1、第3讲函数的奇偶性与周期性考纲展示命题探究奇偶性的定义及图象特点奇函数偶函数定义如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x都有f(x)f(x)，那么函数f(x)是奇函数都有f(x)f(x)，那么函数f(x)是偶函数图象特点关于原点对称关于y轴对称注意点判断函数的奇偶性时需注意两点(1)对于较复杂的解析式，可先对其进行化简，再利用定义进行判断，同时应注意化简前后的等价性(2)所给函数的定义域若不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性.1思维辨析(1)函数具备奇偶性的必要条件是函数的定义域在x轴上是关于坐标原点对称的()(2)若函数f(x)为奇函数，则一定有f(0)0.()(3)若函数yf(xa
2、)是偶函数，则函数yf(x)关于直线xa对称()(4)若函数yf(xb)是奇函数，则函数yf(x)关于点(b,0)中心对称()(5)函数f(x)0，x(0，)既是奇函数又是偶函数()(6)若函数f(x)为奇函数，则a2.()答案(1)(2)(3)(4)(5)(6)2已知f(x)ax2bx是定义在a1,2a上的偶函数，那么ab的值是()A B.C.D答案B解析由已知得a12a0，得a，又f(x)为偶函数，f(x)f(x)，b0，所以ab.3下列函数为奇函数的是()Ay2xByx3sinxCy2cosx1Dyx22x答案A解析由函数奇偶性的定义知，B、C中的函数为偶函数，D中的函数为非奇非偶函数，
3、只有A中的函数为奇函数，故选A.考法综述判断函数的奇偶性是比较基础的问题，难度不大，常与函数单调性相结合解决求值和求参数问题，也与函数的周期性、图象对称性在同一个题目中出现主要以选择题和填空题形式出现，属于基础或中档题目命题法判断函数的奇偶性及奇偶性的应用典例(1)下列函数为奇函数的是()AyBy|sinx|CycosxDyexex(2)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是()Af(x)g(x)是偶函数B|f(x)|g(x)是奇函数Cf(x)|g(x)|是奇函数D|f(x)g(x)|是奇函数解析(1)因为函数y的定义域为0，)，不关
4、于原点对称，所以函数y为非奇非偶函数，排除A；因为y|sinx|为偶函数，所以排除B；因为ycosx为偶函数，所以排除C；因为yf(x)exex，f(x)exex(exex)f(x)，所以函数yexex为奇函数，故选D.(2)由题意可知f(x)f(x)，g(x)g(x)，对于选项A，f(x)g(x)f(x)g(x)，所以f(x)g(x)是奇函数，故A项错误；对于选项B，|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|f(x)|g(x)，所以|f(x)|g(x)是偶函数，故B项错误；对于选项C，f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|，所以f(x)|g(x)|是奇函数，故C项正确；对于选项D，|f(x
5、)g(x)|f(x)g(x)|f(x)g(x)|，所以|f(x)g(x)|是偶函数，故D项错误，选C.答案(1)D(2)C【解题法】判断函数奇偶性的方法(1)定义法(2)图象法1下列函数中，既是偶函数又存在零点的是()AycosxBysinxCyln xDyx21答案A解析ycosx是偶函数且有无数多个零点，ysinx为奇函数，yln x既不是奇函数也不是偶函数，yx21是偶函数但没有零点，故选A.2若函数f(x)是奇函数，则使f(x)3成立的x的取值范围为()A(，1)B(1,0)C(0,1)D(1，)答案C解析f(x)，由f(x)f(x)得，即1a2x2xa，化简得a(12x)12x，所以
6、a1，f(x).由f(x)3得0x0时，f(x)x24x，则不等式f(x)x的解集用区间表示为_答案(5,0)(5，)解析f(x)是定义在R上的奇函数，f(0)0.又当x0，f(x)x24x.又f(x)为奇函数，f(x)f(x)，f(x)x24x(x0时，由f(x)x得x24xx，解得x5；当x0时，f(x)x无解；当xx得x24xx，解得5xx的解集用区间表示为(5,0)(5，)8已知函数f(x)exex，其中e是自然对数的底数(1)证明：f(x)是R上的偶函数；(2)若关于x的不等式mf(x)exm1在(0，)上恒成立，求实数m的取值范围；(3)已知正数a满足：存在x01，)，使得f(x0
