1、考纲要求1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题2.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题考情分析本部分是高考考查的热点之一，涉及问题主要是以平面向量的线性运算、向量共线、向量垂直、平面向量数量积为工具，解决三角函数、平面几何及解析几何等问题2.命题形式多种多样，一般难度不大，属中低档题，偶有稍难题目出现小题热身1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)在四边形 ABCD 中，若ABDC，则四边形为平行四边形。()(2)a，b 是非零向量，若|ab|ab|，则 ab。()(3)在ABC 中，若ABBC0，则ABC 为钝角三角形。()(4)作用于同一点的两个力 F1 和 F2 的
2、夹角为23，且|F1|3，|F2|5，则 F1F2 大小为 19。()解析：(1)正确。在四边形 ABCD 中，由ABDC 可得 ABDC 且ABCD。由平行四边形定义可知 ABCD 为平行四边形。(2)正确。由|ab|ab|得 ab0，从而 ab。(3)错误。由ABBC0 可知在ABC 中B 的补角为钝角可判断B 为锐角，而无法得出ABC 为钝角三角形。(4)正确。由已知可得|F1F2|2|F1|2|F2|22|F1|F2|cos23 9252351219，所以|F1F2|19。2河水的流速为 2 m/s，一艘小船想以垂直于河岸方向 10 m/s 的速度驶向对岸，则小船的静水速度大小为()A
3、10 m/s B2 26 m/sC4 6 m/s D12 m/s解析：如图所示小船在静水中的速度为：102222 26 m/s。答案：B3如图，两条绳提一个物体，每条绳用力 5 N，绳夹角为 60，则物体重量 W 为()A5 NB5 3 NC5 2 ND10 N解析：W2|F1|cos3025 32 5 3 N。答案：B4在ABC 中，|AB|5，|AC|4，ABAC10，则ABC 的面积是()A5 B10C5 3D20解析：由ABAC|AB|AC|cosA54cosA10，得 cosA12，所以 sinA 1cos2A 32，故 SABC12|AB|AC|sinA1254 32 5 3。答案
4、：C5一质点受到平面上的三个力 F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态，已知 F1，F2 成 60角，且 F1，F2 的大小分别为 2 和 4，则 F3 的大小为_。解析：由题意得 F3F1F20，所以|F3|F23 F1F22F1F22 416224cos602 7。答案：2 7知识重温一、必记 5个知识点1向量在平面几何中的应用问题类型所用知识公式表示线平行、点共线等问题共线向量定理ab_，其中 a(x1，y1)，b(x2，y2)垂直问题数量积的运算性质ab_，a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中 a，b 为非零向量夹角问题数量积的定义cos_(为向量 a，b的夹角)长度问
5、题数量积的定义|a|_，其中 a(x，y)ab(b0)x1y2x2y10ab0 x1x2y1y20ab|a|b|a2x2y22.向量在三角函数中的应用以向量为载体利用向量的共线、垂直、数量积等的坐标运算，转化成三角函数问题，以解决三角函数中的图象、性质等问题。3向量在物理中的应用由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成和向量的减法和加法相似，可以用向量的知识来解决。物理学中的功是一个标量，是力 F 与位移 s 的数量积，即 WFs|F|s|cos(为 F 与 s 的夹角)。4在ABC 中，D 是 BC 的中点，则ABAC_。5在ABC 中，若OA OB OC 0，则点 O 是AB
6、C 的_。2AD重心二、必明 2个易误点1向量关系与几何关系并不完全相同，要注意区别。例如：向量ABCD 并不能说明 ABCD。2加强平面向量的应用意识，自觉地用向量的思想和方法去思考问题。考点一 平面向量在平面几何中的应用【典例 1】(1)在四边形 ABCD 中，AC(1,2)，BD(4,2)，则该四边形的面积为()A.5 B2 5C5 D10(2)在平行四边形 ABCD 中，AD1，BAD60，E 为 CD 的中点若ACBE1，则 AB 的长为_。C12解析：(1)因为ACBD 0，所以 AC，BD 是互相垂直的对角线，所以 S12|AC|BD|12 52 55。(2)方法一：因为ACAB
7、AD，BEBAAD DE ABAD 12ABAD 12AB，所以AC BE(ABAD)AD 12ABAD 212AD AB12AB 21121|AB|cos6012|AB|21，所以14|AB|12|AB|20，解得|AB|12。方法二：如图，以 A 为原点，AD 所在直线为 x 轴建立直角坐标系，则 A(0,0)，D(1,0)，设 AB 的长为 a，则 Ba2，32 a，C1a2，32 a，因为 E 是 CD 的中点，所以 E1a4，34 a，所以AC1a2，32 a，BE1a4，34 a，ACBE1a2 1a4 38a21，即 2a2a0，解得 a12或 a0(舍去)。故 AB 的长为12
8、。悟技法向量与平面几何综合问题的解法(1)坐标法把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决。(2)基向量法适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程来进行求解。通一类1在ABC 所在平面上有一点 P，满足PAPBPCAB，则PAB 与ABC 的面积之比是()A.13B.12C.23 D.34解析：由已知可得PC2AP，P 是线段 AC 的三等分点(靠近点 A)，易知 SPAB13SABC，即 SPABSABC13。答案：A考点二 平面向量在三角函数中的应用【典例 2】已知向量 acos3
