四川省内江市威远中学2020届高三数学5月月考试题 理（含解析）.doc

1、四川省内江市威远中学2020届高三数学5月月考试题 理（含解析）本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟.第卷 （选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.1.已知集合，则= （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先化简集合,再根据交集运算法则求交集即可.【详解】,所以,故选:B.【点睛】本题考查了交集运算,考查了解不等式,属于简单题.2.已知复数z满足，则的共轭复数是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】直接由复数代数形式的除法运算化简

2、复数z，然后求得其共轭复数即可.【详解】由，得，所以.故选：B.【点睛】本题考查复数代数形式的除法运算，考查了共轭复数的求法，属于基础题.3.2019年9月25日.阿里巴巴在杭州云栖大会上正式对外发布了含光800AI芯片,在业界标准的ResNet -50测试中,含光800推理性能达到78563lPS,比目前业界最好的AI芯片性能高4倍;能效比500 IPS/W,是第二名的3.3倍.在国内集成电路产业发展中,集成电路设计产业始终是国内集成电路产业中最具发展活力的领域,增长也最为迅速.如图是2014-2018年中国集成电路设计产业的销售额(亿元)及其增速(%)的统计图,则下面结论中正确的是( )A

3、. 2014-2018年,中国集成电路设计产业的销售额逐年增加B. 2014-2017年,中国集成电路设计产业的销售额增速逐年下降C. 2018年中国集成电路设计产业的销售额的增长率比2015年的高D. 2018年与2014年相比,中国集成电路设计产业销售额的增长率约为110%【答案】A【解析】【分析】根据条形统计图可以判断选项A,D的正误,根据折线图可以判断选项B,C的正误.【详解】对于A,由图可得2014-2018年中国集成电路设计产业的销售额逐年增加,所以A正确;对于B,2017年中国集成电路设计产业的销售额增速比2016年高,所以B错误;对于C,2018年中国集成电路设计产业的销售额的

4、增长率(约21.5%)低于2015年的增长率(约26.5%),所以C错误;对于D,2018年与2014年相比,中国集成电路设计产业销售额的增长率为,所以D错误.故选:A.【点睛】本题主要考查统计图的实际应用,考查学生的理解分析能力,难度不大.4.在等差数列中，则数列的前5项之和的值为（ ）A. 108B. 90C. 72D. 24【答案】B【解析】由于，所以，应选答案A点睛：解答本题的简捷思路是巧妙运用等差数列的性质，然后整体代换前项和中的，从而使得问题的解答过程简捷、巧妙当然也可以直接依据题设条件建立方程组进行求解，但是解答过程稍微繁琐一点5.已知b=log32，c=log2(cos)，则（

5、 ）A. abcB. bacC. cabD. acb【答案】A【解析】【分析】根据函数单调性进而确定函数值的范围再进行比较即可.【详解】对于，因为在上单调递增，即对于，因为在定义域内单调递增，即对于，因为在上单调递减，则则综上，故选：A【点睛】本题较易。只需根据函数单调性进而确定函数值的范围再进行比较即可.注意自变量所在区间.6.已知向量，且，若均为正数，则的最小值是A. 24B. 8C. D. 【答案】B【解析】试题分析：由得，因此，当且仅当时取等号，所以选B.考点：基本不等式求最值【易错点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中

6、字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.7.已知函数的两个相邻的对称轴之间的距离为，为了得到函数的图象，只需将的图象（ ）A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度【答案】D【解析】【分析】先由函数的两个相邻的对称轴之间的距离为，得到周期，求出，再由平移原则，即可得出结果.【详解】因为函数的两个相邻的对称轴之间的距离为，所以的最小正周期为，因此，所以，因此，为了得到函数的图象，只需将的图象向右平移个单位长度.故选D【点睛】本题主要考查三角函数的性质，以及三角函数的平移问题，熟

