1、第4讲正、余弦定理及解三角形考纲展示命题探究1正、余弦定理定理正弦定理余弦定理内容2R(其中R是ABC外接圆的半径)a2b2c22bccosA；b2a2c22accosB；c2a2b22abcosC变形形式a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC；sinA，sinB，sinC；abcsinAsinBsinC；asinBbsinA，bsinCcsinB，asinCcsinA；2RcosA；cosB；cosC2利用正、余弦定理解三角形(1)已知两角一边，用正弦定理，只有一解(2)已知两边及一边的对角，用正弦定理，有解的情况可分为几种情况在ABC中，已知a，b和角A时，解的情况如下：A为锐角A
2、为钝角或直角图形关系式absinAbsinAab解的个数一解两解一解一解上表中A为锐角时，absinA，无解A为钝角或直角时，ab，asinB，则AB. ()(6)若满足条件C60，AB，BCa的ABC有两个，那么a的取值范围是(，2)()答案(1)(2)(3)(4)(5)(6)2已知ABC中，a1，b，B45，则A等于()A150 B90C60 D30答案D解析由正弦定理，得，得sinA.又ab，AB45.A30，故选D.3在ABC中，A60，AC2，BC，则AB等于_答案1解析由余弦定理得BC2AC2AB22ACABcosA，即34AB22AB，即AB22AB10.AB1.考法综述正、余弦
3、定理是每年高考的必考内容，客观题与解答题均可出现客观题以正、余弦定理的简单应用为主，解三角形、判断三角形的形状，而解答题常与三角恒等变换相结合，属于解答题中的中低档题型，难度一般不会太大命题法利用正余弦定理解三角形或判断其形状典例(1)设ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若bc2a,3sinA5sinB，则角C()A. B.C. D.(2)在ABC中，cos2(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则ABC的形状为()A等边三角形B直角三角形C等腰三角形或直角三角形D等腰直角三角形解析(1)3sinA5sinB，由正弦定理知3a5b，ab，代入bc2a中，得cb.由余弦定理知c
4、osC，C.选B.(2)cos2，2cos211，cosB，c2a2b2.ABC为直角三角形答案(1)B(2)B【解题法】1.解三角形的常见题型及求解方法(1)已知两角A，B与一边a，由ABC及，可先求出角C及b，再求出c.(2)已知两边b，c及其夹角A，由a2b2c22bccosA，先求出a，再求出角B，C.(3)已知三边a，b，c，由余弦定理可求出角A，B，C.(4)已知两边a，b及其中一边的对角A，由正弦定理可求出另一边b的对角B，由C(AB)，可求出角C，再由可求出c，而通过求角B时，可能有一解或两解或无解的情况2利用正、余弦定理判定三角形形状三角形中常见的结论(1)ABC.(2)在三
5、角形中大边对大角，反之亦然(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边(4)三角形内的诱导公式：sin(AB)sinC；cos(AB)cosC；tan(AB)tanC；sincos；cossin.(5)在ABC中，tanAtanBtanCtanAtanBtanC.(6)ABC中，A，B，C成等差数列的充要条件是B60.(7)ABC为正三角形的充要条件是A，B，C成等差数列且a，b，c成等比数列1在ABC中，若sin2Asin2Bsin2C，则ABC为()A锐角三角形 B直角三角形C钝角三角形 D不能确定答案C解析由正弦定理可把不等式转化为a2b2c2.又cosC0，所以三角形为钝角三角
6、形2.设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a，sinB，C，则b_.答案1解析由sinB得B或，因为C，所以B，所以B，于是A.由正弦定理，得，所以b1.3在平面四边形ABCD中，ABC75，BC2，则AB的取值范围是_答案(，)解析如图，作PBC，使BC75，BC2，作直线AD分别交线段PB、PC于A、D两点(不与端点重合)，且使BAD75，则四边形ABCD就是符合题意的四边形过C作AD的平行线交PB于点Q，在PBC中，过P作BC的垂线交BC于点E，则PB；在QBC中，由余弦定理QB2BC2QC22QCBCcos3084()2，故QB，所以AB的取值范围是(，)4.在ABC中，
