1、13.2 利用导数研究函数的极值第 1 课时 利用导数研究函数的极值第一章 导数及其应用 1.了解函数的极大(小)值与导数的关系 2.理解极大值、极小值的概念掌握 3掌握不超过三次的多项式函数的极大(小)值的求法第一章 导数及其应用栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第一章 导数及其应用1极值点与极值概念名称定义表示法极值极大值已知函数 yf(x)及其定义域内一点 x0，对于存在一个包含 x0 的开区间内的所有点 x，如果都有_，则称函数 f(x)在点 x0 处取极大值记作：_f(x)f(x0)y极大f(x0)栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第一章 导数
2、及其应用名称定义表示法极值极小值已知函数 yf(x)及其定义域内一点 x0，对于存在一个包含 x0的开区间内的所有点 x，如果都有_，则称函数f(x)在点 x0 处取极小值记作：_极值点若函数 f(x)在 x0 处取得极大值，则把_称为函数f(x)的一个极大值点；若函数 f(x)在 x0 处取得极小值，则把_称为函数 f(x)的一个极小值点；极大值点与极小值点统称为极值点f(x)f(x0)y极小f(x0)x0 x0栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第一章 导数及其应用2求可导函数 yf(x)极值的步骤(1)求_；(2)求方程_的所有实数根；(3)对 每 个 实 数 根 进
3、行 检 验，判 断 在 每 个 根 的 左 右 侧，_的符号如何变化如果 f(x)的符号_，则 f(x0)是极大值；如果 f(x)的符号由负变正，则 f(x0)是极小值；如果在 f(x)0 的根 xx0 的左右侧符号不变，则 f(x0)不是极值导数f(x)f(x)0导函数f(x)由正变负栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第一章 导数及其应用1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数的极大值一定大于极小值()(2)导数为 0 的点一定是极值点()(3)函数 yf(x)一定有极大值和极小值()(4)若一个函数在给定的区间存在极值，则极值点一定在区间的内部()(5)函数的极值
4、点是自变量的值，极值是函数值()栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第一章 导数及其应用2函数 y2x3x2 的极大值为()A0 B9C0，2716D2716答案：A3函数 f(x)exx 的极小值为_答案：1栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第一章 导数及其应用 求已知函数的极值点和极值 求下列函数的极值：(1)f(x)x33x29x5；(2)f(x)lnxx.栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第一章 导数及其应用解(1)f(x)3x26x9.解方程 3x26x90，得 x11，x23.当 x 变化时，f(x)与 f(x)的变化情况如
5、下表：x(，1)1(1，3)3(3，)f(x)00 f(x)1022 因此，当 x1 时函数取得极大值，且极大值为 f(1)10；当 x3 时函数取得极小值，且极小值为 f(3)22.栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第一章 导数及其应用(2)函数 f(x)lnxx 的定义域为(0，)，且 f(x)1lnxx2，令 f(x)0，得 xe.当 x 变化时，f(x)与 f(x)的变化情况如下表：x(0，e)e(e，)f(x)0 f(x)1e故当 xe 时函数取得极大值，且极大值为 f(e)1e.栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第一章 导数及其应用求可导函数
6、 f(x)极值的步骤(1)求导数 f(x)(2)求方程 f(x)0 的根(3)检测 f(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么 f(x)在这个根处取得极小值 栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第一章 导数及其应用 函数 y13xx3 的极大值点为_，极小值点为_解析：y33x23(1x)(1x)，令 y0，解得 x11，x21.当 x1 时，y0，函数是减函数，当1x0，函数是增函数，当 x1 时，y0 可得 x3 或 0 x1(x0 舍去)，由 f(x)0 可得 1x3.所以函数 f(x)的单调递增区间为(0，1)和
7、(3，)，单调递减区间为(1，3)栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第一章 导数及其应用已知函数极值求参数的值(范围)(1)根据极值点处导数为 0 和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解(2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性 栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第一章 导数及其应用 1.已知函数 f(x)x3ax2(a6)x1 有极大值和极小值，则实数 a 的取值范围是()A1a2 B3a6Ca6 Da2解析：选 C.由题意知 f(x)3x22ax(a6)0 有两个不相等的根，所以 0，解得 a6
8、 或 a3.故选 C.栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第一章 导数及其应用2已知函数 f(x)ax3bx2，当 x1 时有极大值 3.(1)求 a，b 的值；(2)求函数 f(x)的极小值解：(1)f(x)3ax22bx，由已知可得3a2b0ab3，所以a6b9.栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第一章 导数及其应用(2)由(1)可知 f(x)6x39x2，所以 f(x)18x218x，由 f(x)0 可得 x0 或 x1，列表：x(，0)0(0，1)1(1，)f(x)00f(x)极小值极大值由上表可知：f(x)在 x0 时，取得极小值 f(0)0.栏
