1、考纲要求1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念2在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数3了解简单的分段函数，并能简单应用考情分析1.主要考查函数的概念、定义域及解析式的确定与应用，分段函数更是考查的热点2题型主要以选择题、填空题为主，要求相对较低，但内容很重要，特别是函数的解析式，对以后研究函数的性质有很重要的作用小题热身1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数是建立在其定义域到值域的映射。()(2)若函数的定义域和值域相同，则这两个函数是相等函数。()(3)函数f(x)x2x与g(t)t2t是同一函数。()(
2、4)f(x)x3 2x是一个函数。()解析：(1)正确。函数是特殊的映射。(2)错误。如函数yx与yx1的定义域和值域都是R，但它们的对应关系不同，不是相等函数。(3)正确。函数f(x)x2x与g(t)t2t的定义域和对应关系相同。(4)错误。因定义域为空集。2函数f(x)2x1 1x2的定义域为()A0,2)B(2，)C0,2)(2，)D(，2)(2，)解析：2x10 x20解得x0且x2，故选C。答案：C3若函数yf(x)的定义域为Mx|2x2，值域为Ny|0y2，则函数yf(x)的图象可能是()ABCD解析：A定义域为x|2x0，不正确。C当x在2,2取值时，y有两个值和x对应，不符合函
3、数的概念。D值域为0,1不正确，B正确。答案：B4如图是张大爷晨练时所走的离家距离(y)与行走时间(x)之间的函数关系的图象。若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷散步行走的路线可能是()ABCD解析：中间一段时间，相对距离不变，故选D。答案：D5已知函数f(x)x1。若f(a)3，则实数a_。解析：因为f(a)a13，所以a19，即a10。答案：10知识重温一、必记3个知识点1函数与映射的概念函数映射两集合A，BA，B是两个非空数集A，B是两个_对应关系f：AB按照某种确定的对应关系f，对于集合A中的_一个数x，在集合B中有_的数f(x)和它对应按某一个确定的对应关系f，对于集合A中的_一个元
4、素x，在集合B中都有_的元素y与之对应名称那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数那么就称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映射记法yf(x)，xA对应f：AB是一个映射非空集合任意唯一确定任意唯一确定2.函数的有关概念(1)函数的定义域、值域在函数yf(x)，xA中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的_；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f(x)|xA叫做函数的_。显然，值域是集合B的子集。(2)函数的三要素_、_和_。(3)相等函数如果两个函数的_和_完全一致，那么这两个函数相等，这是判断两个函数相等的依据。(4)函数的表示法表示函数的常用方法有：_、_、_。定义域值域
5、定义域值域对应关系定义域对应关系解析法列表法图象法3分段函数(1)若函数在其定义域的不同子集上，因_不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数。(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的_，其值域等于各段函数的值域的_，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的一个函数。对应关系并集并集二、必明3个易误点1解决函数的一些问题时，易忽视“定义域优先”的原则。2易混“函数”与“映射”的概念：函数是特殊的映射，映射不一定是函数，从A到B的一个映射，A，B若不是数集，则这个映射便不是函数。3易误把分段函数理解为几种函数组成。考点一 求函数的定义域【典例1】(1)函数f(x)1log2x21的定
