1、章末分层突破自我校对对称性离心率顶点渐近线离心率_圆锥曲线定义及应用圆锥曲线的定义是相应标准方程和几何性质的“源”，对于圆锥曲线的有关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的意识，“回归定义”是一种重要的解题策略研究有关点间的距离的最值问题时，常用定义把曲线上的点到焦点的距离转化为到另一焦点的距离或利用定义把曲线上的点到焦点的距离转化为其到相应准线的距离，再利用数形结合的思想去解决有关的最值问题(1)已知动点M的坐标满足方程5|3x4y12|，则动点M的轨迹是()A椭圆B双曲线C抛物线 D以上都不对(2)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为.过F1的直线l交C
2、于A，B两点，且ABF2的周长为16，那么C的方程为_【精彩点拨】(1)利用动点满足的几何条件符合抛物线定义(2)利用椭圆定义来解【规范解答】(1)把轨迹方程5|3x4y12|写成.动点M到原点的距离与它到直线3x4y120的距离相等点M的轨迹是以原点为焦点，直线3x4y120为准线的抛物线(2)设椭圆方程为1(ab0)，因为AB过F1且A，B在椭圆上，如图所示，则ABF2的周长为|AB|AF2|BF2|AF1|AF2|BF1|BF2|4a16，a4.又离心率e，c2，b2a2c28，椭圆C的方程为1.【答案】(1)C(2)1再练一题1点P是抛物线y28x上的任意一点，F是抛物线的焦点，点M的
3、坐标是(2,3)，求|PM|PF|的最小值，并求出此时点P的坐标【解】抛物线y28x的准线方程是x2，那么点P到焦点F的距离等于它到准线x2的距离，过点P作PD垂直于准线x2，垂足为D，那么|PM|PF|PM|PD|.如图所示，根据平面几何知识，当M，P，D三点共线时，|PM|PF|的值最小，且最小值为|MD|2(2)4，所以|PM|PF|的最小值是4.此时点P的纵坐标为3，所以其横坐标为，即点P的坐标是.圆锥曲线的方程与性质椭圆、双曲线、抛物线的几何性质，主要指图形的范围、对称性，以及顶点坐标、焦点坐标、中心坐标、离心率、准线、渐近线以及几何元素a，b，c，e之间的关系等如图21所示，F1，
4、F2是椭圆C1：y21与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是()图21A. B C D【精彩点拨】由椭圆可求出|AF1|AF2|，由矩形求出|AF1|2|AF2|2，再求出|AF2|AF1|即可求出双曲线方程中的a，进而求得双曲线的离心率【规范解答】由椭圆可知|AF1|AF2|4，|F1F2|2.因为四边形AF1BF2为矩形，所以|AF1|2|AF2|2|F1F2|212，所以2|AF1|AF2|(|AF1|AF2|)2(|AF1|2|AF2|2)16124，所以(|AF2|AF1|)2|AF1|2|AF2|22|AF1
5、|AF2|1248，所以|AF2|AF1|2，因此对于双曲线有a，c，所以C2的离心率e.【答案】D再练一题2已知椭圆1(ab0)的半焦距是c，A，B分别是长轴、短轴的一个端点，O为原点，若ABO的面积是c2，则这一椭圆的离心率是()A. B C D【解析】abc2，即a2(a2c2)12c4，所以(a23c2)(a24c2)0，所以a24c2，a2c，故e.【答案】A直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系主要有：(1)有关直线与圆锥曲线公共点的个数问题，应注意数形结合；(2)有关弦长问题，应注意运用弦长公式及根与系数的关系；(3)有关垂直问题，应注意运用斜率关系及根与系数的关系，尽
6、量设而不求，简化运算已知椭圆1(ab0)经过点(0，)，离心率为，左、右焦点分别为F1(c,0)，F2(c,0)图22(1)求椭圆的方程；(2)若直线l：yxm与椭圆交于A，B两点，与以F1F2为直径的圆交于C，D两点，且满足，求直线l的方程【精彩点拨】(1)利用定义解题(2)利用勾股定理和弦长公式来解【规范解答】(1)由题设知解得a2，b，c1，椭圆的方程为1.(2)由(1)知，以F1F2为直径的圆的方程为x2y21，圆心到直线l的距离d，由d1得|m|1时，设切线l的方程为yk(xm)由得(14k2)x28k2mx4k2m240.设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则x
