1、章末综合测评(二)推理与证明(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1数列2,5,11,20，x,47，中的x等于()A28B32C33D27【解析】观察知数列an满足：a12，an1an3n，故x203432.【答案】B2有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数f(x)，若f(x0)0，则xx0是函数f(x)的极值点因为f(x)x3在x0处的导数值f(0)0，所以x0是f(x)x3的极值点以上推理中()A大前提错误B小前提错误C推理形式错误D结论正确【解析】大前提是错误的，若f(x0)0，xx0不
2、一定是函数f(x)的极值点，故选A.【答案】A3用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个角不大于60”时，应假设()A三角形的三个内角都不大于60B三角形的三个内角都大于60C三角形的三个内角至多有一个大于60D三角形的三个内角至少有两个大于60【解析】其假设应是对“至少有一个角不大于60”的否定，即“都大于60”【答案】B4下面几种推理是合情推理的是()由圆的性质类比出球的有关性质；由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和是180归纳出所有三角形的内角和都是180；由f(x)sin x，满足f(x)f(x)，xR，推出f(x)sin x是奇函数；三角形内角和是180，四边形内角和是360
3、，五边形内角和是540，由此得凸多边形内角和是(n2)180.ABCD【解析】合情推理分为类比推理和归纳推理，是类比推理，是归纳推理，是演绎推理【答案】C5设a21.522.5，b7，则a，b的大小关系是()AabBabCa2(b1)【解析】因为a21.522.5287，故ab.【答案】A6已知点A(x1，x)，B(x2，x)是函数yx2图象上任意不同的两点，依据图象知，线段AB总是位于A，B两点之间函数图象的上方，因此有结论2成立，运用类比方法可知，若点A(x1，sinx1)，B(x2，sinx2)是函数ysin x(x(0，)图象上不同的两点，则类似地有结论()A.sinB.sinC.si
4、nD.sin【解析】画出yx2的图象，由已知得AB的中点恒在点的上方，画出ysin x，x(0，)的图象可得A，B的中点恒在点的下方，故B正确【答案】B7证明命题：“f(x)ex在(0，)上是增函数”现给出的证法如下：因为f(x)ex，所以f(x)ex.因为x0，所以ex1,00，即f(x)0.所以f(x)在(0，)上是增函数，使用的证明方法是()A综合法B分析法C反证法D以上都不是【解析】从已知条件出发利用已知的定理证得结论，是综合法【答案】A8对“ a，b，c是不全相等的正数”，给出下列判断：(ab)2(bc)2(ca)20；ab与bc及ac中至少有一个成立；ac，bc，ab不能同时成立其
5、中判断正确的个数为()A0B1C2D3【解析】若(ab)2(bc)2(ca)20，则abc，与“a，b，c是不全相等的正数”矛盾，故正确ab与bc及ac中最多只能有一个成立，故不正确由于“a，b，c是不全相等的正数”，有两种情形：至多有两个数相等或三个数都互不相等，故不正确【答案】B9设n为正整数，f(n)1，经计算得f(2)，f(4)2，f(8)，f(16)3，f(32)，观察上述结果，可推测出一般结论()Af(2n)Bf(n2)Cf(2n)D以上都不对【解析】f(2)，f(4)f(22)，f(8)f(23)，f(16)f(24)，f(32)f(25).由此可推知f(2n).故选C.【答案】
6、C10定义A*B，B*C，C*D，D*A的运算分别对应下面图1中的(1)(2)(3)(4)，则图1中a，b对应的运算是()图1AB*D，A*DBB*D，A*CCB*C，A*DDC*D，A*D【解析】根据(1)(2)(3)(4)可知A对应横线，B对应矩形，C对应竖线，D对应椭圆由此可知选B.【答案】B11观察下列各式：ab1，a2b23，a3b34，a4b47，a5b511，则a10b10()A28B76C123D199【解析】从给出的式子特点观察可推知，等式右端的值，从第三项开始，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，照此规律，则a10b10123.【答案】C12在等差数列an中，若
