1、第3讲等比数列及前n项和考纲展示命题探究1等比数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数q(q0)，那么这个数列叫做等比数列，这个常数q叫做等比数列的公比2等比中项如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项3等比数列的通项公式及其变形通项公式：ana1qn1(a1q0)，其中a1是首项，q是公比通项公式的变形：anamqnm.4等比数列前n项和公式Sn或Sn5等比数列的单调性当q1，a10或0q1，a11，a10或0q0时，an是递减数列；当q1时，an是常数列注意点等差中项与等比中项的区别两个数的等差中项只有一个，两个同号且不
2、为0的数的等比中项有两个.1思维辨析(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的比都是常数，则这个数列是等比数列. ()(2)满足an1qan(nN*，q为常数)的数列an为等比数列()(3)G为a，b的等比中项G2ab.()(4)数列an的通项公式是anan，则其前n项和为Sn.()答案(1)(2)(3)(4)2设an是公比为正数的等比数列，若a11，a516，则数列an前7项的和为()A63 B64C127 D128答案C解析a5a1q4，16q4.又q0，故q2，S7127，选C.3已知在等比数列an中，a1a310，a4a6，则该等比数列的公比q为()A. B.C2 D8答案B解析(
3、a1a3)q3a4a6，q3，即q.考法综述通过等比数列的通项公式，前n项和公式等考查，a1，an，n，q，Sn之间的运算关系通过等比数列的概念考查判断数列为等比数列的方法命题法1等比数列的基本运算典例1(1)在等比数列an中，前n项和为Sn，若S37，S663，则公比q的值是()A2 B2C3 D3(2)在各项均为正数的等比数列an中，若a21，a8a62a4，则a6的值是_解析(1)易得q1，由题意得两式相除得1q39，所以q2.(2)由a8a62a4，两边都除以a4，得q4q22，即q4q220(q22)(q21)0，q22.a21，a6a2q41224.答案(1)A(2)4【解题法】等
4、比数列的基本运算方法 (1)等比数列可以由首项a1和公比q确定，所有关于等比数列的计算和证明，都可围绕a1和q进行 (2)对于等比数列问题一般要给出两个条件，可以通过列方程(组)求出a1，q.如果再给出第三个条件就可以完成an，a1，q，n，Sn的“知三求二”问题 (3)对称设元法：一般地，连续奇数个项成等比数列，可设为，x，xq，；连续偶数个项成等比数列，可设为，xq, xq3，(注意：此时公比q20，并不适合所有情况)，这样既可减少未知量的个数，也使得解方程较为方便命题法2等比数列的判定与证明典例2已知数列an的前n项和为Sn，且anSnn.(1)设cnan1，求证：cn是等比数列；(2)
5、求数列an的通项公式解(1)证明：anSnn，an1Sn1n1.得an1anan11，2an1an1，2(an11)an1，.首项c1a11，又a1a11，a1，c1.又cnan1，故cn是以为首项，为公比的等比数列(2)由(1)知cnn1n，an1n.【解题法】等比数列的判定方法(1)定义法：若q(q为非零常数，nN*)或q(q为非零常数且n2，nN*)，则an是等比数列(2)等比中项公式法：若数列an中，an0且aanan2(nN*)，则数列an是等比数列(3)通项公式法：若数列通项公式可写成ancqn1(c，q均是不为0的常数，nN*)，则an是等比数列(4)前n项和公式法：若数列an的
6、前n项和Snkqnk(k为常数且k0，q0,1)，则an是等比数列注意：前两种方法常用于解答题中，而后两种方法常用于选择、填空题中的判定1.已知等比数列an满足a13，a1a3a521，则a3a5a7()A21 B42C63 D84答案B解析解法一：由于a1(1q2q4)21，a13，所以q4q260，所以q22(q23舍去)，所以a36，a512，a724，所以a3a5a742.故选B.解法二：同解法一求出q22，由a3a5a7q2(a1a3a5)42，故选B.2对任意等比数列an，下列说法一定正确的是()Aa1，a3，a9成等比数列 Ba2，a3，a6成等比数列Ca2，a4，a8成等比数列
7、 Da3，a6，a9成等比数列答案D解析根据等比数列性质，若mn2k(m，n，kN*)，则am，ak，an成等比数列，故选D.3等差数列an的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则an的前n项和Sn()An(n1) Bn(n1)C. D.答案A解析a2，a4，a8成等比数列，aa2a8，即(a13d)2(a1d)(a17d)，将d2代入上式，解得a12，Sn2nn(n1)，故选A.4设Sn为等比数列an的前n项和，若a11，公比q2，Sk2Sk48，则k等于()A7 B6C5 D4答案D解析Sk2k1，Sk22k21，由Sk2Sk48得2k22k48,2k16，k4.故选D.5数列an是等
