1、考点规范练30等差数列及其前n项和基础巩固1.若an为等差数列,且a7-2a4=-1,a3=0,则公差d等于()A.-2B.-12C.12D.22.在等差数列an中,已知a1=2,a2+a3+a4=24,则a4+a5+a6等于()A.38B.39C.41D.423.记Sn为等差数列an的前n项和,若3S3=S2+S4,a1=2,则a5=()A.-12B.-10C.10D.124.已知等差数列an的前4项和为30,前8项和为100,则它的前12项和为()A.110B.200C.210D.2605.已知数列an是等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,an的前n项和为Sn,则使
2、得Sn达到最大的n是()A.18B.19C.20D.216.(2021山西吕梁一模)已知Sn为等差数列an的前n项和,满足a3=3a1,a2=3a1-1,则数列Snn的前10项和为()A.552B.55C.652D.657.中国古代词中,有一道“八子分绵”的数学名题:“九百九十六斤绵,赠分八子作盘缠,次第每人多十七,要将第八数来言”.题意是:把996斤绵分给8个儿子作盘缠,按照年龄从大到小的顺序依次分绵,年龄小的比年龄大的多17斤绵,那么第8个儿子分到的绵是斤.(“斤”非国际通用单位)8.已知数列an(nN*)是等差数列,Sn是其前n项和.若a2a5+a8=0,S9=27,则S8的值是.9.若
3、数列an的前n项和为Sn,且满足an+2SnSn-1=0(n2),a1=12.(1)求证:1Sn成等差数列;(2)求数列an的通项公式.10.(2021新高考)记Sn是公差不为0的等差数列an的前n项和,若a3=S5,a2a4=S4.(1)求数列an的通项公式;(2)求使Snan成立的n的最小值.能力提升11.已知数列an为等差数列,其前n项和为Sn,且2a1+3a3=S6,给出以下结论:a10=0;S10最小;S7=S12;S19=0.其中一定正确的结论是()A.B.C.D.12.已知数列an是等差数列,数列bn满足bn=anan+1an+2(nN*),设Sn为bn的前n项和.若a12=38
4、a50,则当Sn取得最大值时,n的值等于.13.在数列an中,其前n项和为Sn,a1=1,a2=2,当整数n2时,Sn+1+Sn-1=2(Sn+S1)都成立,则S15=.14.(2021全国)记Sn为数列an的前n项和,bn为数列Sn的前n项积.已知2Sn+1bn=2.(1)证明:数列bn是等差数列;(2)求an的通项公式.15.已知正项等差数列an的前n项和为Sn,且满足a1+a5=27a32,S7=63.(1)求数列an的通项公式;(2)若数列bn满足b1=a1,且bn+1-bn=an+1,求数列1bn的前n项和Tn.高考预测16.在等差数列an中,已知a1+a4+a7=30,a3+a6+
5、a9=24,则其前9项和S9=.17.(2021广东珠海二模)已知等差数列an满足a1=-1,a4=2a2+a3.(1)求数列an的通项公式;(2)若bn=an2cosn2,求数列bn的前40项和S40.答案：1.B解析由a7-2a4=a1+6d-2(a1+3d)=-a1=-1,得a1=1.又由a3=a1+2d=1+2d=0,得d=-12.故选B.2.D解析由a1=2,a2+a3+a4=24,得3a1+6d=6+6d=24,解得d=3,所以a4+a5+a6=3a1+12d=42.3.B解析因为3S3=S2+S4,所以3S3=(S3-a3)+(S3+a4),即S3=a4-a3.设公差为d,则3a
6、1+3d=d,又由a1=2,得d=-3,所以a5=a1+4d=-10.4.C解析设an的前n项和为Sn.在等差数列an中,S4,S8-S4,S12-S8成等差数列,又S4=30,S8=100,30,70,S12-100成等差数列,270=30+S12-100,解得S12=210.5.C解析a1+a3+a5=105a3=35,a2+a4+a6=99a4=33,则an的公差d=33-35=-2,a1=a3-2d=39,Sn=-n2+40n,因此当Sn取得最大值时,n=20.6.C解析设等差数列an的公差为d,则a1+2d=3a1,a1+d=3a1-1,所以a1=1,d=1,所以Sn=n+n(n-1
7、)2=n(n+1)2,所以Snn=n+12,所以Sn+1n+1-Snn=n+1+12-n+12=12,S11=1+12=1,所以Snn是以1为首项,12为公差的等差数列,数列Snn的前10项和T10=10+10(10-1)212=652.7.184解析用a1,a2,a8表示8个儿子按照年龄从大到小得到的绵斤数,由题意,得数列a1,a2,a8是公差为17的等差数列,且这8项的和为996,即8a1+87217=996,解得a1=65.所以a8=65+717=184.8.16解析an为等差数列,设公差为d,a2a5+a8=0,S9=27,(a1+d)(a1+4d)+a1+7d=0,9a1+982d=
