1、二十三 函数的最大值、最小值【基础全面练】(15 分钟35 分)1.(2021南昌高一检测)已知函数 f(x)1x 在1，2上的最大值为 A，最小值为 B，则 AB 等于()A12 B12 C1 D1【解析】选 A.函数 f(x)1x 在1，2上是减函数，所以 x1 时，f(x)的最大值为 1，即 A1，x2 时，f(x)的最小值为12，即 B12，则 AB112 12.2已知：f(x)x 1x，则()Af(x)max 2，f(x)无最小值Bf(x)min1，f(x)无最大值Cf(x)max1，f(x)min1Df(x)max1，f(x)min0【解析】选 C.f(x)x 1x 的定义域为0，
2、1，因为 f(x)在0，1上单调递增，所以 f(x)max1，f(x)min1.3(2021昆明高一检测)已知 f(x)x2axa2 在0，1上的最大值为 g(a)，则 g(a)的最小值为()A0 B12C1 D2【解析】选 B.因为 f(x)x2axa2 图像的开口向上，对称轴为 xa2，a2 12 即 a1 时，此时函数取得最大值 g()af(1)1a2，当a2 12 即 a1 时，此时函数取得最大值 g()af()0a2，故 g()a1a2，a1a2，a1，故当a1 时，g()a取得最小值12.4函数 yf(x)的定义域为4，6，且在区间4，2上递减，在区间2，6上递增，且f(4)f(6
3、)，则函数 f(x)的最小值是_，最大值是_【解析】因为函数 yf(x)在区间4，2上递减，在区间2，6上递增，所以 f(x)的最小值是 f(2)，又因为 f(4)f(6)，所以 f(x)的最大值是 f(6).答案：f(2)f(6)5当 0 x2 时，ax22x 恒成立，则实数 a 的取值范围是_.【解析】ax22x 恒成立，即 a 小于函数 f(x)x22x，x0，2的最小值，而 f(x)x22x，x0，2的最小值为 0，所以 a0.答案：(，0)【补偿训练】(2020重庆高一检测)已知函数 f(x)2x2mx3(0m4，0 x1)的最大值为 4，则 m 的值为_【解析】f(x)2x2mx3
4、2xm42m283，0m4，所以 0m4 1，所以当 xm4 时，f(x)取得最大值，所以m2834，解得 m2 2.答案：2 26利用函数的平均变化率证明函数 y 3x2 在区间0，5上是减函数【证明】设 0 x1，x25，且 x1x2，则 f(x2)f(x1)3x22 3x123（x1x2）（x12）（x22），所以fx 3（x12）（x22），又由 0 x1，x25，且 x1x2，则 x120，x220，所以fx 0，则函数 y 3x2 在0，5上是减函数，则函数 f(x)在区间0，5上的最小值为 f(5)37，最大值为 f(0)32.【综合突破练】(30 分钟60 分)一、单选题(每小
5、题 5 分，共 20 分)1(2021成都高一检测)已知函数 f(x)kx24x8 在5，10上单调递减，且 f(x)在5，10上的最小值为32，则实数 k 的值为()A45 B0 C0 或45 D0 或17【解析】选 B.由函数 f(x)kx24x8 在5，10上单调递减可知，当 x10 时，函数有最小值，即 100k40832，解得 k0，当 k0 时，f(x)4x8，函数单调递减，满足题意2若函数 f(x)x2axb 在区间0，1上的最大值是 M，最小值是 m，则 Mm 的值()A与 a 有关，且与 b 有关B与 a 有关，但与 b 无关C与 a 无关，且与 b 无关D与 a 无关，但与
6、 b 有关【解析】选 B.因为最值在 f(0)b，f(1)1ab，fa2ba24 中取，所以最值之差一定与 b 无关，与 a 有关3某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为 L1x221x 和 L22x，其中 x 为销售量(单位：辆).若该公司在两地共销售 15 辆，则能获得的最大利润为()A90 万元B60 万元C120 万元D120.25 万元【解析】选 C.设公司在甲地销售 m 辆，则在乙地销售(15m)辆，设两地销售的利润之和为 y 万元，则 ym221m2(15m)m219m30.由题意知，m0，15m0.所以 0m15，且 mZ.当 m192（1）9.5 时，
7、y 值最大，因为 mZ，所以取 m9 或 10.当 m9 时，y120，当 m10 时，y120.综上可知，公司获得的最大利润为 120 万元4(2021长春高一检测)对任意 a1，1，函数 f()xx2()a4x42a 的值恒大于零，则 x 的取值范围是()A1x3 Bx3C1x2 Dx2【解析】选 B.对任意 a1，1，函数 f()xx2()a4x42a 的值恒大于零，设 g()a()x2ax24x4，即 g()a0 在 a1，1上恒成立g()a在 a1，1上是关于 a 的一次函数或常数函数，其图像为一条线段则只需线段的两个端点在 x 轴上方，即g()1 x25x60g()1 x23x20
