1、单元质检十一计数原理(时间:45分钟满分:100分)一、选择题(本大题共12小题,每小题6分,共72分)1.从6个盒子中选出3个来装东西,且甲、乙两个盒子至少有一个被选中的情况有()A.16种B.18种C.22种D.37种答案:A解析:从6个盒子中选出3个来装东西,有C63=20(种)方法,甲、乙都未被选中的情况有C43=4(种)方法,故甲、乙两个盒子至少有一个被选中的情况有20-4=16(种),故选A.2.若x2-1xn展开式的二项式系数之和为128,则展开式中x2的系数为()A.-21B.-35C.35D.21答案:C解析:由已知得2n=128,n=7,所以Tr+1=C7rx2(7-r)-
2、1xr=C7r(-1)rx14-3r,令14-3r=2,得r=4,所以展开式中x2的系数为C74(-1)4=35,故选C.3.旅游体验师小明受某网站邀请,决定对甲、乙、丙、丁这四个景区进行体验式旅游,若不能最先去甲景区旅游,不能最后去乙景区和丁景区旅游,则小明可选的旅游路线数为()A.24B.18C.16D.10答案:D解析:分两种情况,第一种:最后体验甲景区,则有A33种可选的路线;第二种:不在最后体验甲景区,则有C21A22种可选的路线.所以小明可选的旅游路线数为A33+C21A22=10.4.x2-1x6的展开式中常数项等于()A.15B.10C.-15D.-10答案:A解析:x2-1x
3、6的展开式的通项公式为Tr+1=C6r(-1)rx12-3r.令12-3r=0,解得r=4,故常数项为C64=15.5.甲、乙、丙3名同学在课余时间负责一个计算机机房的周一至周六的值班工作,每天1人值班,每人值班2天,若甲同学不值周一的班,则可以排出的不同值班表有()A.90种B.89种C.60种D.59种答案:C解析:特殊元素优先考虑,甲同学不值周一的班,则先考虑甲,分步完成:从除周一外的5天中任取2天安排甲,有C52种;从剩下的4天中选2天安排乙,有C42种;仅剩2天安排丙,有C22种.由分步乘法计数原理,可得一共有C52C42C22=60(种).6.5名大学生分配到三个村庄任职,每个村庄
4、至少有一名大学生,其中甲村庄恰有一名大学生的分法种数为()A.14B.35C.70D.100答案:C解析:由题意可知分两步:第一步,甲村庄恰有一名大学生有5种分法;第二步,另外四名大学生分为两组,共有C41C33+C42A22=7(种),再分配到两个村庄,有7A22=14(种)不同的分法,故每个村庄至少有一名大学生,其中甲村庄恰有一名大学生的分法种数为514=70.7.(2020广西贵港四模)已知二项式(1+x)n展开式中系数最大的只有第5项,则x2项的系数为()A.28B.36C.56D.84答案:A解析:因为二项式(1+x)n展开式中系数最大的只有第5项,所以二项式(1+x)n展开式中共有
5、9项,所以n=8.通项公式T2+1=C82x2=28x2,即x2项的系数为28.故选A.8.若(x-1)8=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+a8(1+x)8,则a6等于()A.112B.28C.-28D.-112答案:A解析:(x-1)8=(x+1)-28=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+a8(1+x)8,a6=C82(-2)2=4C82=112.9.将数字“124467”重新排列后得到不同的偶数个数为()A.72B.120C.192D.240答案:D解析:由题意,末尾是2或6,不同的偶数个数为C21A53=120;末尾是4,不同的偶数个数为A55=120,故共有120+120
6、=240(个),故选D.10.已知a=20cosx+6dx,则二项式x2+ax5的展开式中x的系数为()A.10B.-10C.80D.-80答案:D解析:a=20cosx+6dx=2sinx+6|0=-2,则x2+ax5=x2-2x5,故Tr+1=C5rx2(5-r)-2xr=(-2)rC5rx10-3r.令10-3r=1,得r=3.故展开式中x的系数为(-2)3C53=-80.11.某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序,则同类节目不相邻的排法种数是()A.72B.120C.144D.168答案:B解析:由题意可知分两步:第一步,先将3个歌舞类节目全排列,有
7、A33=6(种)情况,排好后,有4个空位;第二步,因为3个歌舞类节目不能相邻,则中间2个空位必须安排2个节目.分2种情况讨论:将中间2个空位安排1个小品类节目和1个相声类节目,有C21A22=4种情况,排好后,最后1个小品类节目放在两端,有2种情况,此时同类节目不相邻的排法种数是642=48(种).将中间2个空位安排2个小品类节目,有A22=2(种)情况,排好后,有6个空位,相声类节目有6个空位可选,即有6种情况,此时同类节目不相邻的排法种数是626=72.故同类节目不相邻的排法种数是48+72=120,故选B.12.用6种不同的颜色对正四棱锥的8条棱染色,每个顶点出发的棱的颜色各不相同,则不
8、同的染色方案共有()种.A.14 400B.28 800C.38 880D.43 200答案:C解析:从点P出发的4条侧棱一定要用4种不同的颜色,有A64=360(种)不同的方案,接下来底面的染色根据是否使用剩下的2种颜色分类计数:不使用新的颜色,有2种染色分类方案.使用1种新的颜色,分为2类:第一类,染一条边,有244=32(种)方案;第二类,染两条对边,有224=16(种)方案.使用2种新的颜色,分为4类:第一类,染两条邻边,有423=24(种)方案;第二类,染两条对边,有224=16(种)方案;第三类,染三条边,有422=16(种)方案;第四类,染四条边,有2种方案.因此不同的染色方案种
9、数为3602+(32+16)+(24+16+16+2)=38880,故选C.二、填空题(本大题共4小题,每小题7分,共28分)13.x-2+1x4展开式中的常数项为.答案:70解析:二项式x-2+1x4可化为x2-2x+1x4=(x-1)8x4,可知常数项为分子中含x4的项,为C84x4,故常数项为C84=70.14.从1,3,5,7,9中任取2个数字,从0,2,4,6中任取2个数字,一共可以组成个没有重复数字的四位数.(用数字作答)答案:1 260解析:若不取0,则有C52C32A44个;若取0,则有C52C31A31A33个,因此一共有C52C32A44+C52C31A31A33=1260
10、(个)没有重复数字的四位数.15.已知x3+2xn的展开式的各项系数和为243,则展开式中x7的系数为.答案:40解析:由题意,得二项式x3+2xn的展开式中各项系数和为243,令x=1,则3n=243,解得n=5,所以二项式x3+2x5的展开式的通项为Tr+1=C5r(x3)5-r2xr=2rC5rx15-4r,令r=2,则T3=22C52x15-42=40x7,即x7的系数为40.16.已知甲、乙、丙、丁4人同时到5个不同的地区参加扶贫活动,若每个地区最多有2人参加(2人到同一个地区,不区分2人在其中的角色),则甲、乙、丙、丁4人参加扶贫活动的不同安排方式总数是.答案:540解析:分情况讨论:第一类,4个人去4个地方,有A54=120(种)安排方式;第二类,4个人去2个地区,有12C42A52=60(种)安排方式;第三类,4个人去3个地区,有C42A53=360(种)安排方式.因此,符合题意的安排方式共有120+60+360=540(种).