1、考点规范练14导数的概念及运算基础巩固1.设函数f(x)=x,则limx0f(1+x)-f(1)x=()A.0B.1C.2D.-12.已知曲线y=ln x的切线过原点,则此切线的斜率为()A.eB.-eC.1eD.-1e3.(2021广西南宁模拟)下列函数求导运算正确的是()A.(log2x)=ln2xB.(e-x)=e-xC.(xcos x)=cos x+xsin xD.ln(2x+1)+f(1)=22x+14.(2021山东滨州二模)设曲线y=f(x)=e2ax(e=2.718为自然对数的底数)在点(0,1)处的切线及直线2x-y-1=0和两坐标轴的正半轴所围成的四边形有外接圆,则a=()
2、A.-1B.-14C.14D.15.曲线f(x)=x3-x+3在点P处的切线平行于直线y=2x-1,则点P的坐标为()A.(1,3)B.(-1,3)C.(1,3)和(-1,3)D.(1,-3)6.(2021贵州贵阳一中高三月考)已知曲线y=f(x)=aex+lnxx在点(1,ae)处的切线方程为y=ex+x+b,则()A.a=e,b=-1B.a=1,b=0C.a=1,b=-1D.a=e,b=07.若函数y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称y=f(x)具有性质T.下列函数中具有性质T的是()A.y=sin xB.y=ln xC.y=exD.y=x38.(20
3、21广西桂林、崇左、贺州模拟)设曲线f(x)=ln x与g(x)=(x+a)2有一条斜率为1的公切线,则a=()A.-1B.-34C.14D.349.已知函数f(x)=3ex+1+x3,其导函数为f(x),则f(2 020)+f(-2 020)+f(2 019)-f(-2 019)的值为()A.1B.2C.3D.410.曲线y=(ax+1)ex在点(0,1)处的切线的斜率为-2,则a=.11.(2021广东广州二模)已知函数f(x)=lnxx+a,且f(1)=1,则a=,曲线y=f(x)在点(e,f(e)处的切线方程为.12.已知函数f(x)=cos 2x的导函数为f(x),则函数g(x)=2
4、3f(x)+f(x)在区间0,上的单调递增区间是.能力提升13.函数y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如图所示,则y=f(x),y=g(x)的图象可能是()14.若点P是曲线y=x2-ln x上任意一点,则点P到直线y=x-2的距离的最小值为()A.1B.2C.22D.315.函数f(x)=x(x-S1)(x-S2)(x-S8),其中Sn为数列an的前n项和,若an=1n(n+1),则f(0)=()A.112B.19C.18D.1416.(2021黑龙江齐齐哈尔三模)已知函数f(x)=sin x和g(x)=cos x图象的一个公共点为P(x0,y0),现给出以下结论:f(x0)=g(x0
5、);f(x0)=g(x0);f(x)和g(x)的图象在点P处的切线的倾斜角互补;f(x)和g(x)的图象在点P处的切线互相垂直.其中正确的是()A.B.C.D.17.(2021河北石家庄二模)已知函数f(x)=ax+bcos 2x+csin 2x,其中a,b,cR,b2+c2=14,f(x)为f(x)的导函数.若存在x1,x2R使得f(x1)f(x2)=-1成立,则a+b+c的最大值为.高考预测18.已知函数f(x)的导函数为f(x),记f1(x)=f(x),f2(x)=f1(x)fn+1(x)=fn(x)(nN*).若f(x)=xsin x,则f2 019(x)+f2 021(x)=()A.
6、-2cos xB.-2sin xC.2cos xD.2sin x答案：1.B解析根据题意,limx0f(1+x)-f(1)x=limx0f(1+x)-f(1)(1+x)-1=f(1),又f(x)=x,则f(x)=1,于是f(1)=1,所以limx0f(1+x)-f(1)x=1.2.C解析由题意可得y=lnx的定义域为(0,+),且y=1x.设切点为(x0,lnx0),则切线方程为y-lnx0=1x0(x-x0).因为切线过点(0,0),所以-lnx0=-1,解得x0=e,故此切线的斜率为1e.3.D解析(log2x)=1xln2,故A错误;(e-x)=-e-x,故B错误;(xcosx)=cos
7、x-xsinx,故C错误;ln(2x+1)+f(1)=22x+1,故D正确.4.B解析由函数f(x)=e2ax,可得f(x)=2ae2ax,则f(0)=2a,即曲线y=e2ax在点(0,1)处的切线的斜率k=2a,所以切线方程为y-1=2ax,即y=2ax+1.要使得切线y=2ax+1与直线2x-y-1=0和两坐标轴的正半轴所围成的四边形有外接圆,则需满足直线y=2ax+1与直线2x-y-1=0互相垂直,即2a2=-1,解得a=-14.5.C解析f(x)=x3-x+3,f(x)=3x2-1.设点P(x,y),则f(x)=2,即3x2-1=2,解得x=1或x=-1,故P(1,3)或(-1,3).