8、，解得 x3 或 x1.二、多选题(每小题 5 分，共 10 分，全部选对得 5 分，选对但不全的得 3 分，有选错的得 0 分)5下列函数中，值域是0，)的是()Ay|x|By3xCyx2Dyx24【解析】选 AC.y|x|的值域是0，)；y3x 的值域是 R；yx2 的值域是0，)；yx24 的值域是(，4，故选 AC.6设 c0，f(x)是区间a，b上的减函数，下列结论中正确的是()Af(x)在区间a，b上有最小值 f(a)B1f（x）在a，b上有最小值 f(a)Cf(x)c 在a，b上有最小值 f(b)cDcf(x)在a，b上有最小值 cf(a)【解析】选 CD.A 中，f(x)是区间
9、a，b上的减函数，在区间a，b上有最小值 f(b)，A 错误；B 中，f(x)是区间a，b上的减函数，而函数1f（x）在a，b上单调性无法确定，其最小值无法确定，B 错误；C 中，f(x)是区间a，b上的减函数，f(x)c 在区间a，b上也是减函数，其最小值为 f(b)c，C 正确；D 中，f(x)是区间a，b上的减函数，且 c0，则 cf(x)在区间a，b上是增函数，则在a，b上有最小值 cf(a)，D 正确三、填空题(每小题 5 分，共 10 分)7(2021 宁波高一检测)函数 y2x24x 的最大值是_，单调递增区间是_【解析】函数 y2 x24x 2（x2）24，可得 x2 时，函数
10、 y 取得最大值224；由 4xx20，可得 0 x4，由 tx24x 在0，2上为增函数，y2 t 在0，)上为增函数，可得函数 y2 x24x 的单调递增区间为0，2.答案：4 0，28当 x(1，2)时，不等式 x2mx40 恒成立，则 m 的取值范围是_【解析】当 x(1，2)时，不等式 x2mx40 可化为 mx4x，又函数 f(x)x4x在(1，2)上递增，则 f(x)5，则 m5.答案：(，5四、解答题(每小题 10 分，共 20 分)9(2021芜湖高一检测)已知函数 f(x)x4x.(1)试证明函数 f(x)在(0，2)上单调递减；(2)求函数 f(x)在12，4上的值域【解
11、析】(1)任取 x1，x2(0，2)且 x1x2，则 f(x1)f(x2)x14x1x24x2(x1x2)4x1 4x2(x1x2)4（x2x1）x1x2(x1x2)1 4x1x2，又 0 x1x22，所以 x1x20，0 x1x24，1 4x1x2 0，则 f(x1)f(x2)0，即 f(x1)f(x2)，故函数 f(x)x4x 在 x(0，2)上单调递减(2)任取 x1，x22，)且 x1x2，由(1)可知，f(x1)f(x2)(x1x2)1 4x1x20，即 f(x)在2，)上单调递增，又 f(x)在(0，2)上单调递减，其中 f 12172，f(2)4，f(4)5，所以 f(x)在区间
12、12，4上的值域为4，172.10已知函数 f(x)x2(2a1)x3.(1)当 a2，x2，3时，求函数 f(x)的值域(2)若函数 f(x)在1，3上的最大值为 1，求实数 a 的值【解析】(1)当 a2 时，f(x)x23x3x322214，对称轴为 x32，所以函数在2，32上单调递减，在32，3上单调递增，所以 f32f(x)f(3)，f(3)15，f32214，所以该函数的值域为214，15.(2)函数 f(x)x2(2a1)x3 的对称轴是 x12 a.当12 a1 时，函数 f(x)在1，3上的最大值为 f(1)2a11，所以 a1；当12 a1 时，函数 f(x)在1，3上的
13、最大值为 f(3)6a31，所以 a13，综上所述 a13 或 a1.【补偿训练】设函数 f(x)x2ax5a，x2，ax5，x0，求实数 a 的取值范围(2)在(1)的条件下，求 g(x)x24ax3 在区间1，3上的最小值 h(a).【解析】(1)由题意函数在定义域上为增函数，则实数 a 应满足a22，a0，222a5a2a5，解得 1a4.(2)g(x)x24ax3(x2a)234a2，其图像的对称轴 x2a，由(1)得 22a8.当 22a3，即 1a32 时，h(a)g(2a)34a2；当 32a8，即32 a4 时，h(a)g(3)1212a.综上 h(a)34a2，1a32，1212a，320，即 a0 时，g(a)f(x)maxf(1)a2a2.所以 g(a)a2a2，a0，a2a2，a0.(2)假设存在符合题意的实数 m，n，则由(1)可知，函数 g(a)的图像如图所示，故 g(a)2，又 g(a)5m，5n，所以 0mn.又 g(a)在(0，)上是增函数，所以g（m）m2m25m，g（n）n2n25n，所以 m，n 是方程 x2x25x，即 x24x20 的两根，解得 m2 2，n2 2.