1、二十五函数奇偶性的应用【基础全面练】(15分钟35分)1.(2021芜湖高一检测)若偶函数f(x)在上为增函数且有最小值0，则它在上()A为减函数，有最大值0B为增函数，有最大值0C为减函数，有最小值0D为增函数，有最小值0【解析】选C.因为偶函数f(x)在1，3上为增函数，且有最小值0，所以函数f(x)在3，1上为减函数，且有最小值0.2已知函数yf(x)为偶函数，且当x0时，f(x)x22x3，则当x0时，f(x)的解析式是()Af(x)x22x3Bf(x)x22x3Cf(x)x22x3 Df(x)x22x3【解析】选C.若x0，因为当x0时，f(x)x22x3，所以f(x)x22x3，因
2、为函数f(x)是偶函数，所以f(x)x22x3f(x)，所以当x0时，由f(x)0f(3)，得0x3，当x0时，由f(x)0f(3)，所以x3，当x0时，f(x)0不符合题意，故f(x)f(1x)的解集为_【解析】依题意，f(x)为偶函数，当x0时，f(x)单调递增，要满足f(2x)f(1x)，则要求|2x|1x|，两边平方得4x212xx2，即3x22x10，即(x1)(3x1)0，解得x(，1).答案：(，1)6(2021马鞍山高一检测)已知yf(x)是定义域为R的奇函数，当x0，)时，f(x)x24x.(1)求函数yf(x)的解析式；(2)若函数yf(x)在区间(t，t1)上是单调函数，
3、求t的取值范围【解析】(1)当x0，)时，f(x)x24x，又因为yf(x)为奇函数，则任取x(，0)时，x(0，)，f(x)f(x)x24x，所以f(x)(2)由(1)知由图可知，yf(x)在(，2)，(2，)上单调递减， 在2，2上单调递增，因为函数yf(x)在区间(t，t1)上是单调函数，当t12，即t3时，函数yf(x)在区间t，t1上单调递减；当2t且t12，即2t1时，函数yf(x)在区间t，t1上单调递增；当t2时，函数yf(x)在区间t，t1上单调递减综上，t3或t2时，函数yf(x)在区间t，t1上单调递减；当2t1时，函数yf(x)在区间t，t1上单调递增即t的取值范围是t
4、3或t2或2t1.【综合突破练】(30分钟60分)一、单选题(每小题5分，共20分)1函数y|x1|的图像是()【解析】选A.根据函数的定义域为x|x0可知选项B，选项C不正确；根据函数y|x1|的值恒正，可知选项D不正确2函数f(x)是定义在实数集R上的偶函数，且在0，)上是增函数，f(3)1 Ba1或a2 D1a2【解析】选C.因为函数f(x)在实数集R上是偶函数，且f(3)f(2a1)，所以f(3)f(|2a1|)，又函数f(x)在0，)上是增函数，所以31或a2.3定义在R上的奇函数f(x)，满足f0，且在(0，)上单调递减，则不等式xf(x)0的解为()ABCD【解析】选C.因为函数
5、f(x)是奇函数，在(0，)上单调递减，且f0，所以f0，且在区间(，0)上单调递减，因为当x0时，f(x)0，此时xf(x)0，当0x时，f(x)0，此时xf(x)0，综上，xf(x)0的解集为x|0x或x04(2021兰州高一检测)函数f(x)的定义域为R，对任意的x1，x2，有0，且函数f为偶函数，则()Af(1)f(2)f(3)Bf(3)f(2)f(1)Cf(2)f(3)f(1)Df(2)f(1)f(3)【解析】选C.因为对任意的x1，x2，有0，所以对任意的x1，x2，x2x1与f(x2)f(x1)均为异号，所以f(x)在1，)上单调递减，又函数f为偶函数，即f(x1)f(1x)，所