7、记三角函数的平移原则即可，属于常考题型.8.函数在上的图象大致为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】易得函数为偶函数，排除部分选项，再采用特殊值法由，确定选项.【详解】因为，所以函数为偶函数，故排除D；因为，故排除B；因为，故排除C.故选：A.【点睛】本题主要考查函数图象的识别以及函数的奇偶性的应用，特殊值法的应用，还考查了数形结合的思想和理解辨析的能力，属于中档题.9.古希腊数学家阿基米德是世界上公认的三位最伟大的数学家之一，其墓碑上刻着他认为最满意的一个数学发现，如图，一个“圆柱容球”的几何图形，即圆柱容器里放了一个球，该球顶天立地，四周碰边，在该图中，球的体积是圆柱体

8、积的，并且球的表面积也是圆柱表面积的， 若圆柱的表面积是现在向圆柱和球的缝隙里注水，则最多可以注入的水的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】设球的半径为，则由题意可得球的表面积为，即可求出，从而得到圆柱的底面半径和高，最后由圆柱的体积减去球的体积即可；【详解】解：设球的半径为，则由题意可得球的表面积为，所以，所以圆柱的底面半径为1，高为2，所以最多可以注入的水的体积为.故选：B【点睛】本题考查圆柱和球表面积和体积的相关计算，属于基础题.10.椭圆的左、右焦点分别为，过点的直线交椭圆于两点，交轴于点，若，是线段的三等分点，的周长为，则椭圆的标准方程为（ ）A. B. C

9、. D. 【答案】A【解析】【分析】根据椭圆的定义及的周长为，可求出，根据，是线段的三等分点，利用中点坐标公式可先求出点的横坐标，代入椭圆可求出纵坐标，再由中点坐标公式可求出点的坐标，代入椭圆的方程即可求出的值.【详解】由椭圆的定义，得，的周长，所以，所以椭圆.不妨令点C是的中点，点A在第一象限，因为，所以点A的横坐标为c，所以，可得，所以，由中点坐标公式可得，把点B的坐标代入椭圆E的方程，得，化简得，又，所以，得，所以.所以，椭圆的方程为.故选：A.【点睛】本题主要考查椭圆的定义，中点坐标公式，关键是利用中点坐标求相应点的坐标，用点在曲线上求出.11.若曲线在点处的切线与直线垂直，则a=（

10、）A. 6B. 5C. 4D. 3【答案】C【解析】【分析】求出函数的导数,求得切点处的切线的斜率,再由两直线垂直的条件可得斜率为3,即可解得的值.【详解】解:的导数为，即有在处的切线斜率为，由在处的切线与直线垂直,即有,即.故选:C.【点睛】本题考查导数的几何意义、两直线垂直的基本条件,正确求导是前提,注意复合函数的求导不要遗忘内层函数的导数.12.设函数，其中，若仅存在两个正整数，使得，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】令,因为仅存在两个正整数使得,即仅有两个整数使得,利用函数的导数求解函数的最小值,列出不等式组,转化求解即可【详解】解：令，其定义域

11、；过定点，则，解得，当时，单调递减，当时，单调递增，故，作出与的大致图像如图所示.若仅存在两个正整数使得，即有两个正整数解，由题意得，即，解得，所以实数a取值范围是故选：D.【点睛】本题主要考查了根据不等式的解的分布求解参数范围的问题,需要将原函数分成两个函数数形结合分析,同时也考查了利用导数求解函数的单调性求解的方法.属于难题.第卷 （非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卡相应位置上.13.若，则的值为_【答案】【解析】【分析】直接把已知方程两边同时平方即得解.【详解】由题得故答案为：【点睛】本题主要考查二倍角的正弦，意在考查学生对这些知识的

12、掌握水平和分析推理能力.14.在的展开式中，各项系数之和为，则展开式中的常数项为_.【答案】【解析】【分析】利用展开式各项系数之和求得的值，由此写出展开式的通项，令指数为零求得参数的值，代入通项计算即可得解.【详解】的展开式各项系数和为，得，所以，的展开式通项为，令，得，因此，展开式中的常数项为.故答案为：.【点睛】本题考查二项展开式中常数项的计算，涉及二项展开式中各项系数和的计算，考查计算能力，属于基础题.15.已知是椭圆的右焦点，为椭圆上一点，则的最大值为_【答案】【解析】【分析】由椭圆的标准方程可表示焦点，以及由定义转化，再由三角形成形原则构建不等式关系求最大值.【详解】根据题意，设椭圆