7、)0)，则t1，所以m对任意t1成立因为t11213，所以，当且仅当t2，即xln 2时等号成立因此实数m的取值范围是.(3)令函数g(x)exa(x33x)，则g(x)ex3a(x21)当x1时，ex0，x210，又a0，故g(x)0，所以g(x)是1，)上的单调增函数，因此g(x)在1，)上的最小值是g(1)ee12a.由于存在x01，)，使ex0ex0a(x3x0)0成立，当且仅当最小值g(1)0，故ee12a.令函数h(x)x(e1)ln x1，则h(x)1.令h(x)0，得xe1.当x(0，e1)时，h(x)0，故h(x)是(e1，)上的单调增函数所以h(x)在(0，)上的最小值是h
8、(e1)注意到h(1)h(e)0，所以当x(1，e1)(0，e1)时，h(e1)h(x)h(1)0；当x(e1，e)(e1，)时，h(x)h(e)0.所以h(x)0对任意的x(1，e)成立当a(1，e)时，h(a)0，即a1(e1)ln a，从而ea1h(e)0，即a1(e1)ln a，故ea1ae1.综上所述，当a时，ea1ae1.1周期函数对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(xT)f(x)，那么就称函数yf(x)为周期函数，称T为这个函数的周期2最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小
9、正周期注意点常见的有关周期的结论周期函数yf(x)满足：(1)若f(xa)f(xa)，则函数的周期为2a.(2)若f(xa)f(x)，则函数的周期为2a.(3)若f(xa)，则函数的周期为2a.1思维辨析(1)若函数f(x)满足f(0)f(5)f(10)，则它的周期T5.()(2)若函数f(x)的周期T5，则f(5)f(0)f(5)()(3)若函数f(x)关于xa对称，也关于xb对称，则函数f(x)的周期为2|ba|.()(4)函数f(x)在定义域上满足f(xa)f(x)(a0)，则f(x)是周期为a的周期函数()(5)函数f(x)为R上的奇函数，且f(x2)f(x)，则f(2016)0.()
10、答案(1)(2)(3)(4)(5)2已知f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意xR都有f(x4)f(x)f(2)，则f(2014)等于()A0B3C4D6答案A解析f(x)是定义在R上的偶函数，f(2)f(2)，f(24)f(2)f(2)f(2)2f(2)，f(2)0，f(2014)f(45032)f(2)503f(2)f(2)0，故选A.3设f(x)是周期为2的奇函数，当0x1时，f(x)2x(1x)，则f_.答案解析f(x)是周期为2的奇函数，当0x1时，f(x)2x(1x)，fff.考法综述函数周期性的考查在高考中主要以选择题、填空题形式出现常与函数的奇偶性、图象对称性结合考查，难度中档
11、命题法判断函数的周期性，利用周期性求值典例(1)若f(x)是R上周期为5的奇函数，且满足f(1)1，f(2)2，则f(8)f(4)的值为()A1B1C2D2(2)设函数f(x)(xR)满足f(x)f(x)sinx.当0x时，f(x)0，则f()A. B.C0D解析(1)由于f(x)周期为5，且为奇函数，f(8)f(53)f(3)f(52)f(2)f(2)2，f(4)f(51)f(1)f(1)1，f(8)f(4)2(1)1.(2)因为f(x2)f(x)sin(x)f(x)sinxsinxf(x)，所以f(x)的周期T2.又因为当0x时，f(x)0，所以f0，即ffsin0，所以f，所以fff.答
12、案(1)A(2)A【解题法】函数周期性的判定与应用(1)判定：判断函数的周期性只需证明f(xT)f(x)(T0)便可证明函数是周期函数，且周期为T.(2)应用：根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(kZ且k0)也是函数的周期1定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(x)，f(x2)f(x2)，且x(1,0)时，f(x)2x，则f(log220)()A1 B.C1D答案A解析由f(x2)f(x2)，得f(x4)f(x)，f(x)的周期T4，结合f(x)f(x)，有f(log220)f(1log210)f(log2103)