6、以f(2)f(4)，所以f(2)f(4)f(3)f(1).则下列各式中一定成立的是()Af(3)f(1) Bf(0)f(5)Cf(1)f(0)【解析】选AC.因为f(x)为偶函数，所以f(3)f(3)，f(1)f(1)，又f(3)f(1)，所以f(3)f(1)，f(3)f(1)都成立6已知狄利克雷函数f(x)则下列结论正确的是()Af(x)的值域为0，1Bf(x)的定义域为RCf(x1)f(x)Df(x)是奇函数【解析】选BC.对于A，f(x)的值域为0，1，故A错误对于B，f(x)的定义域为R，故B正确对于C，当x是有理数时，x1也为有理数；当x是无理数时，x1也为无理数，故f(x1)f(x
7、)成立，故C正确对于D, 因为f(0)1，故D错误三、填空题(每小题5分，共10分)7偶函数f(x)在(0，)内的最小值为2 020，则f(x)在(，0)上的最小值为_【解析】由于偶函数的图像关于y轴对称，所以f(x)在对称区间内的最值相等又当x(0，)时，f(x)min2 020，故当x(，0)时，f(x)min2 020.答案：2 0208(2021潍坊高一检测)函数yf(x)是定义在R上的增函数，函数yf(x2)的图像关于点(2，0)对称，则满足f(4x4)f(x2x)0的实数x的取值范围为_【解析】函数yf(x2)的图像关于点(2，0)对称，则函数yf(x)的图像关于点(0，0)对称，
8、即yf(x)为奇函数，满足f(x)f(x).所以f(4x4)f(x2x)0，f(4x4)f(x2x)f(4x4)f(x2x)，又因为yf(x)是定义在R上的增函数，所以4x4x2x4x1.答案：(4，1)四、解答题(每小题10分，共20分)9设函数f(x)是R上的奇函数，当x0时，f(x)x24x.(1)求f(x)的表达式(2)证明f(x)在区间(0，)上是增函数【解析】(1)当x0，所以f(x)(x)24(x)x24x.因为f(x)是奇函数，所以f(x)f(x)，所以f(x)f(x)(x24x)x24x(x0)，所以f(x)(2)设任意的x1，x2(0，)，且x1x2，则f(x2)f(x1)
9、(x4x2)(x4x1)(x2x1)(x2x14).因为0x10，x2x140，所以f(x2)f(x1)0，所以f(x1)f(x2)，所以f(x)是(0，)上的增函数10已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时f(x)x22x.(1)求函数f(x)的解析式(2)若对任意实数m，f(m1)f(m2t)0恒成立，求实数t的取值范围【解析】(1)当x0时，x0，又因为f(x)为奇函数，所以f(x)f(x)(x22x)x22x，所以f(x)；(2)f(m1)f(m2t)0，所以f(m1)f(m2t)，又f(x)是奇函数，所以f(m1)f(tm2)，又因为f(x)为R上的单调递减函数，所以m1tm2恒
10、成立，所以tm2m1恒成立，所以t，即实数t的范围为.【应用创新练】1函数f(x)是一个偶函数，g(x)是一个奇函数，且f(x)g(x)，则f(x)等于()A BC D【解析】选A.由题知f(x)g(x)以x代x，式得f(x)g(x)，即f(x)g(x)得f(x).2已知函数f(x)x22ax1.(1)若f(1)2，求实数a的值，并求此时函数f(x)的最小值(2)若f(x)为偶函数，求实数a的值(3)若f(x)在(，4上单调递减，求实数a的取值范围【解析】(1)由题意可知，f(1)12a12，即a1，此时函数f(x)x22x1(x1)222，故当x1时，函数f(x)min2.(2)若f(x)为偶函数，则对任意xR，f(x)(x)22a(x)1f(x)x22ax1，化简得，4ax0，故a0.(3)函数f(x)x22ax1的单调递减区间是(，a，而f(x)在(，4上单调递减，所以4a，即a4，故实数a的取值范围为(，4.