积V(r)=43r3+r2l=Sr2-23r3.V(r)=S2-2r2,当r=S4时,V(r)=0,V(r)取最大值.8.B解析如图所示,易知N为CD的中点,将圆柱的侧面沿母线MC剪开,展平为矩形MCCM,易知CN=14CC=4,MC=2,从M到N的路程中最短路径为MN.在RtMCN中,MN=MC2+NC2=25.9.C解析抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),圆x2+(y-4)2=1的圆心为
11、E(0,4),半径为1.根据抛物线的定义可知,点P到准线的距离等于点P到焦点的距离,所以当P,Q,E,F四点共线时,点P到点Q的距离与点P到直线x=-1的距离之和最小,为|QF|=|EF|-r=42+1-1=17-1.10.D解析根据题意,结合“杨辉三角”的性质,知Sn=20+21+2n-1=20(1-2n)1-2=2n-1,因此bn=5log2(Sn+1)-1=5n-1,由题意得,此数列的整数项为2,3,7,8,12,13,其规律为各项之间以+1,+4,+1,+4,+1,+4,递增,因此数列cn的奇数项是以5为公差,2为首项的等差数列,偶数项是以5为公差,3为首项的等差数列,即c2n-1=2
12、+5(n-1)=5n-3,故当n=1011时,c2021=51011-3=5052.11.C解析f(-x)=f(2+x)=-f(x),f(x+4)=f(x+2)+2=-f(x+2)=f(x).函数f(x)的周期为4.函数f(x)为奇函数,f(0)=0.f(2)=f(1+1)=f(1-1)=f(0)=0,f(3)=f(-1)=-f(1)=-2,f(4)=f(0),f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0.f(1)+f(2)+f(50)=f(49)+f(50)=f(1)+f(2)=2.12.D解析A(-a,0),PF1F2为等腰三角形,|PF2|=|F1F2|=2c.过点P作PEx轴,F1F2P
13、=120,PF2E=60.|F2E|=c,|PE|=3c,P(2c,3c).kPA=36,PA所在直线方程为y=36(x+a).3c=36(2c+a).e=ca=14.13.3解析令lgx=t,则得t2-2=t.作函数y=t2-2与y=t的图象,知t2-2=t有3个解,分别是t=-1,t=2,还有一解在1t2内.当1t0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=4k,x1x2=-4b.由抛物线的方程可得,y=14x2,y=12x.过点A(x1,y1)的抛物线的切线方程为y-y1=12x1(x-x1),又y1=14x12,代入切线方程整理得,y=12x1x-14x12.切线过P(m,
14、-4),代入整理得,x12-2mx1-16=0,同理可得x22-2mx2-16=0.x1,x2为关于x的方程x2-2mx-16=0的两个根,x1+x2=2m,x1x2=-16.由可得,x1x2=-4b=-16,x1+x2=4k=2m.b=4,k=m2,直线AB的方程为y=m2x+4.直线AB恒过定点(0,4).20.解(1)数列bn的通项公式bn=n,n为偶数,n+1,n为奇数(nN*),b5=6,b4=4.设各项为正数的等比数列an的公比为q,q0,S3=b5+1=7,a1+a1q+a1q2=7.b4是a2和a4的等比中项,b42=a2a4=a32=16,解得a3=a1q2=4,由得3q2-
15、4q-4=0,解得q=2或q=-23(舍去),a1=1,an=2n-1.(2)当n为偶数时,Tn=(1+1)20+22+(3+1)22+423+(5+1)24+(n-1)+12n-2+n2n-1=(20+22+322+423+n2n-1)+(20+22+2n-2),设Hn=20+22+322+423+n2n-1,2Hn=2+222+323+424+n2n,-,得-Hn=20+2+22+23+2n-1-n2n=1-2n1-2-n2n=(1-n)2n-1,Hn=(n-1)2n+1,Tn=(n-1)2n+1+1-4n21-4=n-232n+23.当n为奇数,且n3时,Tn=Tn-1+(n+1)2n-
16、1=n-532n-1+23+(n+1)2n-1=2n-232n-1+23,经检验,T1=2符合上式,Tn=2n-232n-1+23,n为奇数,n-232n+23,n为偶数.21.解(1)因为椭圆E过点A(0,-2),所以b=2.又以四个顶点围成的四边形的面积为45,所以122a2b=45,解得a=5.所以椭圆E的标准方程为x25+y24=1.(2)由题意知,直线l的斜率存在.设直线l的方程为y=kx-3,B(x1,y1),C(x2,y2).由x25+y24=1,y=kx-3,得(5k2+4)x2-30kx+25=0.由=400(k2-1)0,得k1或k-1.又x1+x2=30k5k2+4,x1
17、x2=255k2+4,所以y1+y2=k(x1+x2)-6=-245k2+4,y1y2=(kx1-3)(kx2-3)=k2x1x2-3k(x1+x2)+9=36-20k25k2+4.直线AB的方程为y+2=y1+2x1x,令y=-3,得x=-x1y1+2,所以M-x1y1+2,-3.同理,N-x2y2+2,-3.所以|PM|+|PN|=x1y1+2+x2y2+2=x1(y2+2)+x2(y1+2)(y1+2)(y2+2)=x1(kx2-1)+x2(kx1-1)y1y2+2(y1+y2)+4=2kx1x2-(x1+x2)y1y2+2(y1+y2)+4=2k255k2+4-30k5k2+436-2
18、0k25k2+4-485k2+4+4=|5k|15,所以-3k3.又k1,所以-3k-1或1k3.故k的取值范围为-3,-1)(1,3.22.(1)解求导函数,可得f(x)=x2-ax+1x2.函数f(x)无极值点,方程x2-ax+1=0在区间(0,+)内无根或有唯一根,方程a=x+1x在区间(0,+)内无根或有唯一根,又x+1x2(当且仅当x=1时取等号),x+1xmin=2,a2.故a的取值范围是(-,2.(2)解当a=2时,f(x)=x-1x-2lnx,g(x)=x+1x-(lnx)2,由(1)知,f(x)在区间(0,+)内单调递增,当x(0,1)时,f(x)=x-1x-2lnxf(1)
19、=0,即x-1x2lnxf(1)=0,即x-1x2lnx0;当x0时,x-1x|2lnx|=|lnx2|,令x2=t0,t-1t|lnt|,两边平方,得t+1t-2(lnt)2,当t0时,t+1t-2(lnt)2成立,当且仅当t=1时取等号,当x=1时,函数g(x)取最小值2.(3)证明由上知,当x1时,x+1x-(lnx)22,当x1时,x-1xlnx成立,令x=2n+12n,得2n+12n-2n2n+1ln2n+12n,即12n(2n+1)ln2n+12n,不等式:i=1n12i(2i+1)ln21+121+ln2n+12nln21+221+1+ln2n+22n+1=ln2n20+121+12n-1+12n+1=ln2n+12n+1.即i=1n12i(2i+1)ln2n+12n+1(nN*).