13、的左焦点为，椭圆的方程为，其中为椭圆上一点，则，则，则，则，且显然点A在椭圆内，则，分析可得：，(三角形成形原则)当三点共线时，等号成立，则的最大值为故答案为：【点睛】本题考查求椭圆中求距离最值以及由椭圆的定义转化距离表达式，属于简单题.16.已知四面体内接于球O，且，若四面体体积为，球心O恰好在棱DA上，则球O的表面积是_【答案】【解析】【分析】根据,可知 为直角三角形,其外接圆的圆心为AC的中点,连,可知平面,根据 为的中点可知 平面,所以 为四面体的高,根据四面体的体积可求得,在直角三角形 中由勾股定理可求得外接球的直径,从而可得球的半径,再由球的表面积公式可求得球的表面积.【详解】如图

14、:在三角形ABC中,因为,所以 为直角三角形,所以三角形ABC的外接圆的圆心为AC的中点,连,根据垂径定理,可得平面,因为 为的中点可知平面,所以 为四面体的高.所以,解得.所以.所以四面体的外接球的半径为2,表面积为=.【点睛】本题考查了球与四面体的组合体,三棱锥的体积,球的表面积公式,利用垂径定理和中位线平行得到 平面是解题关键.属于中档题.三、解答题（本大题共6小题，共70分.22题10分，17题-21题各12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在中，内角，所对的边分别为，且.（1）证明：；（2）若，且的面积为，求.【答案】（1）见解析（2）2【解析】试题分析：（1）由，根

15、据正弦定理可得 ，利用两角和的正弦公式展开化简后可得，所以，；（2）由，根据余弦定理可得，结合（1）的结论可得三角形为等腰三角形，于是可得，由 ，解得.试题解析：（1）根据正弦定理，由已知得： ，展开得： ，整理得：，所以，.（2）由已知得：， ，由，得：，由，得：，所以，由 ，得：.18.某社区消费者协会为了解本社区居民网购消费情况，随机抽取了100位居民作为样本，就最近一年来网购消费金额(单位：千元)，网购次数和支付方式等进行了问卷调査.经统计这100位居民的网购消费金额均在区间内，按，分成6组，其频率分布直方图如图所示.（1）估计该社区居民最近一年来网购消费金额的中位数；（2）将网购消费

16、金额在20千元以上者称为“网购迷”，补全下面的列联表，并判断有多大把握认为“网购迷与性别有关系”；男女合计网购迷20非网购迷45合计100（3）调査显示，甲、乙两人每次网购采用的支付方式相互独立，两人网购时间与次数也互不. 影响.统计最近一年来两人网购的总次数与支付方式，所得数据如下表所示：网购总次数支付宝支付次数银行卡支付次数微信支付次数甲80401624乙90601812将频率视为概率，若甲、乙两人在下周内各自网购2次，记两人采用支付宝支付的次数之和为，求的数学期望.附：观测值公式：临界值表：0.010.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357

17、.87910.828【答案】(1) 中位数估计为17.5千元. (2)见解析；(3) 【解析】【分析】(1)利用频率分布直方图的中位数公式求解即可(2) 由直方图知，网购消费金额在20千元以上的频数为，得“网购迷”共有35人，列出列联表计算即可得出结论；(3) 设甲，乙两人采用支付宝支付的次数分别为，据题意得，计算，由，即可求解【详解】（1）在直方图中，从左至右前3个小矩形的面积之和为， 后2个小矩形的面积之和为，所以中位数位于区间内.设直方图的面积平分线为，则，得，所以该社区居民网购消费金额的中位数估计为17.5千元.（2）由直方图知，网购消费金额在20千元以上的频数为，所以“网购迷”共有3

