1、考点规范练31等比数列及其前n项和基础巩固1.已知等比数列an中,a5=3,a4a7=45,则a7-a9a6-a7的值为()A.30B.25C.15D.102.(2021广西桂林模拟)古代数学著作九章算术有如下的问题:“今有女子善织,日自倍,五日织五尺,问日织几何?”意思是:“一女子善于织布,每天织的布都是前一天的2倍,已知她5天共织布5尺,问这女子每天分别织布多少?”根据上述已知条件,若要使织布的总尺数不少于50尺,则至少需要()天.A.7B.8C.9D.103.(2021广西玉林育才中学三模)各项均为正数的等比数列an的前n项和为Sn,且a1a7=3a4,a2与a3的等差中项为18,则S5
2、=()A.108B.117C.120D.1214.已知an为等比数列,a4+a7=2,a5a6=-8,则a1+a10=()A.7B.5C.-5D.-75.等差数列an的公差为2,若a2,a4,a8成等比数列,则an的前n项和Sn=()A.n(n+1)B.n(n-1)C.n(n+1)2D.n(n-1)26.已知数列an为等比数列,首项a1=2,数列bn满足bn=log2an,且b2+b3+b4=9,则a5=()A.8B.16C.32D.647.(2021广西柳州三模)已知数列an的前n项和为Sn,且a1=1,lgSn是公差为lg 3的等差数列,则a2+a4+a2n=.8.设数列an的前n项和为S
3、n,若S2=4,an+1=2Sn+1,nN*,则a1=,S5=.9.已知在数列an中,a1=2,且对于任意正整数m,n都有am+n=aman,则数列an的通项公式是.10.(2021河北邯郸二模)已知数列an满足an0,an+1=3an+4.(1)证明:数列an+2为等比数列;(2)若a3=25,求数列an-n的前n项和Sn.11.已知an是公差为3的等差数列,数列bn满足b1=1,b2=13,anbn+1+bn+1=nbn.(1)求an的通项公式;(2)求bn的前n项和.12.已知数列an满足an=2an-1+1(n2),a4=15.(1)求a1,a2,a3;(2)判断数列an+1是否为等比
4、数列,并说明理由;(3)求数列an的前n项和Sn.能力提升13.(2021青岛西海岸新区高三期末)已知数列an的前n项和Sn=2n+1-2,则an的通项公式an=;若数列bn的通项公式bn=n,将数列bn中与an相同的项去掉剩下的项依次构成数列cn,cn的前n项和为Tn,则T100=.14.(2021河北石家庄模拟)数学中有各式各样富含诗意的曲线,螺旋线就是其中比较特别的一类.螺旋线这个名词来源于希腊文,它的原意是“旋卷”或“缠卷”.小明对螺旋线有着浓厚的兴趣,连接嵌套的各个正方形的顶点就得到了近似于螺旋线的美丽图案,其具体作法是:在边长为1的正方形ABCD中,作它的内接正方形EFGH,且使得
5、BEF=15;再作正方形EFGH的内接正方形MNPQ,且使得FMN=15;类似地,依次进行下去,就形成了阴影部分的图案,如图所示.设第n个正方形的边长为an(其中第1个正方形ABCD的边长为a1=AB,第2个正方形EFGH的边长为a2=EF,),第n个直角三角形(阴影部分)的面积为Sn(其中第1个直角三角形AEH的面积为S1,第2个直角三角形EQM的面积为S2,),有以下结论:数列an是公比为23的等比数列;S1=112;数列Sn是公比为49的等比数列;数列Sn的前n项和Tn14.其中正确结论的序号有.15.已知一个等差数列an的前3项a1,a2,a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数,且其
6、中的任意两个数不在表的同一列.行数列数第一列第二列第三列第一行582第二行4312第三行1669(1)请选择一个可能的a1,a2,a3组合,并求数列an的通项公式;(2)记(1)中选择的an的前n项和为Sn,判断是否存在正整数k,使得a1,ak,Sk+2成等比数列,若存在,请求出k的值;若不存在,请说明理由.高考预测16.已知等比数列bn,b1+b2=34,且b2+b3=38.(1)求数列bn的通项公式;(2)若数列ann是首项为b1,公差为b2的等差数列,求数列1an的前n项和.答案：1.A解析设等比数列an的公比为q.已知a5=3,a4a7=45,则a4a7=a4a6q=a52q=45,解
7、得q=5,所以a7-a9a6-a7=q-q31-q=q(1+q)=30.2.C解析由题意知,该女子每天织的布构成公比为2的等比数列,设该等比数列的前n项和为Sn,该女子所需天数至少为n,第一天织布a1尺.由题意得S5=a1(1-25)1-2=5,解得a1=531.故Sn=531(1-2n)1-250,解得2n311.因为29=512,28=256,所以要织布的总尺数不少于50尺,该女子至少需要9天.3.D解析设an的公比为q.an是各项均为正数的等比数列,且a1a7=3a4,a42=3a4,a4=3,即a1q3=3.a2与a3的等差中项为18,a2+a3=36,即a1q+a1q2=36,联立,
8、可解得a1=81,q=13,则S5=811-1351-13=121.4.D解析an为等比数列,a5a6=a4a7=-8.联立a4+a7=2,a4a7=-8,可解得a4=4,a7=-2或a4=-2,a7=4,当a4=4,a7=-2时,q3=-12,故a1+a10=a4q3+a7q3=-7;当a4=-2,a7=4时,q3=-2,故a1+a10=a4q3+a7q3=-7.综上可知,a1+a10=-7.5.A解析a2,a4,a8成等比数列,a42=a2a8,即(a1+6)2=(a1+2)(a1+14),解得a1=2.Sn=na1+n(n-1)2d=2n+n2-n=n2+n=n(n+1).故选A.6.C