7、1x2，x1x2.又由l与圆x2y21相切，得1，即m2k2k21.所以|AB|.由于当m1时，|AB|，所以|AB|，m(，11，)因为|AB|2，当且仅当m时，|AB|2，所以|AB|的最大值为2.1已知方程1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是()A(1,3)B(1，)C(0,3) D(0，)【解析】若双曲线的焦点在x轴上，则又(m2n)(3m2n)4，m21，1n3m2且n0，b0)的一条渐近线过点(2，)，且双曲线的一个焦点在抛物线y24x的准线上，则双曲线的方程为()A.1 B1C.1 D1【解析】由双曲线的渐近线yx过点(2，)，可得2.由双曲线的焦点(，0
8、)在抛物线y24x的准线x上，可得.由解得a2，b，所以双曲线的方程为1.【答案】D5已知椭圆E：1的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为k(k0)的直线交E于A，M两点，点N在E上，MANA.(1)当t4，|AM|AN|时，求AMN的面积；(2)当2|AM|AN|时，求k的取值范围【解】设M(x1，y1)，则由题意知y10.(1)当t4时，E的方程为1，A(2,0)由已知及椭圆的对称性知，直线AM的倾斜角为.因此直线AM的方程为yx2.将xy2代入1得7y212y0，解得y0或y，所以y1.因此AMN的面积SAMN2.(2)由题意t3，k0，A(，0)将直线AM的方程yk(x)代入1得(3t
9、k2)x22tk2xt2k23t0.由x1()得x1，故|AM|x1|.由题设，直线AN的方程为y(x)，故同理可得|AN|.由2|AM|AN|得，即(k32)t3k(2k1)当k时上式不成立，因此t.t3等价于0，即0.由此得或解得k2.因此k的取值范围是(，2)章末综合测评(二)圆锥曲线与方程(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1双曲线3x2y29的焦距为()A.B2C2D4【解析】方程化为标准方程为1，a23，b29.c2a2b212，c2，2c4.【答案】D2对抛物线y4x2，下列描述正确
10、的是()A开口向上，焦点为(0,1)B开口向上，焦点为C开口向右，焦点为(1,0)D开口向右，焦点为【解析】抛物线可化为x2y，故开口向上，焦点为.【答案】B3抛物线y24x的焦点到双曲线x21的渐近线的距离是() 【导学号：15460057】A. B C1 D【解析】抛物线y24x的焦点为(1,0)，到双曲线x21的渐近线xy0的距离为，故选B.【答案】B4已知抛物线C1：y2x2的图象与抛物线C2的图象关于直线yx对称，则抛物线C2的准线方程是()Ax BxCx Dx【解析】抛物线C1：y2x2关于直线yx对称的C2的表达式为x2(y)2，即y2x，其准线方程为x.【答案】C5已知点F，A
11、分别为双曲线C：1(a0，b0)的左焦点、右顶点，点B(0，b)满足0，则双曲线的离心率为()A. BC. D【解析】0，FBAB，b2ac，又b2c2a2，c2a2ac0，两边同除以a2，得e21e0，e.【答案】D6已知双曲线C：1(a0，b0)的离心率为，则C的渐近线方程为()Ayx ByxCyx Dyx【解析】由e，得，ca，ba.而1(a0，b0)的渐近线方程为yx，所求渐近线方程为yx.【答案】C7.如图1，已知F是椭圆1(ab0)的左焦点，P是椭圆上的一点，PFx轴，OPAB(O为原点)，则该椭圆的离心率是()图1A. B C D【解析】因为PFx轴，所以P.又OPAB，所以，即