8、差数列，若a11，a33，a55构成公比为q的等比数列，则q_.答案1解析设数列an的公差为d，则a1a32d，a5a32d，由题意得，(a11)(a55)(a33)2，即(a32d1)(a32d5)(a33)2，整理，得(d1)20，d1，则a11a33，故q1.6等比数列an的前n项和为Sn，公比不为1.若a11，且对任意的nN*都有an2an12an0，则S5_.答案11解析设数列an的公比为q，由an2an12an0，得anq2anq2an0，显然an0，所以q2q20，又q1，所以q2，所以S511.7设数列an的前n项和为Sn.已知2Sn3n3.(1)求an的通项公式；(2)若数列
9、bn满足anbnlog3an，求bn的前n项和Tn.解(1)因为2Sn3n3，所以2a133，故a13，当n1时，2Sn13n13，此时2an2Sn2Sn13n3n123n1，即an3n1，所以an(2)因为anbnlog3an，所以b1.当n1时，bn31nlog33n1(n1)31n.所以T1b1；当n1时，Tnb1b2b3bn131232(n1)31n，所以3Tn1130231(n1)32n，两式相减，得2Tn(30313232n)(n1)31n(n1)31n，所以Tn.经检验，n1时也适合综上可得Tn.8已知数列an满足a11，an13an1.(1)证明是等比数列，并求an的通项公式；
10、(2)证明.证明(1)由an13an1得an13.又a1，所以是首项为，公比为3的等比数列an，因此an的通项公式为an.(2)由(1)知.因为当n1时，3n123n1，所以.于是1.所以0.由aa3a7得a4a3a74a4aq2，q2，q，又a12a2a12a1q3，即2a13，a1，ana1qn1n1.答案(1)A(2)【解题法】等比数列性质的应用问题(1)等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前n项和公式的变形，根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口(2)巧用性质，减少运算量，在解题中非常重要1.等比数列an中，a42，a55
11、，则数列lg an的前8项和等于()A6 B5C4 D3答案C解析a42，a55，a4a5a1a8a2a7a3a610，lg a1lg a2lg a8lg (a1a2a8)lg (a1a8)4lg (a4a5)44lg (a4a5)4lg 104，选C.2设等比数列an的前n项和为Sn，若3，则()A2 B.C. D3答案B解析由等比数列的性质得：S3，S6S3，S9S6仍成等比数列，于是，由已知得S63S3，即S9S64S3，S97S3，故选B.3.已知等比数列an的前n项积记为n，若a3a4a88，则9()A512 B256C81 D16答案A解析由题意可知，a3a4a7qa3a7a4qa
12、3a7a5a8，9a1a2a3a9(a1a9)(a2a8)(a3a7)(a4a6)a5a，所以983512.故选A.4已知数列an是递增的等比数列，a1a49，a2a38，则数列an的前n项和等于_答案2n1解析，则a1，a4可以看作一元二次方程x29x80的两根，故或，数列an是递增的等比数列，可得公比q2，前n项和Sn2n1.5设an是首项为a1，公差为1的等差数列，Sn为其前n项和若S1，S2，S4成等比数列，则a1的值为_答案解析S1a1，S22a11，S44a16.故(2a11)2a1(4a16)，解得a1.6成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2,5,13后成为等
13、比数列bn中的b3，b4，b5.(1)求数列bn的通项公式；(2)求数列bn的前n项和Sn.解(1)设成等差数列的三个正数分别为ad，a，ad，则(ad)a(ad)15，解得a5，b37d，b410，b518d.b3，b4，b5成等比数列，b3b5b，即(7d)(18d)102，化简，得d211d260，解得d2或d13(舍去)，b35，b410，b520，数列bn的公比q2，数列bn的通项公式为bnb3qn352n3.(2)由b35，q2，得b1，数列bn是首项为b1，公比为q2的等比数列，数列bn的前n项和Sn52n2.设四个实数成等比数列，其积为16，中间两项的和为5，则公比为_错解错因
14、分析根据思维习惯，将等比数列中的连续四项设为，aq，aq3，实际上，这样设的前提是这四个数同号，如果不满足同号这个条件，只能设成a，aq，aq2，aq3.本题由于思维定式，因而出现漏解正解设连续四项为a，aq，aq2，aq3，则由题意可知解之得q4或q或q.答案4或或心得体会时间：60分钟基础组1.2016枣强中学月考在数列an中，an0，“an2an1，n2,3,4，”是“an是公比为2的等比数列”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分与不必要条件答案C解析2，n2,3,4，公比q2，反之亦成立，故选C.22016衡水二中猜题等比数列an中，a13，a424，则a3a
