1、单元质检五平面向量、数系的扩充与复数的引入(时间:45分钟满分:100分)一、选择题(本大题共12小题,每小题6分,共72分)1.(2020广西柳州模拟)已知复数z=5+i1-i(i为虚数单位),则在复平面内z所对应的点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案:A解析:因为z=5+i1-i=(5+i)(1+i)(1-i)(1+i)=4+6i2=2+3i,所以在复平面内z所对应的点为(2,3),在第一象限.故选A.2.在平行四边形ABCD中,E为CD的中点,F为AE的中点.设AB=a,AD=b,则FB=()A.-34a+12bB.12a+34bC.12a-34bD.34a-12
2、b答案:D解析:FB=AB-AF=AB-12AE=AB-12AD+12AB=34AB-12AD=34a-12b.3.已知向量a,b的夹角为2,且a=(2,-1),|b|=2,则|a+2b|=()A.23B.3C.21D.41答案:C解析:|a+2b|2=(a+2b)2=a2+4ab+4b2=|a|2+4ab+4|b|2=5+44=21,|a+2b|=21.4.已知菱形ABCD的边长为a,ABC=60,则BDCD=()A.-32a2B.-34a2C.34a2D.32a2答案:D解析:如图,设BA=a,BC=b,则BDCD=(BA+BC)BA=(a+b)a=a2+ab=a2+aacos60=a2+
3、12a2=32a2.5.已知复数z=a+a+i3-i(aR,i为虚数单位),若复数z的共轭复数的虚部为-12,则复数z在复平面内对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案:A解析:由题意,得z=a+a+i3-i=a+(a+i)(3+i)(3-i)(3+i)=13a-110+(a+3)i10,z=13a-110-(a+3)i10.又复数z的共轭复数的虚部为-12,-a+310=-12,解得a=2.z=52+12i,复数z在复平面内对应的点位于第一象限.6.已知向量OA=(2,2),OB=(4,1),在x轴上存在一点P使APBP有最小值,则点P的坐标是()A.(-3,0)
4、B.(2,0)C.(3,0)D.(4,0)答案:C解析:设点P坐标为(x,0),则AP=(x-2,-2),BP=(x-4,-1),APBP=(x-2)(x-4)+(-2)(-1)=x2-6x+10=(x-3)2+1.当x=3时,APBP有最小值1.点P坐标为(3,0).7.(2020全国,文5)已知单位向量a,b的夹角为60,则在下列向量中,与b垂直的是()A.a+2bB.2a+bC.a-2bD.2a-b答案:D解析:由题意可知,ab=|a|b|cos60=12.对于A,(a+2b)b=ab+2b2=520,不符合题意;对于B,(2a+b)b=2ab+b2=20,不符合题意;对于C,(a-2b
5、)b=ab-2b2=-320,不符合题意;对于D,(2a-b)b=2ab-b2=0,故2a-b与b垂直.故选D.8.如图,在正方形ABCD中,E为BC的中点,F为AE的中点,则DF=()A.-12AB+34ADB.12AB+23ADC.13AB-12ADD.12AB-34AD答案:D解析:由题意,得DF=AF-AD,AE=AB+BE.E为BC的中点,F为AE的中点,AF=12AE,BE=12BC.DF=AF-AD=12AE-AD=12(AB+BE)-AD=12AB+14BC-AD.又BC=AD,DF=12AB-34AD.9.已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,且向量a,b的夹角为4.若a
6、-b与b垂直,则实数的值为()A.-12B.12C.-24D.24答案:D解析:因为a-b与b垂直,且ab=12cos4=2,所以(a-b)b=2-4=0,解得=24,故选D.10.已知向量OB=(2,0),向量OC=(2,2),向量CA=(2cos ,2sin ),则向量OA与向量OB的夹角的取值范围是()A.0,4B.4,512C.512,2D.12,512答案:D解析:由题意,得OA=OC+CA=(2+2cos,2+2sin),所以点A的轨迹是圆(x-2)2+(y-2)2=2,如图,当A为直线OA与圆的切点时,向量OA与向量OB的夹角分别达到最大值和最小值,故选D.11.在平行四边形AB
7、CD中,AB=3,AD=2,AP=13AB,AQ=12AD,若CPCQ=12,则ADC=()A.56B.34C.23D.2答案:C解析:因为CP=BP-BC=-23AB-AD,CQ=DQ-DC=-12AD-AB,所以CPCQ=-23AB-AD-12AD-AB=239+4332cosBAD+124=8+8cosBAD=12,所以cosBAD=12,BAD=3,ADC=23.12.已知|OA|=|OB|=2,点C在线段AB上,且|OC|的最小值为1,则|OA-tOB|(tR)的最小值为()A.2B.3C.2D.5答案:B解析:依题意,可将点A,B置于圆x2+y2=4上;由点C在线段AB上,且|OC
8、|的最小值为1,得原点O到线段AB的距离为1,AOB=180-230=120,(OA-tOB)2=4+4t2-2t22cos120=4t2+4t+4=4t+122+3的最小值为3,因此|OA-tOB|的最小值为3.二、填空题(本大题共4小题,每小题7分,共28分)13.复数z=11+i(i为虚数单位),则|z|=.答案:22解析:|z|=1|1+i|=12=22.14.在矩形ABCD中,AB=2,BC=1,E为BC的中点.若F为该矩形内(含边界)任意一点,则AEAF的最大值为.答案:92解析:以A为坐标原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,则E2,12.设F(x,y
9、),则0x2,0y1,则AEAF=2x+12y,令z=2x+12y,当z=2x+12y过点(2,1)时,AEAF取最大值92.15.已知两个单位向量a和b的夹角为120,则a+b在b方向上的投影为.答案:12解析:设向量a+b与b的夹角为.因为(a+b)b=ab+b2=12,所以|a+b|cos=(a+b)b|b|=12.16.在平面直角坐标系中,已知A(1,0),B(0,-1),P是曲线y=1-x2上的一个动点,则BPBA的取值范围是.答案:0,2+1解析:如图,画出函数y=1-x2的图象.这是以O(0,0)为圆心,以1为半径的一个半圆.不妨用虚线把这个半圆补充为一个圆.设BP与BA的夹角为,则0,2.当0,4时,cos4-=|BP|2,当4,2时,cos-4=|BP|2.因为y=cosx,xR是偶函数,所以|BP|=2cos-4,0,2.BPBA=|BP|BA|cos=22cos-4cos=2cos2+2sincos=sin2+cos2+1=2sin2+4+1.因为0,2,所以2+44,54.当2+4=2,即=8时,BPBA取最大值2+1,当2+4=54,即=2时,BPBA取最小值0,所以BPBA的取值范围是0,2+1.