1、抛物线的简单几何性质A级基础巩固1顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P(4，2)的抛物线的标准方程为()Ay2xBx28yCy28x或x2y Dy2x或x28y解析：选D若焦点在x轴上，设抛物线方程为y2ax，将点P(4，2)的坐标代入，得a1，所以抛物线的标准方程为y2x.若焦点在y轴上，设方程为x2by，将点P(4，2)的坐标代入，得b8，所以抛物线的标准方程为x28y.故所求抛物线的标准方程是y2x或x28y.2已知直线ykxk及抛物线y22px(p0)，则()A直线与抛物线有一个公共点B直线与抛物线有两个公共点C直线与抛物线有一个或两个公共点D直线与抛物线可能没有公共点解析：选C直线y
2、kxkk(x1)，直线过定点(1，0)当k0时，直线与抛物线有一个公共点；当k0时，直线与抛物线有两个公共点3过点(1，0)作斜率为2的直线，与抛物线y28x交于A，B两点，则弦AB的长为()A2 B2C2 D2解析：选B设A(x1，y1)，B(x2，y2)由题意知AB的方程为y2(x1)，即y2x2.由得x24x10，x1x24，x1x21.|AB|2.4抛物线y24x与直线2xy40交于两点A与B，F是抛物线的焦点，则|FA|FB|等于()A2 B3C5 D7解析：选D设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|FA|FB|x1x22.由得x25x40，x1x25，x1x227.5已知直线l
3、过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|12，P为C的准线上的一点，则ABP的面积为()A18 B24C36 D48解析：选C不妨设抛物线方程为y22px(p0)，依题意，lx轴，且焦点F，当x时，|y|p，|AB|2p12，p6，又点P到直线AB的距离为p6，故SABP|AB|p12636.6抛物线y2x上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为_解析：设抛物线上点的坐标为(x，)，此点到准线的距离为x，到顶点的距离为，由题意有x，x，y，此点坐标为.答案：7已知F是抛物线C：y28x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M是FN的中点，则|FN|_解析：如
4、图，过点M作MMy轴，垂足为M，易知|OF|2，M为FN的中点，|MM|1，M到准线距离d|MM|3，|MF|3，|FN|6.答案：68已知点A到点F(1，0)的距离和到直线x1的距离相等，点A的轨迹与过点P(1，0)且斜率为k的直线没有交点，则k的取值范围是_解析：依题意得点A所在的曲线方程为y24x.过点P(1，0)且斜率为k的直线方程为yk(x1)，由得ky24y4k0，当k0时，显然不符合题意；当k0时，依题意得(4)24k4k0，化简得k210，解得k1或k1，因此k的取值范围为(，1)(1，)答案：(，1)(1，)9若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与y轴的交点，A
5、为抛物线上一点，且|AM|，|AF|3，求此抛物线的标准方程解：设所求抛物线的标准方程为x22py(p0)，设A(x0，y0)，由题意知M，|AF|3，y03，|AM|，x17，x8，代入方程x2py0得，82p，解得p2或p4.所求抛物线的标准方程为x24y或x28y.10抛物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135的直线被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线的标准方程解：如图，依题意可设抛物线的标准方程为y22px(p0)，则直线方程为yxp.设直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)，过A，B分别作准线的垂线，垂足分别为C，D，则由抛物线定义，得|AB|AF|FB|
6、AC|BD|x1x2，即x1x2p8.又A(x1，y1)，B(x2，y2)是直线和抛物线的交点，由消去y，得x23px0.所以x1x23p，将代入，得p2.所以抛物线的标准方程为y24x.当抛物线方程设为y22px(p0)时，同理可求得抛物线标准方程为y24x.故抛物线的标准方程为y24x或y24x.B级综合运用11(多选)已知抛物线C：y24x的焦点为F，准线为l，过点F的直线与抛物线交于点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，点P在l上的射影为P1，则()A若x1x26，则|PQ|8B以PQ为直径的圆与准线l相切C设M(0，1)，则|PM|PP1| D过点M(0，1)与抛物线C有且仅有一个公
7、共点的直线至多有2条解析：选ABC对于A，因为p2，所以x1x22|PQ|，则|PQ|8，故A正确对于B，设N为PQ的中点，点N在l上的射影为N1，点Q在l上的射影为Q1，则由梯形性质可得|NN1|，故B正确对于C，因为F(1，0)，所以|PM|PP1|PM|PF|MF|，故C正确对于D，显然直线x0，y1与抛物线只有一个公共点设过M的直线为ykx1(k0)，由可得k2x2(2k4)x10.令(2k4)24k20，解得k1，所以直线yx1与抛物线也只有一个公共点，所以有三条直线符合题意，故D错误，故选A、B、C.12已知A，B是抛物线y22px(p0)上两点，O为坐标原点若|OA|OB|，且A
8、OB的垂心恰是此抛物线的焦点，则直线AB的方程为_解析：由抛物线的性质知A，B关于x轴对称设A(x，y)，则B(x，y)，焦点为F.由题意知AFOB，则有1.所以y2x，2pxx.因为x0.所以x.所以直线AB的方程为x.答案：x13已知抛物线C：y28x与点M(2，2)，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若0，则k_解析：由题意可知，抛物线的焦点为(2，0)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为yk(x2)由得k2x2(4k28)x4k20，则x1x2，x1x24.y1y2k(x12)k(x22)k(x1x24)，y1y216.(x12，y12)(x22，y22)
9、(x12)(x22)y1y22(y1y2)4x1x22(x1x2)41640，解得k2.答案：214已知直线l经过抛物线y26x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点(1)若直线l的倾斜角为60，求|AB|的值；(2)若|AB|9，求线段AB的中点M到准线的距离解：(1)因为直线l的倾斜角为60，所以其斜率ktan 60，又F，所以直线l的方程为y.联立消去y整理得4x220x90，解得x1，x2，故|AB|248.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义，知|AB|AF|BF|x1x2x1x2px1x239，所以x1x26，于是线段AB的中点M的横坐标是3，又准线方程是x，所以
10、M到准线的距离等于3.C级拓展探究15如图，AB为过抛物线y22px(p0)焦点F的弦，点A，B在抛物线准线上的射影为点A1，B1，且A(x1，y1)，B(x2，y2)(1)求证：|AF|x1，|BF|x2，|AB|x1x2p；(2)求证：x1x2，y1y2p2；(3)求证：以AB为直径的圆与抛物线的准线相切；(4)求证：；(5)若直线AB的倾斜角为，求证：|AB|.证明：(1)由抛物线的定义知|AF|AA1|x1，|BF|BB1|x2，|AB|AF|BF|AA1|BB1|x1x2p.(2)当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为yk，根据图形知k0.联立抛物线方程和直线方程，消去x得y2y
11、p20，y1y2p2，x1x2.当直线AB的斜率不存在时，x1x2， x1x2，yy4p2x1x2p4，y1y2，y1y2p2.综上，y1y2p2，x1x2.(3)设线段AB的中点为D，点D到准线的距离为d，则d，以AB为直径的圆与准线相切(4)当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为yk，k0.联立抛物线方程和直线方程，消去x得y2yp20.y1y2，y1y2p2.x1x2pp，x1x2，.当直线AB的斜率不存在时，x1x2，|AF|BF|p.(5)设线段AB的中点为D，点D到准线的距离为d，则d，以线段AB为直径的圆与准线相切当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为yk，k0.由得ky22pykp20.y1y2，y1y2p2.|AB|y1y2|.易验证，当直线AB的斜率不存在时结论也成立