9、解析由题意知bn为等差数列,因为b2+b3+b4=9,所以b3=3,因为b1=1,所以公差d=1,则bn=n,即n=log2an,故an=2n,于是a5=25=32.7.9n-14解析S1=a1=1,则lgS1=lg1=0.lgSn是公差为lg3的等差数列,lgSn=(n-1)lg3=lg3n-1,则Sn=3n-1.当n2时,an=Sn-Sn-1=3n-1-3n-2=23n-2,a2=2,an+1an=23n-123n-2=3,数列an自第二项起构成公比为3的等比数列,可得a2+a4+a2n=2(1-9n)1-9=9n-14.8.1121解析由题意,可得a1+a2=4,a2=2a1+1,所以a
10、1=1,a2=3.再由an+1=2Sn+1,an=2Sn-1+1(n2),得an+1-an=2an,即an+1=3an(n2).又因为a2=3a1,所以数列an是以1为首项,3为公比的等比数列.所以S5=1-351-3=121.9.an=2n解析在数列an中,a1=2,且对于任意正整数m,n都有am+n=aman,令m=1,得an+1=2an,则an是首项和公比均为2的等比数列,从而an=2n.10.(1)证明由an+1=3an+4,得an+1+2=3(an+2).因为an是正项数列,an+20,所以数列an+2为等比数列.(2)解若a3=25,则an+2=(a3+2)3n-3,即an+2=(
11、25+2)3n-3,所以an=3n-2,an-n=3n-n-2,数列an-n的前n项和Sn=(3+32+3n)-(1+n)n2-2n=3(1-3n)1-3-(1+n)n2-2n=3n+12-n22-5n2-32.11.解(1)由已知,a1b2+b2=b1,b1=1,b2=13,得a1=2.所以数列an是首项为2,公差为3的等差数列,通项公式为an=3n-1.(2)由(1)和anbn+1+bn+1=nbn得bn+1=bn3,因此bn是首项为1,公比为13的等比数列.记bn的前n项和为Sn,则Sn=1-13n1-13=32-123n-1.12.解(1)由an=2an-1+1(n2)及a4=15知a
12、4=2a3+1,解得a3=7,同理得a2=3,a1=1.(2)由an=2an-1+1(n2),知an+1=2an-1+2,即an+1=2(an-1+1),故an+1是以a1+1=2为首项,公比为2的等比数列.(3)an+1=(a1+1)2n-1,an=2n-1.Sn=a1+a2+a3+an=(21-1)+(22-1)+(23-1)+(2n-1)=(21+22+23+2n)-n=2(1-2n)1-2-n=2n+1-2-n.13.an=2n,nN*5 545解析由题意,数列an的前n项和Sn=2n+1-2,当n2时,an=Sn-Sn-1=2n+1-2-(2n-2)=2n,当n=1时,a1=S1=2
13、2-2=2,适合上式,所以an的通项公式an=2n,nN*.在数列bn的前100项中与数列an相同的项为2,22,23,24,25,26,所以T100=(b1+b2+b100)-(2+22+23+24+25+26)+(b101+b102+b106)=(b1+b2+b100+b101+b102+b106)-(2+22+23+24+25+26)=106(1+106)2-2(1-26)1-2=5671-126=5545.14.解析如图:由图知an=an+1(sin15+cos15)=an+12sin(15+45)=62an+1,对于:因为an=62an+1(an0),所以an+1an=63,数列an
14、是公比为63的等比数列,故不正确;对于:因为an=163n-1=63n-1,所以Sn=an2-an+124=1423n-1-23n=1823n,所以数列Sn是首项为112,公比为23的等比数列,故正确,不正确;对于:因为Tn=1121-23n1-23=141-23214,故正确.15.解(1)由题意可知,有两种组合满足条件:a1=8,a2=12,a3=16,此时等差数列an,a1=8,d=4,所以其通项公式为an=8+4(n-1)=4n+4.a1=2,a2=4,a3=6,此时等差数列an,a1=2,d=2,所以其通项公式为an=2n.(2)若选择,Sn=n(8+4n+4)2=2n2+6n.则S
15、k+2=2(k+2)2+6(k+2)=2k2+14k+20.若a1,ak,Sk+2成等比数列,则ak2=a1Sk+2,即(4k+4)2=8(2k2+14k+20),整理,得5k=-9,此方程无正整数解,故不存在正整数k,使得a1,ak,Sk+2成等比数列.若选择,Sn=n(2+2n)2=n2+n,则Sk+2=(k+2)2+(k+2)=k2+5k+6.若a1,ak,Sk+2成等比数列,则ak2=a1Sk+2,即(2k)2=2(k2+5k+6),整理得k2-5k-6=0,因为k为正整数,所以k=6.故存在正整数k=6,使得a1,ak,Sk+2成等比数列.16.解(1)设数列bn的公比为q,则b1+b1q=34,b1q+b1q2=38,解得b1=12,q=12,所以bn=12n.(2)由(1)知数列ann是首项为12,公差为14的等差数列,所以ann=12+(n-1)14=n+14,从而an=n2+n4.所以1an=4n(n+1)=41n-1n+1.故数列1an的前n项和Sn=411-12+12-13+1n-1n+1=41-1n+1=4nn+1.