13、f(3log210)，3log210(1,0)，f(log220)23log2101.故选A.2函数f(x)lg |sinx|是()A最小正周期为的奇函数B最小正周期为2的奇函数C最小正周期为的偶函数D最小正周期为2的偶函数答案C解析易知函数的定义域为x|xk，kZ，关于原点对称，又f(x)lg |sin(x)|lg |sinx|lg |sinx|f(x)，所以f(x)是偶函数，又函数y|sinx|的最小正周期为，所以函数f(x)lg |sinx|是最小正周期为的偶函数故选C.3.已知函数f(x)是(，)上的奇函数，且f(x)的图象关于x1对称，当x0,1时，f(x)2x1，则f(2013)f
14、(2014)的值为()A2B1C0D1答案D解析函数f(x)为奇函数，则f(x)f(x)，又函数的图象关于x1对称，则f(2x)f(x)f(x)，f(4x)f(2x)2f(x2)f(x)f(x)的周期为4.又函数的图象关于x1对称，f(0)f(2)，f(2013)f(2014)f(1)f(2)f(1)f(0)2112011.故选D.4已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x1)f(x)，且在0,1)上单调递增，记af，bf(2)，cf(3)，则a，b，c的大小关系为()AabcBbacCbcaDacb答案A解析由题意得，f(x2)f(x1)f(x)，即函数f(x)是以2为周期的奇函数，所以f(
15、2)f(0)0.因为f(x1)f(x)，所以f(3)f(2)0.又f(x)在0,1)上是增函数，于是有ff(0)f(2)f(3)，即abc.故选A.5已知函数f(x)则f(2log23)的值为()A. B.C. D.答案A解析2log234，f(2log23)f(3log23)3log23log23.故选A.6若yf(x)既是周期函数，又是奇函数，则其导函数yf(x)()A既是周期函数，又是奇函数B既是周期函数，又是偶函数C不是周期函数，但是奇函数D不是周期函数，但是偶函数答案B解析因为yf(x)是周期函数，设其周期为T，则有f(xT)f(x)，两边同时求导，得f(xT)(xT)f(x)，即f
16、(xT)f(x)，所以导函数为周期函数因为yf(x)是奇函数，所以f(x)f(x)，两边同时求导，得f(x)(x)f(x)，即f(x)f(x)，所以f(x)f(x)，即导函数为偶函数，选B.判断f(x)x21，x2,2)的奇偶性错解错因分析忽视判断函数的奇偶性时对定义域的要求正解由于x2,2)，所以f(x)x21的定义域不关于原点对称，所以函数f(x)x21是非奇非偶函数心得体会时间：60分钟基础组1.2016冀州中学期末下列函数中，既是偶函数又在(，0)上单调递增的是()Ayx2By2|x|Cylog2Dysinx答案C解析函数yx2在(，0)上是减函数；函数y2|x|在(，0)上是减函数；
17、函数ylog2log2|x|是偶函数，且在(，0)上是增函数；函数ysinx不是偶函数综上所述，选C.2. 2016衡水中学预测函数f(x)asin2xbx4(a，bR)，若f2013，则f(lg 2014)()A2018B2009C2013D2013答案C解析g(x)asin2xbx，g(x)asin2xbx，g(x)g(x)，g(x)为偶函数，ff(lg 2014)，f(lg 2014)g(lg 2014)4g(lg 2014)4f(lg 2014)2013，故选C.32016枣强中学热身若函数f(x)(xR)是奇函数，函数g(x)(xR)是偶函数，则一定成立的是()A函数f(g(x)是奇
18、函数B函数g(f(x)是奇函数C函数f(f(x)是奇函数D函数g(g(x)是奇函数答案C解析由题得，函数f(x)，g(x)满足f(x)f(x)，g(x)g(x)，则有f(g(x)f(g(x)，g(f(x)g(f(x)g(f(x)，f(f(x)f(f(x)f(f(x)，g(g(x)g(g(x)，可知函数f(f(x)是奇函数，故选C.42016衡水中学猜题定义域为(，0)(0，)的函数f(x)不恒为0，且对于定义域内的任意实数x，y都有f(xy)成立，则f(x)()A是奇函数，但不是偶函数B是偶函数，但不是奇函数C既是奇函数，又是偶函数D既不是奇函数，又不是偶函数答案A解析令xy1，则f(1)，f