7、内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知ABC的面积为3，bc2，cosA，则a的值为_答案8解析由cosA得sinA，所以ABC的面积为bcsinAbc3，解得bc24，又bc2，所以a2b2c22bccosA(bc)22bc2bccosA2222422464，故a8.5已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，a2，且(2b)(sinAsinB)(cb)sinC，则ABC面积的最大值为_答案解析因为a2，所以(2b)(sinAsinB)(cb)sinC可化为(ab)(sinAsinB)(cb)sinC，由正弦定理可得(ab)(ab)(cb)c，即b2c2a2bc，由余弦定理可
8、得cosA，又0Ab，所以B.7在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知bca,2sinB3sinC，则cosA的值为_答案解析由2sinB3sinC，结合正弦定理得2b3c，又bca，所以bc，a2c.由余弦定理得cosA.8ABC中，D是BC上的点，AD平分BAC，ABD面积是ADC面积的2倍(1)求；(2)若AD1，DC，求BD和AC的长解(1)SABDABADsinBAD，SADCACADsinCAD.因为SABD2SADC，BADCAD，所以AB2AC，由正弦定理可得.(2)因为SABDSADCBDDC，所以BD.在ABD和ADC中，由余弦定理知，AB2AD2BD22
9、ADBDcosADB，AC2AD2DC22ADDCcosADC.故AB22AC23AD2BD22DC26.由(1)知AB2AC，所以AC1.1三角形的面积公式设ABC的三边为a，b，c，对应的三个角分别为A，B，C，其面积为S.(1)Sah(h为BC边上的高)；(2)SabsinCbcsinAacsinB；(3)S2R2sinAsinBsinC(R为ABC外接圆半径)；(4)S；(5)S；(6)Spr(p同(5)，r为ABC内切圆的半径)2解三角形在实际问题中的应用(1)常见的几种题型测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等(2)实际应用中的常用术语术语名称
10、术语意义图形表示仰角与俯角在目标视线与水平视线所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角方位角从某点的正北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角，方位角的范围是(0，360)方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)度坡角坡面与水平面的夹角设坡角为，坡度为i，则itan坡度坡面的垂直高度h和水平宽度l的比注意点应用定理解题中要等价变形任何等价变形中，一般两边不约公因式，应移项提取公因式，以免漏解. 1思维辨析(1)公式SbcsinAacsinBabsinC适用于任意三角形()(2)东北方向就是北偏东45的方向
11、()(3)俯角是铅垂线与视线所成的角()(4)方位角大小的范围是0,2)，方向角大小的范围一般是.()答案(1)(2)(3)(4)2甲、乙两人在同一地平面上的不同方向观测20 m高的旗杆，甲观测的仰角为50，乙观测的仰角为40，用d1，d2分别表示甲、乙两人离旗杆的距离，那么有()Ad1d2 Bd120 m Dd2tan40可知，d10，所以a，于是SABCacsinBsin120.考法综述正、余弦定理的应用主要是与三角形面积有关的题型，往往求某些量的取值范围另外一个应用是求解实际问题难度中等命题法与三角形面积有关的问题和正、余弦定理的实际应用典例(1)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为
12、a，b，c，若c2(ab)26，C，则ABC的面积是()A3 B.C. D3(2)如图所示，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67，30，此时气球的高是46 m，则河流的宽度BC约等于_m(用四舍五入法将结果精确到个位参考数据：sin670.92，cos670.39，sin370.60，cos370.80，1.73)解析(1)在ABC中，由已知条件及余弦定理可得c2(ab)26a2b22abcos，整理得ab6，再由面积公式SabsinC，得SABC6sin.故选C.(2)AC24692，AB，在ABC中，由正弦定理可知：，BC60.答案(1)C(2)60【解题法】与三角形面积