8、经检验,点(1,3),(-1,3)均不在直线y=2x-1上,符合题意.故选C.6.C解析由题意,可得f(x)=aex+1-lnxx2.因为曲线y=aex+lnxx在点(1,ae)处的切线方程为y=ex+x+b,所以f(1)=ae+1=e+1,解得a=1.将切点坐标(1,e)代入切线方程y=ex+x+b,有e+1+b=e,解得b=-1.7.A解析设曲线上两点P(x1,y1),Q(x2,y2),则由导数几何意义可知,两条切线的斜率分别为k1=f(x1),k2=f(x2).若函数具有T性质,则k1k2=f(x1)f(x2)=-1.A项,y=cosx,显然k1k2=cosx1cosx2=-1有无数组解
9、,所以该函数具有性质T;B项,y=1x(x0),显然k1k2=1x11x2=-1无解,故该函数不具有性质T;C项,y=ex0,显然k1k2=ex1ex2=-1无解,故该函数不具有性质T;D项,y=3x20,显然k1k2=3x123x22=-1无解,故该函数不具有性质T.综上,选A.8.B解析因为f(x)=lnx,所以f(x)=1x,又因为切线的斜率为1,所以由1x=1,解得x=1,所以f(1)=0,所以曲线f(x)=lnx在点(1,0)处的切线方程为y=x-1.因为g(x)=(x+a)2,所以g(x)=2x+2a.由2x+2a=1,解得x=12-a,代入切线方程y=x-1得y=-12-a,再将
10、点12-a,-12-a的坐标代入g(x)=(x+a)2,解得a=-34.9.C解析f(x)=-3ex(ex+1)2+3x2,f(-x)=-3ex(ex+1)2+3x2,所以f(x)为偶函数,所以f(2019)-f(-2019)=0,又因为f(x)+f(-x)=31+ex+x3+31+e-x-x3=31+ex+3ex1+ex=3,所以f(2020)+f(-2020)+f(2019)-f(-2019)=3.10.-3解析设y=f(x)=(ax+1)ex,则f(x)=aex+(ax+1)ex=(ax+a+1)ex,f(x)=(ax+1)ex在点(0,1)处的切线斜率k=f(0)=a+1=-2,a=-
11、3.11.0y=1e解析由f(x)=lnxx+a,得f(x)=x+ax-lnx(x+a)2.由f(1)=1,即11+a=1,解得a=0,所以f(x)=lnxx,f(x)=1-lnxx2,所以f(e)=1e,f(e)=0,所以曲线y=f(x)在点(e,f(e)处的切线方程为y=1e.12.512,1112解析f(x)=-2sin2x,g(x)=23cos2x-2sin2x=-4sin2x-3,由2+2k2x-332+2k(kZ),得512+kx1112+k(kZ),又x0,512x1112.g(x)在区间0,上的单调递增区间是512,1112.13.D解析由题中y=f(x)的图象知y=f(x)在
12、区间(0,+)内单调递减,说明函数y=f(x)的切线的斜率在区间(0,+)内也单调递减,故可排除A,C.又由题中图象知函数y=f(x)与y=g(x)的图象在x=x0处相交,说明函数y=f(x)与y=g(x)的图象在x=x0处的切线的斜率相同,故可排除B.故选D.14.B解析因为函数y=x2-lnx的定义域为(0,+),所以y=2x-1x,令2x-1x=1,解得x=1,则曲线y=x2-lnx在点P(1,1)处的切线方程为x-y=0,所以两平行线间的距离为d=22=2.故所求距离的最小值为2.15.B解析f(x)=x(x-S1)(x-S2)(x-S8),f(x)=(x-S1)(x-S2)(x-S8
13、)+x(x-S1)(x-S2)(x-S8),则f(0)=S1S2S8,an=1n(n+1)=1n-1n+1,Sn=1-12+12-13+1n-1n+1=1-1n+1=nn+1,S1S2S8=122389=19,即f(0)=19.16.A解析对于,因为f(x0)=y0,g(x0)=y0,所以f(x0)=g(x0),故正确;对于,因为f(x)和g(x)的图象在点P处的切线不平行且不重合,所以f(x0)g(x0),故错误;对于,由上可知,f(x0)=g(x0),即sinx0=cosx0,所以f(x0)+g(x0)=cosx0-sinx0=0,故正确;对于,假设f(x)和g(x)的图象在点P处的切线互
14、相垂直,则有-cosx0sinx0=-1,即sin2x0=2,这与|sin2x0|1矛盾,故错误.17.22解析b2+c2=14,可设b=12cos,c=12sin,f(x)=a-2bsin2x+2ccos2x=a-(sin2xcos-cos2xsin)=a-sin(2x-),a-1f(x)a+1.存在x1,x2R使得f(x1)f(x2)=-1,a-10,(a-1)(a+1)-1,-1a1,a20,a=0,a+b+c=b+c=12cos+12sin=22sin+4,当sin+4=1时,a+b+c取得最大值22.18.D解析f(x)=xsinx,则f1(x)=f(x)=sinx+xcosx,f2
15、(x)=f1(x)=cosx+cosx-xsinx=2cosx-xsinx,f3(x)=f2(x)=-2sinx-sinx-xcosx=-3sinx-xcosx,f4(x)=f3(x)=-3cosx-cosx+xsinx=-4cosx+xsinx,f5(x)=f4(x)=4sinx+sinx+xcosx=5sinx+xcosx,f6(x)=f5(x)=5cosx+cosx-xsinx=6cosx-xsinx,f7(x)=f6(x)=-6sinx-sinx-xcosx=-7sinx-xcosx,则f1(x)+f3(x)=sinx+xcosx-3sinx-xcosx=-2sinx,f3(x)+f5(x)=-3sinx-xcosx+5sinx+xcosx=2sinx,f5(x)+f7(x)=5sinx+xcosx-7sinx-xcosx=-2sinx,所以f4k+1(x)+f4k+3(x)=-2sinx(kN),f4k+3(x)+f4k+5(x)=2sinx(kN),则f2019(x)+f2021(x)=2sinx.