1、高考大题专项练二高考中的三角函数与解三角形1.在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=7,b=8,cos B=-17.(1)求角A;(2)求AC边上的高.2.(2021北京高考)已知在ABC中,c=2bcos B,C=23.(1)求B的大小;(2)在三个条件中选择一个作为已知,使ABC存在且唯一确定,并求出BC边上的中线的长度.c=2b;周长为4+23;面积为SABC=334.3.在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知b+c=2acos B.(1)证明:A=2B;(2)若ABC的面积S=a24,求角A的大小.4.ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c
2、.设(sin B-sin C)2=sin2A-sin BsinC.(1)求A;(2)若2a+b=2c,求sin C.5.ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cos C(acosB+bcosA)=c.(1)求C;(2)若c=7,ABC的面积为332,求ABC的周长.6.(2021广西崇左二模)已知ABC中,AB=62BC=3,且AC2+2AB=5.(1)求ABC的值;(2)若P是ABC内一点,且APB=56,CPB=34,求tanPBA.7.已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,sinA-sinCb+c=sinB-sinCa.(1)求B;(2)若b=3,求2a-c的取
3、值范围.8.(2021新高考)记ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b2=ac,点D在边AC上,BDsinABC=asinC.(1)证明:BD=b;(2)若AD=2DC,求cosABC.答案：1.解(1)在ABC中,cosB=-17,B2,sinB=1-cos2B=437.由正弦定理得asinA=bsinB,即7sinA=8437,sinA=32.B2,A0,2,A=3.(2)在ABC中,sinC=sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA=32-17+12437=3314.如图所示,在ABC中,过点B作BDAC,垂足为点D.设BD=h.sinC=hBC,h=BCsin
4、C=73314=332,AC边上的高为332.2.解(1)由题意及正弦定理,得sinC=2sinBcosB=sin2B.C=23,0B3,02B0),AB=23x,(4+23)x=4+23,解得x=1.BC=AC=2,AB=23.设边BC的中点为D,则CD=1.在ACD中,由余弦定理,得AD2=AC2+CD2-2ACCDcosC=4+1-221-12=7,AD=7.若选,则设BC=AC=2x(x0),AB=23x.由SABC=12BCACsinC=12(2x)(2x)sin23=3x2=334,解得x=32.BC=AC=3,AB=3.设边BC的中点为D,则CD=32.在ACD中,由余弦定理,得
5、AD2=AC2+CD2-2ACCDcosC=3+34-2332-12=214,AD=212.3.(1)证明由正弦定理及b+c=2acosB,得sinB+sinC=2sinAcosB,故2sinAcosB=sinB+sin(A+B)=sinB+sinAcosB+cosAsinB.于是sinB=sin(A-B).又A,B(0,),故0A-B,所以B=-(A-B)或B=A-B,因此A=(舍去)或A=2B,所以A=2B.(2)解由S=a24,得12absinC=a24,故有sinBsinC=12sin2B=sinBcosB.由sinB0,得sinC=cosB.又B,C(0,),所以C=2B.当B+C=
6、2时,A=2;当C-B=2时,A=4.综上,A=2或A=4.4.解(1)由已知得sin2B+sin2C-sin2A=sinBsinC,故由正弦定理得b2+c2-a2=bc.由余弦定理得cosA=b2+c2-a22bc=12.因为0A180,所以A=60.(2)由(1)知B=120-C,由题设及正弦定理得2sinA+sin(120-C)=2sinC,即62+32cosC+12sinC=2sinC,可得cos(C+60)=-22.由于0C120,所以sin(C+60)=22,故sinC=sin(C+60-60)=sin(C+60)cos60-cos(C+60)sin60=6+24.5.解(1)由已
7、知及正弦定理,得2cosC(sinAcosB+sinBcosA)=sinC,即2cosCsin(A+B)=sinC.故2sinCcosC=sinC.又sinC0,故可得cosC=12,又C(0,),所以C=3.(2)由已知,12absinC=332.又C=3,所以ab=6.由已知及余弦定理,得a2+b2-2abcosC=7.故a2+b2=13,从而(a+b)2=25,即a+b=5.所以ABC的周长为5+7.6.解(1)由AB=62BC=3,知AB=3,BC=2,由AC2+2AB=5,知AC2=5-2AB=5-23,在ABC中,由余弦定理得cosABC=BC2+AB2-AC22ABBC=2+3-
8、5+23232=22,0ABC,ABC=4.(2)PBA+PBC=4,PCB+PBC=-BPC=4,PBA=PCB,设PBA=,则在PBC中,由正弦定理得PBsin=BCsin34,PB=2sin,在APB中,由正弦定理得PBsin6-=ABsin56,PB=23sin6-,sin=3sin6-=3sin6cos-cos6sin,tan=35,故tanPBA=35.7.解(1)由题意及正弦定理,得a-cb+c=b-ca,即a2-ac=b2-c2.所以a2+c2-b2=ac.由余弦定理,得cosB=a2+c2-b22ac=ac2ac=12,又0B,所以B=3.(2)由正弦定理及题设,得asinA=csinC=bsinB=23,所以a=23sinA,c=23sinC,所以2a-c=43sinA-23sinC=23(2sinA-sinC).又A+B+C=,所以C=23-A,A0,23,所以2a-c=232sinA-sin23-A=2332sinA-32cosA=6sinA-6.又A0,23,所以A-6-6,2,所以-36sinA-61(舍去);当c=23a时,cosABC=712.综上所述,cosABC=712.