12、bc.于是b2c2，即a22c2，所以e.【答案】A8若点O和点F(2,0)分别为双曲线y21(a0)的中心和左焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围为()A32，) B32，)C. D【解析】因为双曲线左焦点的坐标为F(2,0)，所以c2.所以c2a2b2a21，即4a21，解得a.设P(x，y)，则x(x2)y2，因为点P在双曲线y21上，所以x22x121.又因为点P在双曲线的右支上，所以x.所以当x时，最小，且为32，即的取值范围是32，)【答案】B9已知定点A，B满足AB4，动点P满足PAPB3，则PA的最小值是()A. B C D5【解析】已知定点A，B满足AB4，动点P
13、满足PAPB3，则点P的轨迹是以A，B为左、右焦点的双曲线的右支，且a，c2.所以PA的最小值是点A到右顶点的距离，即为ac2，选C.【答案】C10若焦点在x轴上的椭圆1的离心率为，则n()A. B C D【解析】依题意知，a，b，c2a2b22n，又e，n.【答案】B11已知直线yk(x2)与双曲线1，有如下信息：联立方程组消去y后得到方程Ax2BxC0，分类讨论：(1)当A0时，该方程恒有一解；(2)当A0时，B24AC0恒成立在满足所提供信息的前提下，双曲线离心率的取值范围是()A(1, B，)C(1,2 D2，)【解析】依题意可知直线恒过定点(2,0)，根据(1)和(2)可知直线与双曲
14、线恒有交点，故需要定点(2,0)在双曲线的左顶点上或左顶点的左边，即2，即00)上的一点，F为抛物线的焦点，直线l过点P且与x轴平行，若同时与直线l、直线PF、x轴相切且位于直线PF左侧的圆与x轴切于点Q，则点Q()A位于原点的左侧 B与原点重合C位于原点的右侧 D以上均有可能【解析】设抛物线的准线与x轴、直线l分别交于点D，C，圆与直线l、直线PF分别切于点A，B.如图，由抛物线的定义知PCPF，由切线性质知PAPB，于是ACBF.又ACDO，BFFQ，所以DOFQ，而DOFO，所以O，Q重合，故选B.【答案】B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分将答案填在题中的横线上)13双曲
15、线1的两条渐近线的方程为_【解析】由双曲线方程可知a4，b3，所以两条渐近线方程为yx.【答案】yx14已知F1，F2为椭圆1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点若F2AF2B12，则AB_. 【导学号：15460058】【解析】由题意，知(AF1AF2)(BF1BF2)ABAF2BF22a2a，又由a5，可得AB(BF2AF2)20，即AB8.【答案】815.如图2所示，已知抛物线C：y28x的焦点为F，准线l与x轴的交点为K，点A在抛物线C上，且在x轴的上方，过点A作ABl于B，AKAF，则AFK的面积为_图2【解析】由题意知抛物线的焦点为F(2,0)，准线l为x2，K(2,0)，设
16、A(x0，y0)(y00)，过点A作ABl于B，B(2，y0)，AFABx0(2)x02，BK2AK2AB2，x02，y04，即A(2,4)，AFK的面积为KFy0448.【答案】816设F为抛物线C：y24x的焦点，过点P(1,0)的直线l交抛物线C于A，B两点，点Q为线段AB的中点，若FQ2，则直线l的斜率等于_【解析】设直线l的方程为yk(x1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)由联立得k2x22(k22)xk20，x1x2，1，即Q.又FQ2，F(1,0)，224，解得k1.【答案】1三、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)
17、已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，短轴的一个端点到右焦点的距离为.求椭圆C的方程【解】设椭圆的半焦距为c，依题意，得a且e，a，c，从而b2a2c21，因此所求椭圆的方程为y21.18(本小题满分12分)已知F1，F2分别为椭圆1(0b10)的左、右焦点，P是椭圆上一点(1)求PF1PF2的最大值；(2)若F1PF260，且F1PF2的面积为，求b的值【解】(1)PF1PF22100(当且仅当PF1PF2时取等号)，PF1PF2的最大值为100.(2)SF1PF2PF1PF2sin 60，PF1PF2，由题意知：3PF1PF24004c2.由得c6，b8.19(本小题满分12分)在平面直角坐