6、义域为()A.0，12 B(2，)C.0，12(2，)D.0，12 2，)(2)已知函数f(x)的定义域为(1,0)，则函数f(2x1)的定义域为()A(1,1)B.1，12C(1,0)D.12，1CB解析：(1)方法一：(log2x)210，即log2x1或log2x1，解得x2或0 x12。故所求的定义域为0，12(2，)，故选C。方法二：令x 14，则 log2142130，排除B。令x4，则(log24)2130，所以排除选项A。令x2，则(log22)210，排除D，故选C。(2)由函数f(x)的定义域为(1,0)，则使函数f(2x1)有意义，需满足12x10，解得1x12，即所求函
7、数的定义域为1，12，故选B。悟技法1求函数定义域的类型及方法(1)已知函数的解析式：构造使解析式有意义的不等式(组)求解。(2)对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解。(3)抽象函数：若已知函数f(x)的定义域为a，b，则函数f(g(x)的定义域由不等式ag(x)b求出；若已知函数f(g(x)定义域为a，b，则f(x)的定义域为g(x)在xa，b时的值域。2求函数定义域的注意点(1)不要对解析式进行化简变形，以免定义域变化。(2)当一个函数由有限个基本初等函数的和、差、积、商的形式构成时，定义域一般是各个基本初等函数定义域的交集。(3)定义域是一个集合，要用集合或区间表
8、示，若用区间表示，不能用“或”连接，而应该用并集符号“”连接。通一类1函数f(x)12x1x3的定义域为()A(3,0 B(3,1C(，3)(3,0 D(，3)(3,1解析：由题意12x0 x30，解得3x0。答案：A2若函数f(x)的定义域为R，则a的取值范围为_。解析：由题意，得222xaxa 10对xR恒成立。即222xaxa 20对xR恒成立。亦即x22axa0对xR恒成立。故4a24a0，得1a0。所以，a的取值范围是1,0。答案：1,03已知函数f(2x)的定义域为0,1，则f(x)的定义域为_；f(log2x)的定义域为_。解析：f(2x)的定义域为0,1，可知f(x)的定义域为
9、1,2，又1log2x2，得2x4，f(log2x)的定义域为2,4。答案：1,2 2,4考点二 求函数的值域【典例2】求下列函数的值域：(1)yx21x21；(2)yx 12x；(3)y x1x1(x1)；(4)y1xx2。解析：(1)解法一：y12x21，x211，01x211，22x210，y1,1)。解法二：由yx21x21可得x2y1y1，x20，y1y10，y1,1)。(2)令t 12x，则x1t22(t0)，所以y1t22t12(t1)21。因为t0，所以当t0时，ymax12。故函数y的值域为，12。(3)y x11x11(x1)，y2 x11x113，当且仅当x4时取等号，函
10、数y的值域为3，)。(4)xx2x122140，12，y2，)。悟技法求函数值域的基本方法(1)观察法：一些简单函数，通过观察法求值域。(2)配方法：“二次函数类”用配方法求值域。(3)换元法：形如yaxbcxd(a，b，c，d均为常数，且ac0)的函数常用换元法求值域，形如yaxabx2 的函数用三角函数代换求值域。(4)分离常数法：形如ycxdaxb(a0)的函数可用此法求值域。(5)单调性法：函数单调性的变化是求最值和值域的依据，根据函数的单调区间判断其增减性进而求最值和值域。(6)数形结合法：画出函数的图象，找出坐标的范围或分析条件的几何意义，在图上找其变化范围。通一类4求下列函数的值
11、域：(1)y3x1x2；(2)y52x24x3；(3)yx4 1x；(4)y x2x1(x1)。解析：(1)y3x27x23 7x23，值域为y|y3。(2)y52x121，2(x1)211，y(0,5。(3)令 1xt0，yt24t1，t0，y(，5。(4)令x1t0，x2t22t1，yt1t24，当且仅当t1时取等号。y4，)。考点三 求函数的解析式【典例3】(1)已知fx1x x21x2，求f(x)的解析式；(2)已知f2x1 lgx，求f(x)的解析式；(3)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x1)2f(x1)2x17，求f(x)的解析式；(4)已知f(x)满足2f(x)f1x 3x
12、，求f(x)的解析式。解析：(1)由于f x1x x2 1x2 x1x22，所以f(x)x22，x2，或x2，故f(x)的解析式是f(x)x22(x2或x2)。(2)令2x1t得x 2t1，代入得f(t)lg 2t1，又x0，所以t1，故f(x)的解析式是f(x)lg 2x1(x1)。(3)因为f(x)是一次函数，可设f(x)axb(a0)，3a(x1)b2a(x1)b2x17。即ax(5ab)2x17，因此应有a25ab17，解得a2b7。故f(x)的解析式是f(x)2x7。(4)2f(x)f1x 3x，将x用1x替换，得2f1x f(x)3x，由解得f(x)2x1x(x0)，即f(x)的解