13、有关问题和应用题的解题方法(1)与三角形面积有关问题的常见类型及解题策略求三角形的面积对于面积公式SabsinCacsinBbcsinA，一般是已知哪一个角就使用含哪个角的公式已知三角形的面积解三角形与面积有关的问题，一般要利用正弦定理或余弦定理进行边和角的互化(2)解三角形应用题的常见情况及方法实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解(3)解三角
14、形应用题的一般步骤1钝角三角形ABC的面积是，AB1，BC，则AC()A5 B.C2 D1答案B解析由题意知SABCABBCsinB，即1sinB，解得sinB.B45或B135.当B45时，AC2AB2BC22ABBCcosB12()2211.此时AC2AB2BC2，ABC为直角三角形，不符合题意；当B135时，AC2AB2BC22ABBCcosB12()2215，解得AC.符合题意故选B.2已知ABC的内角A，B，C满足sin2Asin(ABC)sin(CAB)，面积S满足1S2，记a，b，c分别为A，B，C所对的边，则下列不等式一定成立的是()Abc(bc)8 Bab(ab)16C6ab
15、c12 D12abc24答案A解析由sin2Asin(ABC)sin(CAB)得，sin2AsinA(BC)sinA(BC)，所以sin2A2sinAcos(BC).所以2sinAcosAcos(BC)，所以2sinAcos(BC)cos(BC)，所以2sinAcos(BC)cos(BC)，即得sinAsinBsinC.根据三角形面积公式SabsinC，SacsinB，SbcsinA，因为1S2，所以1S38.将式相乘得1S3a2b2c2sinAsinBsinC8，即64a2b2c2512，所以8abc16，故排除C，D选项，而根据三角形两边之和大于第三边，故bca，得bc(bc)8一定成立，
16、而abc，ab(ab)也大于8，而不一定大于16，故选A.3设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且C，ab，若ABC面积的最大值为9，则的值为()A8 B12C16 D21答案B解析SABCabsinCab229，当且仅当ab时取“”，解得12.4如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30，则此山的高度CD_m.答案100解析依题意，BAC30，ABC105.在ABC中，由ABCBACACB180，所以ACB45，因为AB600 m，由正弦定理可得，即BC300
17、 m在RtBCD中，因为CBD30，BC300 m，所以tan30，所以CD100 m.5在ABC中，已知tanA，当A时，ABC的面积为_答案解析由tanA，可得|cosAtanA.因为A，所以|，即|.所以SABC|sinA.6已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，若cosB，a10，ABC的面积为42，则b的值等于_答案16解析依题意可得sinB，又SABCacsinB42，则c14.故b6，所以bb16.7甲船在A处观察乙船，乙船在它的北偏东60的方向，两船相距a海里的B处，乙船正向北行驶，若甲船是乙船速度的倍，甲船为了尽快追上乙船，则应取北偏东_(填角度)的方向前进答案
18、30解析设两船在C处相遇，则由题意ABC18060120，且，由正弦定理得sinBAC.又0BAC60，所以BAC30，603030.8在ABC中，已知AB2，AC3，A60.(1)求BC的长；(2)求sin2C的值解(1)由余弦定理知，BC2AB2AC22ABACcosA492237，所以BC.(2)由正弦定理知，所以sinCsinA.因为AB0，所以A.于是sinAsinCsinAsinsinAcos2A2sin2AsinA122.因为0A，所以0sinA，因此22.由此可知sinAsinC的取值范围是.10在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知A，b2a2c2.(1)求