8、27,整理得a1+4d=3,即a1=3-4d,把代入解得d=2,a1=-5.S8=8a1+28d=16.9.(1)证明当n2时,由an+2SnSn-1=0,得Sn-Sn-1=-2SnSn-1,所以1Sn-1Sn-1=2.又1S1=1a1=2,故1Sn是首项为2,公差为2的等差数列.(2)解由(1)可得1Sn=2n,Sn=12n.当n2时,an=Sn-Sn-1=12n-12(n-1)=n-1-n2n(n-1)=-12n(n-1).当n=1时,a1=12不适合上式.故an=12,n=1,-12n(n-1),n2.10.解(1)由等差数列的性质可得S5=5a3,则a3=5a3,解得a3=0.设等差数
9、列的公差为d,从而有a2a4=(a3-d)(a3+d)=-d2,S4=a1+a2+a3+a4=(a3-2d)+(a3-d)+a3+(a3+d)=-2d,从而-d2=-2d,由于公差不为0,故d=2,数列an的通项公式为an=a3+(n-3)d=2n-6.(2)由数列的通项公式可得a1=2-6=-4,则Sn=n(-4)+n(n-1)22=n2-5n,故不等式Snan,即n2-5n2n-6,整理可得(n-1)(n-6)0,解得n6,又n为正整数,故n的最小值为7.11.B解析设等差数列an的公差为d,则2a1+3a1+6d=6a1+15d,即a1+9d=0,a10=0,故正确;若a10,d0,得a
10、1=-765d,a12a5,即d0;当n17时,anb2b140b17b18,b15=a15a16a170,故S14S13S1,S14S15,S15S17S18.因为a15=-65d0,a18=95d0,所以a15+a18=-65d+95d=35d0,所以S16S14,所以Sn中S16最大.故答案为16.13.211解析由Sn+1+Sn-1=2(Sn+S1),得(Sn+1-Sn)-(Sn-Sn-1)=2S1=2,即an+1-an=2(n2),则数列an从第二项起构成以2为首项,2为公差的等差数列,所以S15=1+214+141322=211.14.(1)证明当n=1时,b1=S1,易得b1=3
11、2.当n2时,bnbn-1=Sn,代入2Sn+1bn=2消去Sn,得2bn-1bn+1bn=2,化简得bn-bn-1=12.故bn是以32为首项,12为公差的等差数列.(2)解易得a1=S1=b1=32.由(1)可得bn=n+22,由2Sn+1bn=2可得Sn=n+2n+1.当n2时,an=Sn-Sn-1=n+2n+1-n+1n=-1n(n+1),显然a1不满足该式.故an=32,n=1,-1n(n+1),n2.15.解(1)(方法一)设正项等差数列an的首项为a1,公差为d,则a1+a1+4d=27(a1+2d)2,7a1+21d=63,解得a1=3,d=2,故数列an的通项公式为an=2n
12、+1.(方法二)an是等差数列,且a1+a5=27a32,2a3=27a32,又an0,a3=7.S7=7(a1+a7)2=7a4=63,a4=9,公差d=a4-a3=2.an=a3+(n-3)d=2n+1,即数列an的通项公式为an=2n+1.(2)bn+1-bn=an+1,且an=2n+1,bn+1-bn=2n+3.又b1=a1=3,当n2时,bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+(b2-b1)+b1=(2n+1)+(2n-1)+5+3=n(n+2).当n=1时,b1=3满足上式,bn=n(n+2).1bn=1n(n+2)=121n-1n+2.Tn=1b1+1b2+1bn-1+
13、1bn=121-13+12-14+13-15+1n-1-1n+1+1n-1n+2=121+12-1n+1-1n+2=34-121n+1+1n+2.16.81解析在等差数列an中,由a1+a4+a7=3a4=30,得a4=10.由a3+a6+a9=3a6=24,得a6=8.故S9=9(a1+a9)2=9(a4+a6)2=81.17.解(1)设等差数列an的公差为d,a4=a1+3d,2a2+a3=3a1+4d.由a1=-1,a4=2a2+a3,则-1+3d=-3+4d,得d=2,所以an=2n-3.(2)因为bn=an2cosn2,则当n为奇数时,bn=0;当n为偶数时,若n=4k+2,kN,则bn=-an2,若n=4k+4,kN,则bn=an2.所以S40=(a42-a22)+(a82-a62)+(a122-a102)+(a362-a342)+(a402-a382)=2d(a2+a4+a6+a8+a40)=420a2+201922d=3120.