9、目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第一章 导数及其应用 函数极值的综合应用 设函数 f(x)x36x5，xR.(1)求函数 f(x)的单调区间和极值；(2)若函数 yf(x)的图象与函数 ya 的图象恰有三个不同的交点，求实数 a 的取值范围栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第一章 导数及其应用解(1)f(x)3x26，令 f(x)0，解得 x1 2，x2 2.因为当 x 2或 x 2时，f(x)0；当 2x 2时，f(x)0.所以 f(x)的单调递增区间为(，2)和(2，)；单调递减区间为(2，2)当 x 2时，f(x)有极大值 54 2；当 x 2时，
10、f(x)有极小值 54 2.栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第一章 导数及其应用(2)由(1)的分析知 yf(x)的图象的大致形状及走向如图所示所以，当 542a54 2时，直线 ya 与 yf(x)的图象有三个不同交点，即方程 f(x)a 有三个不同的解 栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第一章 导数及其应用(1)研究方程根的问题可以转化为研究相应函数的图象问题，一般地，方程 f(x)0 的根就是函数 f(x)的图象与 x 轴交点的横坐标，方程 f(x)g(x)的根就是函数 f(x)与 g(x)的图象的交点的横坐标(2)事实上利用导数可以判断函数的单
11、调性，研究函数的极值情况，并能在此基础上画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象与 x 轴的交点或两个函数图象的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便 栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第一章 导数及其应用 已知函数 f(x)x33ax1(a0)若函数 f(x)在 x1 处取得极值，直线 ym 与 yf(x)的图象有三个不同的交点，求 m 的取值范围解：因为 f(x)在 x1 处取得极值且 f(x)3x23a，所以 f(1)3(1)23a0，所以 a1.所以 f(x)x33x1，f(x)3x23，由 f(x)0，解得 x11，x21.栏目导引探究案讲练互动应用案
12、巩固提升 预习案自主学习第一章 导数及其应用当 x0；当1x1 时，f(x)1 时，f(x)0.所以由 f(x)的单调性可知，f(x)在 x1 处取得极大值 f(1)1，在 x1 处取得极小值 f(1)3.作出 f(x)的大致图象如图所示：因为直线 ym 与函数 yf(x)的图象有三个不同的交点，结合f(x)的图象可知，m 的取值范围是(3，1)栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第一章 导数及其应用1极值的概念理解在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值请注意以下几点：(1)极值是一个局部概念由定义知，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数
13、值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个定义域内最大或最小(2)函数的极值不一定是唯一的，即一个函数在某个区间上或定义域内的极大值或极小值可以不止一个栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第一章 导数及其应用(3)极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值，如图所示，x1 是极大值点，x4 是极小值点，而 f(x4)f(x1)栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第一章 导数及其应用2极值点与导数为零的点(1)可导函数的极值点是导数为零的点，但是导数为零的点不一定是极值点，即“点 x0 是可导函数 f(x)的极值点”是“f(x0)0
14、”的充分但不必要条件；(2)可导函数 f(x)在点 x0 处取得极值的充要条件是 f(x0)0，且在 x0 左侧和右侧 f(x)的符号不同如果在 x0 的两侧 f(x)的符号相同，则 x0 不是极值点栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第一章 导数及其应用1必须严格按照求函数极值的方法步骤进行，其重点是列表考查导数为零的点的左、右两侧的导数值是否是异号的，若异号，则是极值点；否则不是极值点 2在解答有关极值问题时，一定要注意定义域及导数不存在的情况，否则极易导致错解 栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第一章 导数及其应用1函数 f(x)的定义域为开区间(a
15、，b)，导函数 f(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数 f(x)在开区间(a，b)内有极小值点的个数为()A1 B2C3 D4答案：A栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第一章 导数及其应用2函数 yx1x(x0)在 x1 处取得()A极小值B极大值C既有极大值又有极小值D极值不存在解析：选 A.当 0 x1 时，y1 1x21 时，y1 1x20.故函数 yx1x(x0)在 x1 处取得极小值 栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第一章 导数及其应用3yx3x 的极大值为_解析：y3x210，得 x 33.当 x 33 时，y0；当 33 x 33 时，y0.所以函数在 x 33 时，取得极大值2 39.答案：2 39栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第一章 导数及其应用4若函数 f(x)x2ax1 在 x1 处取得极值，则 a_解析：因为 f(x)2x（x1）（x2a）（x1）2x22xa（x1）2，所以 f(1)3a4 0，所以 a3.答案：3栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第一章 导数及其应用栏目导引探究案讲练互动应用案 巩固提升 预习案自主学习第一章 导数及其应用本部分内容讲解结束 按ESC键退出全屏播放