19、tanC的值；(2)若ABC的面积为3，求b的值解(1)由b2a2c2及正弦定理得sin2Bsin2C，所以cos2Bsin2C.又由A，即BC，得cos2Bcossin2C2sinCcosC，解得tanC2.(2)由tanC2，C(0，)得sinC，cosC.又因为sinBsin(AC)sin，所以sinB.由正弦定理得cb，又因为A，bcsinA3，所以bc6，故b3.11.ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.向量m(a，b)与n(cosA，sinB)平行(1)求A；(2)若a，b2，求ABC的面积解(1)因为mn，所以asinBbcosA0，由正弦定理，得sinAsinBsi
20、nBcosA0，又sinB0，从而tanA，由于0A0，所以c3.故ABC的面积为bcsinA.解法二：由正弦定理，得，从而sinB，又由ab，知AB，所以cosB.故sinCsin(AB)sinsinBcoscosBsin.所以ABC的面积为absinC.12. 如图，在ABC中，B，AB8，点D在BC边上，且CD2，cosADC.(1)求sinBAD；(2)求BD，AC的长解(1)在ADC中，因为cosADC，所以sinADC.所以sinBADsin(ADCB)sinADCcosBcosADCsinB.(2)在ABD中，由正弦定理得BD3.在ABC中，由余弦定理得AC2AB2BC22ABB
21、CcosB825228549.所以AC7.13设ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且b3，c1，A2B.(1)求a的值；(2)求sin的值解(1)因为A2B，所以sinAsin2B2sinBcosB.由正弦定理、余弦定理得a2b.因为b3，c1，所以a212，a2.(2)由余弦定理得cosA.由于0Ac.已知2，cosB，b3.求：(1)a和c的值；(2)cos(BC)的值解(1)由2，得cacosB2.又cosB，所以ac6.由余弦定理，得a2c2b22accosB.又b3，所以a2c292213.解得a2，c3或a3，c2.因为ac，所以a3，c2.(2)在ABC中，sin
22、B，由正弦定理，得sinCsinB.因为abc，所以C为锐角，因此cosC .于是cos(BC)cosBcosCsinBsinC.在ABC中，若(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)，试判断ABC的形状错解错因分析错误的原因是从两个角的正弦值相等直接得到两角相等，忽略两角互补的情形正解因为(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)，所以b2sin(AB)sin(AB)a2sin(AB)sin(AB)所以a2cosAsinBb2sinAcosB.解法一：由正弦定理知a2RsinA，b2RsinB，所以sin2AcosAsinBsin2BsinAcosB.又sinAsinB
23、0，所以sinAcosAsinBcosB，所以sin2Asin2B.在ABC中，02A2，02B30 BA2BCcb DSb2答案D解析由三角形的面积公式知SabsinC2bbsinCb2sinC，因为0sinC1，所以b2sinCb2，即Sb2，故选D.22016冀州中学期末ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c2a，则cosB()A. B.C. D.答案A解析a，b，c成等比数列且c2a，b2ac2a2，ba.由余弦定理的推论可得cosB.故选A.32016枣强中学热身在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a，b2，sinBcosB，则角A
24、的大小为()A60 B30C150 D45答案B解析由sinBcosB得12sinBcosB2，则sin2B1，因为0B180，所以B45，又因为a，b2，所以在ABC中，由正弦定理得，解得sinA，又ab，所以AB45，所以A30.42016衡水中学一轮检测在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，若a2bcosC，则此三角形一定是()A等腰直角三角形B直角三角形C等腰三角形D等腰三角形或直角三角形答案C解析解法一：因为a2bcosC，所以由余弦定理得，a2b，整理得b2c2，则此三角形一定是等腰三角形解法二：因为a2bcosC，由正弦定理得sinA2sinBcosC，又ABC，故s
