1、考点规范练24解三角形基础巩固1.(2021全国)在ABC中,已知B=120,AC=19,AB=2,则BC=()A.1B.2C.5D.32.在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=2,c=23,A=30,则角C为()A.60B.60或120C.45D.45或1353.在ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,a=1,ccos A+acos C=2bcos B,ABC的面积S=3,则b等于()A.13B.4C.3D.154.在三角形ABC中,若sin Csin(A-B)=sin2(A+B),则此三角形是()A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形5.已知
2、ABC中,BC边上的中线AD=3,BC=4,BAC=60,则ABC的周长为()A.46+4B.43+4C.52+4D.213+46.(2021河南名校联盟4月联考)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若b2+c2=a2+bc,且cos Bcos C+cos A=sin2A,则ABC的形状是.7.在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若sin2A-sin2B=sin2C-sin Bsin C,a=3,则ABC的外接圆面积为.8.已知ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足(sinA-sinC)(a+c)b=sin A-sin B,则C=.9.(2021浙
3、江杭州二模)设a,b,c分别为ABC的内角A,B,C的对边,a+cb=sinA-sinBsinA-sinC.若a=1,c=7,则C=,ABC的面积=.10.某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度:在C处(点C在水平地面下方,O为CH与水平地面ABO的交点)进行该仪器的垂直弹射,水平地面上两个观察点A,B两地相距100米,BAC=60,其中A到C的距离比B到C的距离远40米,A地测得该仪器在C处的俯角为OAC=15,A地测得最高点H的仰角为HAO=30,则该仪器的垂直弹射高度CH为米.11.在ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,b=2acos C.(1
4、)判断ABC的形状;(2)若b=2,ABC的面积为22,BC的中点为D,求AD的长.能力提升12.(2021全国)魏晋时期刘徽撰写的海岛算经是关于测量的数学著作,其中第一题是测量海岛的高.如图,点E,H,G在水平线AC上,DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度,称为“表高”,EG称为“表距”,GC和EH都称为“表目距”,GC与EH的差称为“表目距的差”,则海岛的高AB=()A.表高表距表目距的差+表高B.表高表距表目距的差-表高C.表高表距表目距的差+表距D.表高表距表目距的差-表距13.ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bsin C+csin B=4asin Bs
5、in C,b2+c2-a2=8,则ABC的面积为.14.(2021浙江高考)在ABC中,B=60,AB=2,M是BC的中点,AM=23,则AC=,cosMAC=.15.在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且3b2+3c2-42bc=3a2.(1)求sin A;(2)若3csin A=2asin B,ABC的面积为2,求ABC的周长.高考预测16.(2021广西柳州一模)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且(2b-c)(b2-a2+c2)=2abccos C.(1)求角A的大小.(2)若ABC=3,D为ABC外一点,BD=2,CD=1,四边形ABDC的面积是534+2
6、,求角D的大小.答案：1.D解析设BC=x,由余弦定理得19=4+x2-22xcos120,解得x=3或x=-5(舍去).故选D.2.B解析由正弦定理得asinA=csinC,又a=2,c=23,A=30,即212=23sinC,得sinC=32,ca,CA,得C=60或C=120.3.A解析由题意可得,2sinBcosB=sinCcosA+sinAcosC=sin(A+C)=sinB,又B(0,),cosB=12,B=3.S=12acsinB=121c32=3,c=4.又b2=a2+c2-2accosB=1+16-21412=13,b=13.4.A解析在ABC中,sin(A+B)=sinC,