9、x2，sin3x2，bcosx2，sinx2，且 x0，2。(1)求 ab 及|ab|；(2)若 f(x)ab2|ab|的最小值是32，求 的值。解析：(1)abcos3x2 cosx2sin3x2 sinx2cos2x。|ab|a22abb2 22cos2x2 cos2x2|cosx|。x0，2，cosx0，|ab|2cosx。(2)f(x)cos2x4cosx，即 f(x)2(cosx)2122。x0，2，0cosx1。当 0 时，当且仅当 cosx0 时，f(x)取得最小值1，这与已知矛盾。当 01 时，当且仅当 cosx 时，f(x)取得最小值122，即12232，解得 12。当 1
10、时，当且仅当 cosx1 时，f(x)取得最小值 14，即 1432，解得 58，这与 1 相矛盾。综上所述，12即为所求。悟技法利用向量求解三角函数问题的一般思路(1)求三角函数值，一般利用已知条件将向量关系转化为三角函数关系式。利用同角三角函数关系式及三角函数中常用公式求解。(2)求角时通常由向量转化为三角函数问题，先求值再求角。(3)解决与向量有关的三角函数问题的思想方法是转化与化归的数学思想，即通过向量的相关运算把问题转化为三角函数问题。通一类2已知向量 a(cosx，sinx)，|b|1，且 a 与 b 满足|kab|3|akb|(k0)。(1)试用 k 表示 ab，并求 ab 的最
11、小值；(2)若 0 x，b12，32，求 ab 的最大值及相应的 x 值。解析：(1)|a|1，|b|1，由|kab|3|akb|，得(kab)23(akb)2，整理得 abk214k 14k1k 12，当且仅当 k1 时，ab 取最小值12。(2)由 ab12cosx 32 sinxsinx6。0 x，6x676，12sinx6 1。当 x3时，ab 取最大值为 1。考点三 平面向量在解析几何中的应用【典例 3】(1)已知两点 M(3,0)，N(3,0)，点 P 为坐标平面内一动点，且|MN|MP|MN NP0，则动点 P(x，y)到点 M(3,0)的距离 d的最小值为()A2 B3C4 D
12、6(2)已知椭圆方程为x225y29 1，点 A(1,1)，M 为椭圆上任意一点，动点 N 满足AN2AM，则 N 点的轨迹方程为_。Bx12100 y12361解析：(1)因为 M(3,0)，N(3,0)，所以MN(6,0)，|MN|6，MP(x3，y)，NP(x3，y)。由|MN|MP|MN NP0，得 6 x32y26(x3)0，化简得 y212x，所以点 M 是抛物线 y212x 的焦点，所以点 P 到点 M 的距离的最小值就是原点到 M(3,0)的距离，所以 dmin3，故选 B。(2)设 M(x1，y1)，N(x，y)，则由已知得(x1，y1)2(x11，y11)，即x12x12，
13、y12y12，得x1x12，y1y12。因为 M 点在椭圆上，故 M点坐标满足方程。所以x12100 y12361。悟技法向量在解析几何中的“两个”作用(1)载体作用：向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题的关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题。(2)工具作用：利用 abab0(a，b 为非零向量)，abab(b0)，可解决垂直、平行问题，特别地，向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较优越的方法。通一类3已知两点 M(2,0)、N(2,0)，点 P 为坐标平面内的动
14、点，满足|MN|MP|MN NP0，则动点 P(x，y)的轨迹方程为()Ay28x By28xCy24xDy24x解析：设 P(x，y)，因为 M(2,0)，N(2,0)，所以|MN|4，MP(x2，y)，NP(x2，y)，由|MN|MP|MN NP0，则 4 x22y2(4,0)(x2，y)0，化简整理得 y28x。所以选 B。答案：B高考模拟1.(2016大同模拟)设向量 a(1，cos)与 b(1,2cos)垂直，则cos2 等于()A.22 B.12 C0 D1解析：已知 a(1，cos)，b(1,2cos)，因为 ab，所以 ab0，所以12cos2cos20，故选 C。答案：C2(
15、2016龙岩月考)设 x，yR，i，j 是直角坐标平面内 x，y 轴正方向上的单位向量，若 axi(y3)j，bxi(y3)j 且|a|b|6，则点 M(x，y)的轨迹是()A椭圆B双曲线C线段 D射线解析：由 axi(y3)j，bxi(y3)j 可得a(x，y3)，b(x，y3)。|a|b|6，x2y32 x2y326，即点(x，y)到点(0，3)、(0,3)的距离和为 6，故轨迹为线段。答案：C3(2016大庆模拟)已知向量 a(x,1)，b(x，tx2)，若函数 f(x)ab 在区间1,1上不是单调函数，则实数 t 的取值范围是()A(，22，)B(，2)(2，)C(2,2)D2,2解析
16、：f(x)abx2tx2，对称轴为 xt2，由已知1t21，2t2。答案：C4(2016怀化二模)已知 O 为坐标原点，向量OA(3sin，cos)，OB(2sin，5sin4cos)，32，2，且OA OB，则 tan 的值为()A43B45C.45 D.34解析：由题意知 6sin2cos(5sin4cos)0，即 6sin25sincos4cos20，上述等式两边同时除以 cos2，得 6tan25tan40，由于 32，2，则 tan0，解得 tan43，故选 A。答案：A5(2016江西模拟)已知圆 C：(x2)2y24，圆 M：(x25cos)2(y5sin)21(R)，过圆 M
17、上任意一点 P 作圆 C 的两条切线 PE，PF，切点分别为 E，F，则PEPF的最小值是()A5 B6 C10 D12B解析：圆(x2)2y24 的圆心 C(2,0)，半径等于 2，圆 M(x25cos)2(y5sin)21，圆心 M(25cos，5sin)，半径等于 1，|CM|521，故两圆相离。PEPF|PE|PF|cosPE，PF，如图所示，设直线 CM 和圆 M 交于 H，G 两点，则PEPF最小值是HE HF。|HC|CM|1514，|HE|HC|2|CE|2 1642 3，sinCHE|CE|CH|12，cosEHFcos2CHE12sin2CHE12，HE HF|HE|HF|cosEHF2 32 3126，故选 B。