18、标系xOy中，已知圆心在x轴上，半径为4的圆C位于y轴右侧，且与y轴相切(1)求圆C的方程；(2)若椭圆1的离心率为，且左、右焦点为F1，F2.试探究在圆C上是否存在点P，使得PF1F2为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由【解】(1)依题意，设圆的方程为(xa)2y216(a0)圆与y轴相切，a4，圆的方程为(x4)2y216.(2)椭圆1的离心率为，e，解得b29.c4，F1(4,0)，F2(4,0)，F2(4,0)恰为圆心C，()过F2作x轴的垂线，交圆于点P1，P2，则P1F2F1P2F2F190，符合题意；()过F1可作圆的两条切线，分别与圆相切于点P3，P4，连接
19、CP3，CP4，则F1P3F2F1P4F290，符合题意综上，圆C上存在4个点P，使得PF1F2为直角三角形20(本小题满分12分)(2016江南十校联考)已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率为，且过点P(4，)(1)求双曲线的方程；(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：0；(3)求F1MF2的面积【解】(1)e，可设双曲线方程为x2y2.过点P(4，)，1610，即6.双曲线方程为x2y26.(2)法一由(1)可知，双曲线中ab，c2，F1(2，0)，F2(2，0)，kMF1，kMF2，kMF1kMF2.点(3，m)在双曲线上，9m26，m23，故kMF1kMF21，M
20、F1MF2.0.法二(23，m)，(23，m)，(32)(32)m23m2，M点在双曲线上，9m26，即m230，0.(3)F1MF2的底边|F1F2|4，F1MF2的高h|m|，SF1MF26.21(本小题满分12分)(2013北京高考)已知A，B，C是椭圆W：y21上的三个点，O是坐标原点(1)当点B是W的右顶点，且四边形OABC为菱形时，求此菱形的面积；(2)当点B不是W的顶点时，判断四边形OABC是否可能为菱形，并说明理由【解】(1)椭圆W：y21的右顶点B的坐标为(2,0)因为四边形OABC为菱形，所以AC与OB相互垂直平分所以可设A(1，m)，代入椭圆方程得m21，即m.所以菱形O
21、ABC的面积是|OB|AC|22|m|.(2)四边形OABC不可能为菱形理由如下：假设四边形OABC为菱形因为点B不是W的顶点，且直线AC不过原点，所以可设AC的方程为ykxm(k0，m0)由消去y并整理得(14k2)x28kmx4m240.设A(x1，y1)，C(x2，y2)，则，km.所以AC的中点为M.因为M为AC和OB的交点，所以直线OB的斜率为.因为k1，所以AC与OB不垂直所以OABC不是菱形，与假设矛盾所以当点B不是W的顶点时，四边形OABC不可能是菱形22(本小题满分12分)已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，以原点O为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线xy0相切(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线l：ykxm与椭圆C相交于A，B两点，且kOAkOB.求证：AOB的面积为定值【解】(1)由题意得，b，又b2c2a2，联立解得a24，b23，椭圆的方程为1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B的坐标满足消去y化简得，(34k2)x28kmx4m2120.x1x2，x1x2，由0得4k2m230，y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2km(x1x2)m2k2kmm2.kOAkOB，即y1y2x1x2，即2m24k23，|AB|.又O到直线ykxm的距离d.SAOBd|AB|，为定值
