1、【名师面对面】2014届数学一轮知识点讲座：考点25 不等式的性质及解法加（*）号的知识点为了解内容，供学有余力的学生学习使用一.考纲目标不等式的性质；一元二次不等式的解法二.知识梳理1.实数的大小顺序与运算性质之间的关系： 2.不等式的性质：（1） ， （反对称性）（2） ， （传递性）（3），故 （移项法则）推论： （同向不等式相加）（4），推论1：推论2：;推论3：3.解不等式问题的分类(1)解一元一次不等式(2)解一元二次不等式(3)可以化为一元一次或一元二次不等式的不等式解一元高次不等式；解分式不等式；解无理不等式；解指数不等式；解对数不等式；解带绝对值的不等式；解不等式组4.解不等
2、式时应特别注意下列几点：(1)正确应用不等式的基本性质(2)正确应用幂函数、指数函数和对数函数的增、减性(3)注意代数式中未知数的取值范围5.不等式的同解性(5)|f(x)|g(x)与g(x)f(x)g(x)同解(g(x)0)(6)|f(x)|g(x) 与f(x)g(x)或f(x)g(x)(其中g(x)0)；g(x)0同解(9)当a1时，af(x)ag(x)与f(x)g(x)同解，当0a1时，af(x)ag(x)与f(x)g(x)同解6.零点分段法：高次不等式与分式不等式的简洁解法步骤：形式：首项系数符号0标准式，若系数含参数时，须判断或讨论系数的符号，化负为正判断或比较根的大小7.绝对值不等
3、式 与型不等式与型不等式的解法与解集：不等式的解集是;不等式的解集是不等式的解集为 ;不等式的解集为 8.解一元一次不等式 9.韦达定理：方程（）的二实根为、，则且两个正根，则需满足，两个负根，则需满足，一正根和一负根，则需满足10.一元二次不等式的解法步骤对于一元二次不等式，设相应的一元二次方程的两根为，则不等式的解的各种情况如下表： 二次函数（）的图象一元二次方程有两相异实根有两相等实根无实根 R 方程的根函数草图观察得解，对于的情况可以化为的情况解决注意：含参数的不等式axbxc0恒成立问题含参不等式axbxc0的解集是R；其解答分a0(验证bxc0是否恒成立)、a0（a0且0 bcad
4、 ,以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可以组成多少个正确的命题？并写出这些命题解：可以组成下列3个命题命题一：若ab0，, 则bcad命题二：若ab0，bcad 则,命题三：若, bcad 则ab0由不等式的性质得知这三个命题均为真命题（2）有三个条件：（1）ac2bc2；(2) ；(3)a2b2，其中能分别成为ab的充分条件的个数有A0 B1 C2 D3解：（1）由ac2bc2可知c20，即ab，故ac2bc2是ab的充分条件（2）c0时，ab（3）a0时，ab的充分必要条件，故答案选B2.数的大小的比较例2. 设,则ABCD【答案】A 【解析】,所以,选A 3.含绝对值不等式的解法例
5、3. （1）已知不等式的解集不是空集,则实数的取值范围是A 2D2【答案】D因为的最小值为2,所以要使不等式的解集不是空集,则有,选D （2）如果不等式和不等式有相同的解集,则ABCD【答案】C 【解析】由不等式可知,两边平方得,整理得,即.又两不等式的解集相同,所以可得,选C （3）解不等式（1）；（2）解：（1）原不等式化为：（2）原不等式化为：解得 4.一元二次不等式的解法例4.（1）已知不等式解：由题意可知 且5和1是方程的两根故的值分别为（2）解不等式解：（1）当时，不等式的解集为（2）当即时，有 综上所述，原不等式的解集为5.简单分式、高次不等式的解法例5.(1) 解不等式解：由
6、其零点分别为：-1,0,1(二重),2 ，画出数轴如下：由图知，原不等式的解集为(2) 求不等式组的解集 解法一：由题设x0，得，即，原不等式组等价于（1） ；（2） 由（1）得，由（2）得，故原不等式组解集为 解法二：由已知条件可知两边平方，原不等式组等价于 即原不等式组解集为(3) 不等式的解集为 A. B. C. D. 对 【答案】A【解析】原不等式等价于或，即或，所以不等式的解为，选A6.指对不等式的解法例6.（1）介于两个连续自然数之间，这两个数是 答案：3, 4 提示：=lg(24327)=lg1008, 30, a1，Plog a(a3+1), Q=log a(a2+1), 则P
7、、Q的大小关系是 A.PQ B.Pb0, 0x blg(sinx) B.alg(sinx)0, b0, ab=1，比较大小： 2答案: 8.含参数不等式的问题例8. (1)解关于的不等式解：原不等式化为(2)若不等式对于x取任何实数均成立，求k的取值范围解： (4x2+6x+3恒正)，原不等式对x取任何实数均成立，等价于不等式2x2-2(k-3)x+3-k0对x取任何实数均成立=-2(k-3)2-8(3-k)0k2-4k+301k3k的取值范围是（1，3）(3)设f(x)=ax2+bx,且1f(1) 2, 2f(1) 4 ,求f(2)的取值范围分析：因为f(1)=ab, f(1)=a+b,而1
8、ab2, 2a+b4;又a+b与ab中的a,b不是独立的，而是相互制约的，因此，若将f(2)用ab与a+b,表示，则问题得解解：设f(2)=m f(1)+n f(1), (m,n为代定系数)则4a2b=m(ab)+n(a+b) 即4a2b=（m+n）a(mn)b, 于是得得：m=3, n=1f(2)=3 f(1)+ f(1)1f(1) 2, 2f(1) 453f(1)+ f(1) 10,故5f(2)10,另法：以上解题过程简化如下：由得 f(2)=4a2b=3 f(1)+ f(1)点评:严格依据不等式的基本性质和运算法则,是正确解答此类题目的保证若先将参数a,b的范围求出,而后再求f(2)的范围,这样操作是错误的,因为解题过程没有忠实题目所给条件,即变形不等价,由所求的参数a,b的范围并不能得到已知条件所给的f(1)及f(1)的范围,这样,已经改变了题目的条件,当然,所求的结果就不是实际的结果因此,在解题的过程中,务必尽可能保持变形的等价性,以免发生错误