7、sinCsin(A-B)=sin2C,又sinC0,故sin(A-B)=sinC=sin(A+B),得sinAcosB-cosAsinB=sinAcosB+cosAsinB,即2cosAsinB=0,cosA=0或sinB=0(不合题意,舍去),A=90,则此三角形形状为直角三角形.5.A解析在ABD和ACD中,根据余弦定理可得AB2=AD2+BD2-2ADBDcosADB=13-12cosADB,AC2=AD2+CD2-2ADCDcosADC=13-12cosADC,AB2+AC2=26,又BC2=AB2+AC2-2ABACcosBAC=26-ABAC=16,ABAC=10,(AB+AC)2
8、=AB2+AC2+2ABAC=26+20=46,故ABC的周长为AB+AC+BC=46+4.6.等边三角形解析cosA=b2+c2-a22bc=bc2bc=12,由于0A,故A=3.由于cosBcosC+cosA=sin2A,cosBcosC+cos-(B+C)=cosBcosC-cos(B+C)=cosBcosC-cosBcosC+sinBsinC=sin2A.sinBsinC=sin2A,利用正弦定理得bc=a2,b2+c2-2bc=0,b=c,故ABC为等边三角形.7.解析由于sin2A-sin2B=sin2C-sinBsinC,利用正弦定理得,a2-b2=c2-bc,整理得cosA=b
9、2+c2-a22bc=12,由于A(0,),所以A=3,设ABC外接圆半径为R,则2R=asinA=332=2,故R=1.所以所求面积为12=.8.3解析在ABC中,(sinA-sinC)(a+c)b=sinA-sinB,(a-c)(a+c)b=a-b.a2+b2-c2=ab,cosC=a2+b2-c22ab=12.C=3.9.3334解析因为a+cb=sinA-sinBsinA-sinC=a-ba-c,整理得a2+b2-c2=ab,由余弦定理得cosC=a2+b2-c22ab=12,因为C为三角形内角,所以C=3.由a2+b2-c2=ab且a=1,c=7得b2-b-6=0,解得b=3或b=-
10、2(舍去),所以ABC的面积S=12absinC=121332=334.10.1406解析由题意,设AC=x米,则BC=(x-40)米,在ABC中,由余弦定理得BC2=BA2+CA2-2BACAcosBAC,即(x-40)2=x2+10000-100x,解得x=420.在ACH中,AC=420米,CAH=30+15=45,CHA=90-30=60,由正弦定理得CHsinCAH=ACsinAHC,可得CH=ACsinCAHsinAHC=1406(米).11.解(1)b=2acosC由正弦定理可化为sinB=2sinAcosC.又B=-(A+C),所以sin(A+C)=2sinAcosC,可得si
11、nAcosC+cosAsinC=2sinAcosC,可得sinAcosC-cosAsinC=0,可得sin(A-C)=0.因为0A,0C,所以-A-C0,所以cosA0,0A2,因为asinA=2R,所以sinA=12,A=30,所以cosA=b2+c2-a22bc=32,所以bc=833,所以SABC=12bcsinA=233.14.21323913解析由题意作出图形,如图.在ABM中,由余弦定理得AM2=AB2+BM2-2BMBAcosB,即12=4+BM2-2BM212,解得BM=4(负值舍去),所以BC=2BM=2CM=8.在ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2ABBCco
12、sB=4+64-22812=52,所以AC=213.在AMC中,由余弦定理得cosMAC=AC2+AM2-MC22AMAC=52+12-16223213=23913.15.解(1)因为3b2+3c2-42bc=3a2,所以b2+c2-a2=423bc,所以cosA=b2+c2-a22bc=223,又A(0,),所以sinA=1-cos2A=1-89=13.(2)因为3csinA=2asinB,所以3ac=2ab,即b=322c.因为ABC的面积为2,所以12bcsinA=2,即12322c213=2,解得c=2.所以b=32,a=18+4-2322223=6.故ABC的周长为2+32+6.16
13、.解(1)(2b-c)(b2-a2+c2)=2abccosC,(2b-c)(b2+c2-a2)2bc=acosC,(2b-c)cosA=acosC,2sinBcosA-sinCcosA=sinAcosC.又A+B+C=,2sinBcosA=sinCcosA+cosCsinA=sin(C+A)=sinB,sinB0,cosA=12,又A(0,),A=3.(2)如题图,在BCD中,BD=2,CD=1,由余弦定理得BC2=12+22-212cosD=5-4cosD.A=ABC=3,C=3,ABC为等边三角形,SABC=12BC2sin3=534-3cosD.SBDC=12BDDCsinD=sinD,S四边形ABDC=534+sinD-3cosD=534+2sinD-3=534+2,sinD-3=1,又D(0,),D=56.