13、析式是f(x)2x1x(x0)。悟技法求函数解析式的常用方法(1)配凑法：由已知条件f(g(x)F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式；(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法；(3)换元法：已知复合函数f(g(x)的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(4)方程思想：已知关于f(x)与f 1x 或f(x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)。通一类5已知函数f(x)满足2f(x)f(x)1x，则f(x)_。解析：2f(x)f(x)1x，将x用x代替得2f
14、(x)f(x)1x，由消去f(x)得f(x)13x。答案：13x考点四 分段函数及其应用【典例4】(1)已知实数a0，函数f(x)2xa，x1x2a，x1。若f(1a)f(1a)，则a的值为_。(2)已知函数f(x)x21，x01，x0，则满足不等式f(1x2)f(2x)的x的取值范围是_。34(1，21)解析：(1)当a0时，1a1,1a1。此时f(1a)2(1a)a2a，f(1a)(1a)2a13a。由f(1a)f(1a)，得2a13a，解得a32。不合题意，舍去。当a0时，1a1,1a1，此时f(1a)(1a)2a1a，f(1a)2(1a)a23a。由f(1a)f(1a)，得1a23a，
15、解得a34。综上可知，a的值为34。(2)画出f(x)x21，x01，x0的图象，如图。由图象可知，若f(1x2)f(2x)，则1x201x22x，即1x11 2x1 2。得x(1，21)。悟技法解决分段函数求值问题的策略(1)在求分段函数的值f(x0)时，一定要首先判断x0属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式。(2)分段函数是指自变量在不同的取值范围内，其对应法则也不同的函数，分段函数是一个函数，而不是多个函数；分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集，故解分段函数时要分段解决。(3)求f(f(f(a)的值时，一般要遵循由里向外逐层计算的原则。通一类6已知函数f(x)
16、2x，x0 x1，x0。若f(a)f(1)0，则实数a的值等于()A3 B1C1 D3解析：由f(a)f(1)0，得f(a)2。故a12，得a3。答案：A7已知函数f(x)2x，x2x13，x2若关于x的方程f(x)k有两个不同的实根，则实数k的取值范围是_。解析：作出函数f(x)的图象，如图，由图象可知，当0k1时，函数f(x)与yk的图象有两个不同的交点，所以所求实数k的取值范围是(0,1)。答案：(0,1)高考模拟1.(2016银川模拟)函数f(x)3x21xlg(3x1)的定义域是()A.13，B.13，1C.13，13D.，13解析：依题意得：1x03x10，解得 13 x1，所以函
17、数定义域为13，1，故选B。答案：B2(2016北京海淀模拟)如果f1x x1x，则当x0且x1时，f(x)等于()A.1x B.1x1C.11x D.1x1解析：令t1x，得x1t，f(t)1t11t 1t1，f(x)1x1。答案：B3(2016济宁模拟)已知函数f(x)2x1，x1x2ax，x1，若f(f(0)4a，则实数a等于()A.12 B.45C2 D9解析：f(x)2x1，x1x2ax，x1。01，f(0)2012。f(0)21，f(f(0)222a4a，a2。答案：C4(2016信阳模拟)函数f(x)x 12x的值域为_。解析：函数的定义域为，12，令t 12x(t0)，则x1t22。y1t22t12(t1)21(t0)，故t1(即x0)时，y有最大值1，故值域为(，1。答案：(，15(2015课标卷)设函数f(x)1log22x，x12x1，x1，则f(2)f(log212)()A3 B6C9 D12解析：由于f(2)1log243，f(log212)2log21212log266，所以f(2)f(log212)9，故选C。答案：C