7、an0，公差d0，则有a4a6a3a7，类比上述性质，在等比数列bn中，若bn0，公比q1，则b4，b5，b7，b8的一个不等关系是()Ab4b8b5b7Bb4b8b5b8Db4b7a3a7，所以在等比数列bn中，由于4857，所以应有b4b8b5b7或b4b81，bn0，所以b4b8b5b7.【答案】A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分将答案填在题中的横线上)13已知x，yR，且xy2，则x，y中至少有一个大于1，在用反证法证明时假设应为_【解析】“至少有一个”的否定为“一个也没有”，故假设应为“x，y均不大于1”(或x1且y1)【答案】x，y均不大于1(或x1且y1)14如图
8、2，第n个图形是由正n2边形“扩展”而来(n1,2,3，)，则第n2(n2)个图形中共有_个顶点图2【解析】设第n个图形中有an个顶点，则a1333，a2444，an(n2)(n2)(n2)，an2n2n.【答案】n2n15设a0，b0，则下面两式的大小关系为lg(1)_lg(1a)lg(1b)【解析】因为(1)2(1a)(1b)12ab1abab2(ab)()20，所以(1)2(1a)(1b)，所以lg(1)lg(1a)lg(1b)【答案】16对于命题“如果O是线段AB上一点，则|0”将它类比到平面的情形是：若O是ABC内一点，有SOBCSOCASOBA0，将它类比到空间的情形应为：若O是四
9、面体ABCD内一点，则有_ 【导学号：81092033】【解析】根据类比的特点和规律，所得结论形式上一致，又线段类比平面，平面类比到空间，又线段长类比为三角形面积，再类比成四面体的体积，故可以类比为VOBCDVOACDVOABDVOABC0.【答案】VOBCDVOACDVOABDVOABC0三、解答题(本大题共6小题，共70分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)在平面几何中，对于RtABC，C90，设ABc，ACb，BCa，则(1)a2b2c2；(2)cos2Acos2B1；(3)RtABC的外接圆半径r.把上面的结论类比到空间写出类似的结论，无需证明【解】
10、在空间选取三个面两两垂直的四面体作为直角三角形的类比对象(1)设三个两两垂直的侧面的面积分别为S1，S2，S3，底面积为S，则SSSS2.(2)设三个两两垂直的侧面与底面所成的角分别为，则cos2cos2cos21.(3)设三个两两垂直的侧面形成的侧棱长分别为a，b，c，则这个四面体的外接球半径R.18(本题满分12分)设f(x)x2axb，求证：|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于.【证明】假设|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|，于是有1ab，42ab，93ab，得1104a2b1，所以384a2b1，所以42ab.这与42ab矛盾，所以假设不成立，即|f(1)|
11、，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于.19(本小题满分12分)已知ABC的三条边分别为a，b，c，且ab，求证：0，b0，所以10,1ab0.所以要证，只需证(1ab)(1)(ab)，只需证b，所以2ab，所以1，证明：f(m)，f(n)至少有一个不小于零；(2)若a，b为不相等的正实数且满足f(a)f(b)，求证：ab.【证明】(1)假设f(m)0，f(n)0，即m3m20，n3n20，n0，m10，n10，0m1,0n1，mn1矛盾，假设不成立，即f(m)，f(n)至少有一个不小于零(2)证明：由f(a)f(b)，得a3a2b3b2，a3b3a2b2，(ab)(a2abb2)(a
12、b)(ab)，ab，a2abb2ab，(ab)2(ab)ab2，(ab)2(ab)0，解得ab.22(本小题满分12分)如图3，在四棱锥PABCD中，PACD，ADBC，ADCPAB90，BCCDAD.图3(1)在平面PAD内找一点M，使得直线CM平面PAB，并说明理由；(2)证明：平面PAB平面PBD.【解】(1)取棱AD的中点M(M平面PAD)，点M即为所求的一个点理由如下：因为ADBC，BCAD，所以BCAM，且BCAM.所以四边形AMCB是平行四边形，所以CMAB.又AB平面PAB，CM平面PAB，所以CM平面PAB.(说明：取棱PD的中点N，则所找的点可以是直线MN上任意一点)(2)证明：由已知，PAAB，PACD，因为ADBC，BCAD，所以直线AB与CD相交，所以PA平面ABCD，所以PABD.因为ADBC，BCAD，M为AD的中点，连接BM，所以BCMD，且BCMD，所以四边形BCDM是平行四边形，所以BMCDAD，所以BDAB.又ABAPA，所以BD平面PAB.又BD平面PBD，所以平面PAB平面PBD.