1、单元质检四三角函数、解三角形(B)(时间:45分钟满分:100分)一、选择题(本大题共5小题,每小题8分,共40分)1.(2020全国,理7)在ABC中,cos C=23,AC=4,BC=3,则cos B=()A.19B.13C.12D.23答案:A解析:AB2=AC2+BC2-2ACBCcosC=16+9-2423=9,AB=3,cosB=AB2+BC2-AC22ABBC=9+9-16233=19.2.已知tan +1tan=4,则cos2+4=()A.15B.14C.13D.12答案:B解析:由tan+1tan=4,得sincos+cossin=4,即sin2+cos2sincos=4,s
2、incos=14,cos2+4=1+cos2+22=1-sin22=1-2sincos2=1-2142=14.3.已知函数y=sin2x-3与y=cos2x+23的图象关于直线x=a对称,则a的值可能是()A.24B.12C.8D.1124答案:A解析:因为函数y=sin2x-3的图象关于直线x=a对称的图象对应的函数为y=sin2(2a-x)-3,即y=cos2-2(2a-x)-3=cos2x+56-4a,又因为函数y=sin2x-3与y=cos2x+23的图象关于直线x=a对称,所以y=cos2x+23=cos2x+56-4a,所以a可以为24.故选A.4.在ABC中,内角A,B,C所对的
3、边分别为a,b,c,若a=1,c=2(b-cos C),则ABC的周长的取值范围是()A.(1,3B.2,4C.(2,3D.3,5答案:C解析:在ABC中,由余弦定理可得2cosC=a2+b2-c2ab.a=1,2cosC+c=2b,1+b2-c2b+c=2b,(b+c)2-1=3bc.bcb+c22,(b+c)2-13b+c22,即b+c2,当且仅当b=c时,取等号.故a+b+c3.b+ca=1,a+b+c2.故ABC的周长的取值范围是(2,3.5.在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若ABC为锐角三角形,且满足sin B(1+2cos C)=2sin Acos C+cos A
4、sin C,则下列等式成立的是()A.a=2bB.b=2aC.A=2BD.B=2A答案:A解析:sinB(1+2cosC)=2sinAcosC+cosAsinC,sinB+2sinBcosC=(sinAcosC+cosAsinC)+sinAcosC,sinB+2sinBcosC=sinB+sinAcosC,2sinBcosC=sinAcosC,又ABC为锐角三角形,2sinB=sinA,由正弦定理,得a=2b.故选A.二、填空题(本大题共2小题,每小题8分,共16分)6.ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos A=45,cos C=513,a=1,则b=.答案:2113解析:因
5、为cosA=45,cosC=513,且A,C为ABC的内角,所以sinA=35,sinC=1213,sinB=sin-(A+C)=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=6365.又因为asinA=bsinB,所以b=asinBsinA=2113.7.(2020全国,理16)关于函数f(x)=sin x+1sinx有如下四个说法:f(x)的图象关于y轴对称.f(x)的图象关于原点对称.f(x)的图象关于直线x=2对称.f(x)的最小值为2.其中所有正确说法的序号是.答案:解析:对于,由sinx0可得函数的定义域为x|xk,kZ,故定义域关于原点对称,且由f(-x)=sin(-x)
6、+1sin(-x)=-sinx-1sinx=-f(x),所以该函数为奇函数,其图象关于原点对称,故说法错误,说法正确;对于,因为f(-x)=sin(-x)+1sin(-x)=sinx+1sinx=f(x),所以函数f(x)的图象关于直线x=2对称,说法正确;对于,令t=sinx,则t-1,0)(0,1,由函数g(t)=t+1t(t-1,0)(0,1)的性质,可知g(t)(-,-22,+),所以f(x)无最小值,说法错误.三、解答题(本大题共3小题,共44分)8.(14分)在ABC中,a=3,b-c=2,cos B=-12.(1)求b,c的值;(2)求sin(B-C)的值.解:(1)由余弦定理b
7、2=a2+c2-2accosB,得b2=32+c2-23c-12.因为b=c+2,所以(c+2)2=32+c2-23c-12.解得c=5,所以b=7.(2)由B为ABC的内角,又cosB=-12得sinB=32.由正弦定理得sinC=cbsinB=5314.在ABC中,角B是钝角,所以角C为锐角.所以cosC=1-sin2C=1114.所以sin(B-C)=sinBcosC-cosBsinC=437.9.(15分)已知函数f(x)=3sin 2x-cos 2x的图象关于直线x=3对称,其中-12,52.(1)求函数f(x)的解析式;(2)在ABC中,a,b,c分别为三个内角A,B,C的对边,锐
8、角B满足fB2+12=253,b=2,求ABC面积的最大值.解:(1)因为f(x)=3sin2x-cos2x=2sin2x-6的图象关于直线x=3对称,所以23-6=k+2(kZ),所以=3k2+1(kZ).因为-12,52,所以-123k2+152(kZ),所以-1k1(kZ),所以k=0,=1,所以f(x)=2sin2x-6.(2)因为fB2+12=2sinB=253,所以sinB=53.因为B为锐角,所以0B2,所以cosB=23.因为cosB=a2+c2-b22ac,所以a2+c2-b22ac=23,又b=2,所以43ac=a2+c2-22ac-2,所以ac3,当且仅当a=c=3时,a
9、c取到最大值3,所以ABC面积的最大值为12353=52.10.(15分)(2020重庆九龙坡检测)如图,在四边形ABCD中,ADAB,CAB=60,BCD=120,AC=2.(1)若ABC=15,求CD;(2)记ABC=,当为何值时,BCD的面积有最小值?求出最小值.解:(1)在四边形ABCD中,因为ADAB,BCD=120,ABC=15,所以ADC=135,由ADAB,CAB=60,可得CAD=90-60=30,又AC=2,由正弦定理得CDsinCAD=ACsinADC,解得CD=2.(2)由CAB=60,ADAB可得CAD=30,又ADC=150-,所以在ADC中,DCsin30=2sin(150-)DC=1sin(150-).在ABC中,BCsin60=2sinBC=3sin,所以BCD的面积SBCD=12DCBCsin120=341sin(150-)sin=34112sincos+32sin2=34114sin2-34cos2+34=34112sin(2-60)+34.又0120,所以-602-60180,所以当sin(2-60)最大,即2-60=90,=75时,SBCD取最小值6-33.