15、4a5()A33 B72C84 D189答案C解析由题意可得q38，q2.a3a4a5a1q2(1qq2)84.32016冀州中学预测设等比数列an的前n项和为Sn，若Sm15，Sm11，Sm121，则m()A3 B4C5 D6答案C解析由已知得，SmSm1am16，Sm1Smam132，故公比q2，又Sm11，故a11，又ama1qm116，故(1)(2)m116，求得m5.4.2016冀州中学热身等比数列an的各项均为正数，且a5a6a4a718，则log3a1log3a2log3a10()A12 B10C8 D2log35答案B解析由题意可知a5a6a4a7，又a5a6a4a718得a5
16、a6a4a79，而log3a1log3a2log3a10log3(a1a2a10)log3(a5a6)5log3 95log331010.52016冀州中学周测已知等比数列an满足an0，n1,2，且a5a2n522n(n3)，则log2a1log2a3log2a2n1等于()An(2n1) B(n1)2Cn2 D(n1)2答案C解析由等比数列的“等积性”可知，a5a2n5a1a2n122n.log2a1log2a3log2a2n1log2(a1a3a2n1)又a1a3a2n1(a1a2n1) (22n) 2n2，log2a1log2a3log2a2n1n2.62016枣强中学周测各项均为正数
17、的等比数列an的前n项和为Sn，若Sn2，S3n14，则S4n等于()A80 B30C26 D16答案B解析Sn，S2nSn，S3nS2n，S4nS3n，仍为等比数列设S2nx，则2，x2,14x成等比数列即(x2)22(14x)，解得x6或x4(舍去)S2n6.Sn，S2nSn，S3nS2n，S4nS3n，是首项为2，公比为2的等比数列又S3n14，S4n1422330，故选B.72016衡水二中仿真已知公差不为0的等差数列an满足a1，a3，a9成等比数列，Sn为数列an的前n项和，则_.答案3解析设公差为d，则(a12d)2a1(a18d)，a1dd2，又d0，a1d，则3.82016衡
18、水二中猜题若数列an满足：a11，an1an(nN*)，其前n项和为Sn，则_.答案15解析由a11，an1an知an是首项为1，公比为的等比数列，所以S4，又a4a1q3，故15.92016枣强中学月考若等比数列an满足am34且amam4a(mN*且m4)，则a1a5的值为_答案16解析设数列an的公比为q，由amam4a，得m(m4)24，解得m6，am34，即a34，a1a5a16.102016武邑中学模拟已知公比为2的等比数列an中，a2a5a8a11a14a17a2013，则该数列前21项的和S21_.答案解析设等比数列的首项为a1，公比q2, 前n项和为Sn.由题知a2，a5，a
19、8，a11，a14，a17，a20仍为等比数列，其首项为a2，公比为q3，故其前7项的和为T7S2113，解得S21.112016衡水中学周测已知正项等比数列an中，2a1a2a3,3a68a1a3.(1)求数列an的通项公式；(2)设bnlog2a1log2a2log2annlog23，求数列的前n项和Tn.解(1)设数列an的公比为q，由题意得a10，q0，且，解得，所以an32n1(nN*)(2)因为log2anlog23n1，且log2a1log23，所以log2an是以log23为首项，1为公差的等差数列bnnnlog23.于是Tn2222.122016冀州中学月考已知ab，且满足a
20、2a60，b2b60，数列an，bn满足a11，a26a，an16an9an1(n2，nN*)，bnan1ban(nN*)(1)求证：数列bn是等比数列；(2)求数列an的通项公式an.解(1)证明：a0，a2a4aq41，S3a1a1qa1q27，解得q或(舍去)，a14，所以S5.142016枣强中学猜题数列an的首项为a11，数列bn为等比数列且bn，若b10b112015，则a21_.答案2015解析由bn，且a11，得b1a2；b2，a3a2b2b1b2；b3，a4a3b3b1b2b3；bn1，anb1b2bn1，a21b1b2b20.数列bn为等比数列，a21(b1b20)(b2b
21、19)(b10b11)(b10b11)10(2015)102015.152016武邑中学期中已知公差不为0的等差数列an的前n项和为Sn，S3a46，且a1，a4，a13成等比数列(1)求数列an的通项公式；(2)设bn2an1，求数列bn的前n项和解(1)设等差数列an的公差为d(d0)因为S3a46，所以3a1a13d6.所以a13.因为a1，a4，a13成等比数列，所以a1(a112d)(a13d)2，即3(312d)(33d)2.解得d2.所以an2n1.(2)由题意bn22n11，设数列bn的前n项和为Tn，cn22n1，4(nN*)，所以数列cn为以8为首项，4为公比的等比数列所以
22、Tnnn.16.2016衡水中学预测已知数列an满足a11，an122an.(1)设bn，求证：数列bn是等比数列；(2)求数列an的通项公式；(3)设cnan12an，求数列cn的前n项和Sn.解(1)证明：an12an，2，bn12bn，数列bn是公比为2的等比数列(2)由(1)知bn是公比为2的等比数列，又b1a11，bnb12n12n1，2n1，ann22n1.(3)cn(n1)22n2n22n1(2n1)2n，Sn32522723(2n1)2n.2Sn322523(2n1)2n(2n1)2n1.得，Sn3222222322n(2n1)2n12(2n1)2n12(2n1)2n1，Sn(2n1)2n12.