19、(1)0.令xy1，则f(1)，f(1)0.令y1，则f(x)，f(x)f(x)f(x)是奇函数又f(x)不恒为0，f(x)不是偶函数故选A.52016衡水中学一轮检测设偶函数f(x)满足f(x)x38(x0)，则x|f(x2)0()Ax|x4Bx|x4Cx|x6Dx|x2答案B解析当x0，f(x)是偶函数，f(x)f(x)x38.f(x)f(x2)由f(x2)0，得或解得x4或x0.故选B.6. 2016冀州中学模拟已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x4)f(x)，且在区间0,2上是增函数，则()Af(25)f(11)f(80)Bf(80)f(11)f(25)Cf(11)f(80)f(2
20、5)Df(25)f(80)f(11)答案D解析由函数f(x)是奇函数且f(x)在0,2上是增函数可以推知，f(x)在2,2上递增，又f(x4)f(x)f(x8)f(x4)f(x)，故函数f(x)以8为周期，f(25)f(1)，f(11)f(3)f(34)f(1)，f(80)f(0)，故f(25)f(80)1，f(2014)，则实数a的取值范围是_答案解析f(2014)f(1)f(2)f(2)1，1，解得1a.112016衡水二中热身设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且满足：f(x)f(2x)；当0x1时，f(x)x2.(1)判断函数f(x)是否为周期函数；(2)求f(5.5)的值解(1)由f
21、(x)f(2x)f(x)f(x2)f(x)是周期为2的周期函数(2)f(5.5)f(41.5)f(1.5)f(21.5)f(0.5)0.25.122016武邑中学期末已知函数f(x)的定义域为(2,2)，函数g(x)f(x1)f(32x)(1)求函数g(x)的定义域；(2)若f(x)为奇函数，并且在定义域上单调递减，求不等式g(x)0的解集解(1)由题意可知解得x，故函数g(x)的定义域为.(2)由g(x)0得f(x1)f(32x)0.f(x1)f(32x)又f(x)为奇函数，f(x1)f(2x3)，而f(x)在(2,2)上单调递减，解得x2，不等式g(x)0的解集为.能力组13.2016衡水
22、二中预测已知yf(x)是偶函数，而yf(x1)是奇函数，且对任意0x1，都有f(x)0，则af，bf，cf的大小关系是()AcbaBcabCacbDabc答案B解析因为yf(x)是偶函数，所以f(x)f(x)，因为yf(x1)是奇函数，所以f(x)f(2x)，所以f(x)f(2x)，即f(x)f(x4)所以函数f(x)的周期为4.又因为对任意0x1，都有f(x)0，所以函数在0,1上单调递增，又因为函数yf(x1)是奇函数，所以函数在0,2上单调递增，又aff，bff，cfff，所以fff，即ca3对任意xR恒成立，求实数m的取值范围解(1)若f(x)在R上为奇函数，则f(0)0，令xy0，则
23、f(00)f(0)f(0)k，k0.证明：令ab0，由f(ab)f(a)f(b)，得f(00)f(0)f(0)，即f(0)0.令ax，bx，则f(xx)f(x)f(x)，又f(0)0，则有0f(x)f(x)，即f(x)f(x)对任意xR成立，f(x)是奇函数(2)f(4)f(2)f(2)15，f(2)3.f(mx22mx3)3f(2)对任意xR恒成立又f(x)是R上的增函数，mx22mx32对任意xR恒成立，即mx22mx10对任意xR恒成立，当m0时，显然成立；当m0时，由得0m0时，f(x)0，又f(1)2.(1)判断f(x)的奇偶性； (2)求证：f(x)是R上的减函数；(3)求f(x)
24、在区间3,3上的值域；(4)若xR，不等式f(ax2)2f(x)f(x)4恒成立，求a的取值范围解(1)取xy0，则f(00)2f(0)，f(0)0.取yx，则f(xx)f(x)f(x)，f(x)f(x)对任意xR恒成立，f(x)为奇函数(2)证明： 任取x1，x2(，)，且x10，f(x2)f(x1)f(x2x1)0，f(x2)f(x2)f(x)是R上的减函数(3)由(2)知f(x)在R上为减函数，对任意x3,3，恒有f(3)f(x)f(3)，f(3)f(2)f(1)f(1)f(1)f(1)236，f(3)f(3)6，f(x)在3,3上的值域为6,6(4)f(x)为奇函数，整理原式得f(ax2)f(2x)f(x)f(2)，则f(ax22x)x2，当a0时，2xx2在R上不是恒成立，与题意矛盾；当a0时，ax22xx20，要使不等式恒成立，则98a；当a0在R上不是恒成立，不合题意综上所述，a的取值范围为.