25、inAsin(BC)sinBcosCcosBsinC2sinBcosC得sin(BC)0，又B、C(0，)，所以BC.52016衡水二中周测在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A，B，C成等差数列，2a,2b,2c成等比数列，则cosAcosB()A. B.C. D.答案A解析由已知得2BAC，又ACB，故B，又4b24ac，则b2ac，所以由余弦定理得b2a2c22accosac，即(ac)20，故ac，所以ABC是等边三角形，则cosAcosBcos60cos60.62016枣强中学仿真某人向正东方向走x km后，向右转150，然后朝新方向走3 km，结果他离出发点恰好是km
26、，那么x的值为()A. B2C.或2 D3答案C解析如图所示，设此人从A出发，则ABx km，BC3 km，AC km，ABC30，由余弦定理，得()2x2322x3cos30，整理得x23x60，解得x或2.72016衡水二中月考在不等边ABC(三边均不相等)中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且有，则角C的大小为_答案解析依题意得acosAbcosB，从而sinAcosAsinBcosB，sin2Asin2B，则2A2B或2A2B，即AB或AB，又ABC三边均不相等，因此AB，C.8. 2016武邑中学热身在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，A，a，若给定一个b的值
27、使满足条件的三角形有且只有一个，则b的取值范围为_答案(0， 2解析如图1所示，当absinA，即bsin，b2时，ABC为直角三角形，只有一个解；如图2所示，当ab时，即0b时，三角形有且只有一个所以b的取值范围为(0， 292016衡水二中期中已知a，b，c分别是ABC中角A，B，C的对边，a4，b6，cosA.(1)求c；(2)求cos的值解(1)在ABC中，由余弦定理得，a2b2c22bccosA，代入数据得4836c22c6，即c24c120，(c6)(c2)0，解得c2或c6(舍)，c2.(2)由cosA1)(1)若时，证明ABC为直角三角形；(2)若2，且c3，求的值解(1)，a
28、bc，由正弦定理得sinAsinBsinC，C，sinBsin，sinBcosBsinB，sinBcosB，则sin，从而B或B，B或B.若B，则A，ABC为直角三角形；若B，ABC亦为直角三角形(2)若2，则ab2，ab2.又ab3，由余弦定理知a2b2c22abcosC，即a2b2abc29，即(ab)23ab9，故9229，得24，又1，即2.能力组13.2016衡水二中模拟已知ABC的三边长为a，b，c，且面积SABC(b2c2a2)，则A()A. B.C. D.答案A解析因为SABCbcsinA(b2c2a2)，所以sinAcosA，故A.14. 2016枣强中学期末若ABC的三个内
29、角满足sinAsinBsinC51113，则ABC()A一定是锐角三角形B一定是直角三角形C一定是钝角三角形D可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形答案C解析在ABC中，sinAsinBsinC51113，abc51113，故令a5k，b11k，c13k(k0)，由余弦定理可得cosC0，又C(0，)，C，ABC为钝角三角形，故选C.152016衡水二中仿真在ABC中，a，b，c分别为内角A、B、C的对边，且2cos(BC)4sinBsinC1.(1)求A；(2)若a3，sin，求b.解(1)由2cos(BC)4sinBsinC1，得2(cosBcosCsinBsinC)4sinBsinC1，即
30、2(cosBcosCsinBsinC)1.从而2cos(BC)1得cos(BC).又A，B，C为ABC的内角，BC，故A.(2)由(1)知0B，0，已知sin，得cos，sinB2sincos，由正弦定理得，解得b.16. 2016衡水二中热身风景秀美的凤凰湖畔有四棵高大的银杏树，记作A，B，P，Q，湖岸部分地方围有铁丝网不能靠近欲测量P，Q两棵树和A，P两棵树之间的距离，现可测得A，B两点间的距离为100 m，PAB75，QAB45，PBA60，QBA90，如图所示则P，Q两棵树和A，P两棵树之间的距离各为多少？解PAB中，APB180(7560)45，由正弦定理得AP50.QAB中，ABQ90，AQ100，PAQ754530，由余弦定理得PQ2(50)2(100)2250100cos305000，PQ50.因此，P，Q两棵树之间的距离为50 m，A，P两棵树之间的距离为50 m.