18、5人，由列联表知，其中女性有20人，则男性有15人.所以补全的列联表如下：男女合计网购迷152035非网购迷452065合计6040100因为，查表得，所以有97.5%的把握认为“网购迷与性别有关系”.（3）由表知，甲，乙两人每次网购采用支付宝支付的概率分别为，.设甲，乙两人采用支付宝支付的次数分别为，据题意，.所以，.因为，则，所以的数学期望为.【点睛】本题考查频率分布直方图，独立性检验，二项分布，熟记公式准确计算是关键，是中档题19.如图，在多面体中，底面是边长为的的菱形，四边形是矩形，平面平面，和分别是和的中点（）求证：平面平面；（）求二面角的大小【答案】（）证明见解析；（）【解析】试题

19、分析：第一问根据三角形的中位线找到平行线，利用面面平行的判定定理，在其中一个平面内找到和另一个平面平行的两条相交直线，证得结果，第二问先在几何体中找到共点的相互垂直的三条直线，建立相应的空间直角坐标系，求得面的法向量，利用面的法向量所成的角的余弦值判断求得二面角的余弦值，结合二面角的取值范围，求得二面角的大小试题解析：（）证明：在中，因为分别是的中点，所以， 又因为平面，平面，所以平面 设，连接，因为为菱形，所以为中点在中，因为，所以，又因为平面，平面，所以平面 又因为，平面，所以平面平面（）解：取的中点，连接，因为四边形是矩形，分别为的中点，所以，因为平面平面，所以平面，所以平面，因为为菱形

20、，所以，得两两垂直所以以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，如图建立空间直角坐标系因为底面是边长为的菱形，所以，所以，设平面的法向量为，则令，得由平面，得平面的法向量为，则所以二面角的大小为考点：面面平行的判定定理，求二面角的大小20.已知椭圆经过点，直线与椭圆C交于两点，O是坐标原点.（1）求椭圆C的标准方程；（2）求面积的最大值【答案】（1）；（2）1【解析】【分析】（1）利用待定系数法，将点代入直接求解即可.（2）将直线与椭圆方程联立消，求出，然后利用弦长公式求出，利用点到直线的距离公式求出O到的距离，从而，设，可得，利用基本不等式即可求解.【详解】解：（1）依题意可得解得，椭圆C的标准方

21、程为，（2）设，由，得，由得，O到的距离， 设，则，当且仅当，即时，得，面积取得最大值1.【点睛】本题考查了待定系数法求椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系中的面积问题，考查了数学计算能力，属于中档题.21.已知为函数的一个极值点.（1）求实数的值，并讨论函数的单调性；（2）若方程有且只有一个实数根，求实数的值.【答案】（1）见解析；（2）【解析】【详解】（1）， 为函数的一个极值点， ，故，令，解得或 当时，函数单调递增；当时，函数单调递减；当时，函数单调递增；（2）方程，整理得因为，所以有令，则令，故在上是增函数 ， 当时，即，单调递减；当时，即，单调递增； 当或时， 方程有且只有一个实数

22、根时，实数点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解22.在直角坐标系中，以原点为极点，以轴的正半轴为极轴，曲线的极坐标方程为.（1）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）过点作倾斜角为的直线与圆交于，两点，试求的值【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）求出直线的参数方程，代入圆的方程可得：，利用根与系数的

23、关系可得结果.【详解】（1）将曲线的极坐标方程，化为直角坐标方程为；（2）直线的参数方程为：（为参数），将其带入上述方程中得：，则，所以.【点睛】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、直线参数方程及其应用、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题23.已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）对于任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）当时，根据，由或或求解.（2）将对任意实数，不等式恒成立，转化为，再分别求得最大值和最小值求解即可.【详解】（1）当时，因为，所以或或，解得：或，所以不等式的解集为.（2）对于任意实数，不等式恒成立，等价于.因为，当且仅当时等号成立，所以 因为时，所以函数单增区间为，单间区减为，所以当时，所以，所以实数的取值范围.【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，绝对值不等式恒成立问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.