1、学业分层测评(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1已知平面的一个法向量n(2，2,1)，点A(1,3,0)在平面内，则点P(2,1,4)到平面的距离为()A10B3CD【解析】由题意可知(1,2，4)设点P到的距离为h，则h.【答案】D2在ABC中，AB15，BCA120，若ABC所在平面外一点P到A，B，C的距离都是14，则P到的距离是()A13 B11 C9 D7【解析】作PO于点O，连接OA，OB，OC，PAPBPC，OAOBOC，O是ABC的外心OA5，PO11即为所求【答案】B3在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，M是AA1的中点，则点A1到平面MBD的距离是()A.
2、B C D【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0)，M，B(a，a,0)，A1(a,0，a)，(a，a,0)，(a,0，a)设平面MBD的法向量为n(x，y，z)，则令x1，则可得n(1，1，2)da.【答案】A4若正四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面边长为1，AB1与底面ABCD成60角，则A1C1到底面ABCD的距离为() 【导学号：15460082】A. B1 C D【解析】如图，A1C1平面ABCD，所以A1C1到平面ABCD的距离等于点A1到平面ABCD的距离，由AB1与平面ABCD所成的角是60，AB1，所以BB1，即点A1到平面ABCD的距离为.【答案】D5已知
3、二面角l为60，动点P，Q分别在平面，内，P到的距离为，Q到的距离为2，则P，Q两点之间距离的最小值为()A2 B2 C2 D4【解析】作PM，QN，垂足分别为M，N.分别在平面，内作PEl，QFl，垂足分别为E，F，如图所示，连接ME，NF，则MEl，PEM为二面角l的平面角，PEM60.在RtPME中，|2，同理|4.又，|24|21622220|2224cos 12012|2.当|2取最小值0时，|2最小，此时|2.【答案】C二、填空题6如图3242，已知在60的二面角l中，A，B，ACl于C，BDl于D，并且AC1，BD2，AB5，则CD_.图3242【解析】ACl，BDl，l为60的
4、二面角，60.，2222222，5212242|cos ，220212cos 12022，|.【答案】7在底面为直角梯形的四棱锥PABCD中，侧棱PA底面ABCD，BCAD，ABC90，PAABBC2，AD1，则点D到平面PBC的距离是_【解析】分别以AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴、z轴建立空间直角坐标系如图，则A(0,0,0)，P(0,0,2)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,1,0)，(2,2，2)，(0,2,0)设n(x，y，z)为平面PBC的法向量，则即取x1，则n(1,0,1)又(2,1,0)，点D到平面PBC的距离为.【答案】8正方体ABCDA1B1C1D1的棱长
5、为a，E，F分别是BB1，CD的中点，则点F到平面A1D1E的距离为_【解析】建立空间直角坐标系，则A1(a,0，a)，D1(0,0，a)，A(a,0,0)，B(a，a,0)，B1(a，a，a)，E，F，如图所示设平面A1D1E的法向量为n(x，y，z)，则n0，n0，即ax0，ayz0，令z2，得n(0,1,2)又，所求距离da.【答案】a三、解答题9在四棱锥PABCD中，四边形ABCD为正方形，PD平面ABCD，PDDA2，E，F分别为PC，AD的中点图3243(1)证明：DE平面PFB；(2)求点E到平面PFB的距离【解】(1)证明：以D为原点，建立如图所示的坐标系，则P(0,0,2)，
6、F(1,0,0)，B(2,2,0)，E(0,1,1)(1,0,2)，(1,2,0)，(0,1,1).平面PFB.又D平面PFB，DE平面PFB.(2)令平面PFB的法向量为n(x，y，z)，则令x2，则法向量n(2，1,1)又(0,1，1)，d.点E到平面PFB的距离为.10已知正方形ABCD的边长为1，PD平面ABCD，且PD1，E，F分别为AB，BC的中点(1)求点D到平面PEF的距离；(2)求直线AC到平面PEF的距离【解】(1)建立以D为坐标原点，分别为x轴，y轴，z轴正方向的空间直角坐标系，如图所示则P(0,0,1)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，E，F，设平面PEF的法向量n
7、(x，y，z)，则即令x2，则y2，z3，所以n(2,2,3)，所以点D到平面PEF的距离为d，因此，点D到平面PEF的距离为.(2)因为，所以点A到平面PEF的距离为d，所以AC到平面PEF的距离为.能力提升1正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，点M分的比为，N为BB1的中点，则|MN|为()A.a Ba Ca Da【解析】以D为原点，分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A(a,0,0)，C1(0，a，a)，N.又M分的比为，M，|a.【答案】A2正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，E，F，G分别是C1C，D1A1，AB的中点，求点A到平面EFG的距离为()A3 B C
8、D【解析】如图所示，建立空间直角坐标系，则A(2,0,0)，E(0,2,1)，F(1,0,2)，G(2,1,0)，(1，2,1)，(2，1，1)，(0，1,0)，设n(x，y，z)是平面EFG的一个法向量，则 xyz，可取n(1,1,1)，d，即点A到平面EFG的距离为.【答案】C3如图3244，已知ABC是以B为直角的直角三角形，SA平面ABC，SABC2，AB4，M，N，D分别是SC，AB，BC的中点，则点A到平面SND的距离为_. 【导学号：15460083】图3244【解析】建立如图的空间直角坐标系，则N(0,2,0)，S(0,0,2)，D(4,1,0)，(0，2,2)，(4,1，2)
9、设平面SND的法向量为n(x，y,1)n0，n0，n.(0,0,2)A到平面SND的距离为.【答案】4如图3245，在四棱锥PABCD中，侧面PAD底面ABCD，侧棱PAPD2，底面ABCD为直角梯形，其中BCAD，ABAD，AD2AB2BC2，O为AD中点，问：线段AD上是否存在一点Q，使得它到平面PCD的距离为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由图3245【解】在PAD中，PAPD，O为AD中点，POAD.又侧面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，PO平面ABCD.建立如图所示空间直角坐标系，易得A(0，1,0)，B(1，1,0)，C(1,0,0)，D(0,1,0)，P(0,0,1)，(1,0,1)，(1,1,0)假设存在点Q，使它到平面PCD的距离为，设Q(0，y,0)(1y1)，(1，y,0)设平面PCD的法向量为n(x0，y0，z0)，则即x0y0z0，取x01，则平面PCD的一个法向量为n(1,1,1)点Q到平面PCD的距离为d，y或y(舍去)此时|，|.存在点Q满足题意，此时.