1、等比数列的前n项和(30分钟60分)一、选择题(每小题5分，共30分)1已知等比数列的前n项和为Sn，a22，公比q2，则S5等于()A32 B31 C16 D15【解析】选B.因为等比数列的前n项和为Sn，a22，公比q2，所以a11，又因为Sn，所以S531.2在等比数列中，若a1a5，前四项的和S45，则a4()A1 B1 C D【解析】选A.根据题意，设等比数列的公比为q，若a1a5，即a1，若其前四项的和S45，则有S45，解可得q，又由a1，则a18，则a4a1q3(8)31.3已知an是正项等比数列，a1a23，a3a412，则该数列的前5项和等于()A15 B31 C63 D1
2、27【解析】选B.设正项等比数列an的公比为q(q0)，因为a1a23，a3a412，即，解得a11，q2，所以数列an的前5项和为S531.4在等比数列an中，已知S3013S10，S10S30140，则S20等于()A90 B70 C40 D30【解析】选C.因为S303S10，所以q1.由得所以所以q20q10120，所以q103，所以S20S10(1q10)10(13)40.5已知Sn是等比数列an的前n项和，若存在mN*，满足9，则数列an的公比为()A2 B2 C3 D3【解析】选B.设公比为q，若q1，则2，与题中条件矛盾，故q1.因为qm19，所以qm8.所以qm8，所以m3，
3、所以q38，所以q2.6记等比数列an的前n项和为Sn，若S32，S618，则等于()A3 B5 C31 D33【解析】选D.由题意知公比q1，1q39，所以q2，1q512533.二、填空题(每小题5分，共10分)7已知等比数列的前n项和为Sn3n1t，则数列的通项公式an_.【解析】由Sn3n1t得当n1时，a1S132t9t，当n2时，a1a2S233t27t，9ta227t，所以a218当n3时，a3S3S2343354，因为数列是等比数列，所以aa3a1，即181854，所以t3，a16，公比q3，所以ana1qn163n123n.答案：an23n8已知首项为1的等比数列an是摆动数
4、列，Sn是an的前n项和，且5，则数列的前5项和为_【解析】1q25，q2.因为an是摆动数列，所以q2.所以首项为1，公比为，前5项和为.答案：三、解答题(每小题10分，共20分)9已知数列an是一个递增的等比数列，且a1a49，a2a38，求数列an的前n项和Sn.【解析】因为an是递增的等比数列，由a1a49，a2a3a1a48，得a11，a48，所以q38，所以q2，所以Sn2n1.10已知an是以a为首项，q为公比的等比数列，Sn为它的前n项和(1)当S1，S3，S4成等差数列时，求q的值；(2)当Sm，Sn，Sl成等差数列时，求证：对任意自然数k，amk，ank，alk也成等差数列
5、【解析】(1)由已知，得anaqn1，因此S1a，S3a(1qq2)，S4a(1qq2q3).当S1，S3，S4成等差数列时，S4S3S3S1，可得aq3aqaq2，化简得q2q10.解得q.(2)若q1，则an的各项均为a，此时amk，ank，alk显然成等差数列若q1，由Sm，Sn，Sl成等差数列可得SmSl2Sn，即，整理得qmql2qn.因此amkalkaqk1(qmql)2aqnk12ank，所以amk，ank，alk成等差数列(35分钟70分)一、选择题(每小题5分，共20分)1等比数列的前n项和为Sn，且4a1，2a2，a3成等差数列若a11，则S3()A15 B7 C8 D16
6、【解析】选B.设等比数列的公比为q，由于4a1，2a2，a3成等差数列，所以4a24a1a3，即4a1q4a1a1q2，q24q40，20，q2，所以S37.2中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”则该人第五天走的路程为()A6里 B12里 C24里 D48里【解析】选B.记每天走的路程里数为an，由已知an是公比为的等比数列，由S6378，解得a1192，所以a519212(里)
7、.【补偿训练】(2017全国卷)我国古代数学 名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯()A1盏B3盏C5盏D9盏【解析】选B.塔的顶层共有灯x盏，则各层的灯数构成一个公比为2的等比数列，由381，得x3. 3在等比数列an中，对任意nN*，a1a2an2n1，则aaa等于()A(2n1)2 B C4n1 D【解析】选D.因为a1a2an2n1，所以a12111.因为a1a21a22213，所以a22，所以an的公比为2.所以a的公比为4，首项为
8、a1.所以aaa.4已知某数列的前n项和Snan3(a为非零实数)，则此数列为()A等比数列B从第二项起成等比数列C当a1时为等比数列D从第二项起的等比数列或等差数列【解析】选D.Snan3(a为非零实数)，当n1时，a1S1a3.当n2时，anSnSn1an3an13an1(a1)，上式对n1不成立当a1时，a12，an0，n2.当a0，且a1时，a1a3，anan1(a1)，n2.综上可得此数列为从第二项起的等比数列或等差数列二、填空题(每小题5分，共20分)5(2019全国卷)记Sn为等比数列an的前n项和若a1，aa6，则S5_【解析】设等比数列的公比为q，由已知a1，aa6，所以(q
9、3)2q5，又q0，所以q3，所以S5.答案：6数列an满足：a1，且an1(nN*)，则_【解析】由题意可知，即1，又1，所以1，所以nn，则2 0182 017.答案：2 0177已知数列an的前n项和Sn3(2n1)，数列bn的通项公式为bn5n2.数列an和bn的所有公共项按从小到大的顺序构成数列cn若数列cn的第n项恰为数列an的第kn项，则数列kn的前32项的和是_【解析】当n2时，anSnSn13(2n1)3(2n11)32n1，当n1时，a1S13，所以an32n1.令atbs，所以32t15s2，则st1，s1，符合题意；t2，s，不合题意；t3，s，不合题意；t4，s，不合
10、题意；t5，s10，符合题意；所以kn是以1为首项，4为公差的等差数列，所以数列kn的前32项之和为32142 016.答案：2 0168已知an是公差为3的等差数列，数列bn满足b11，b2，anbn1bn1nbn.则an的通项公式为_； bn的前n项和Sn_【解析】由已知，a1b2b2b1，b11，b2，得a12.所以数列an是首项为2，公差为3的等差数列，通项公式为an3n1.结合anbn1bn1nbn得bn1，因此bn是首项为1，公比为的等比数列则Sn.答案：an3n1(nN*)(nN*)三、解答题(每小题10分，共30分)9已知数列an满足an13an2(nN*)，且a12.(1)求
11、证：数列an1是等比数列(2)求数列an的前n项和Sn.【解析】(1)因为3，a113，所以an1是首项为3，公比为3的等比数列(2)由(1)可得an13n，所以an3n1.Snnn.10已知等差数列an满足a74，a116.(1)求an的通项公式an.(2)设等比数列bn满足b1a3，b4a31，求bn的前n项和Tn.【解析】(1)由题意，设等差数列的公差为d，可得，解得，故an的通项公式an1.(2)由(1)得b1a32，b4a3116.设bn的公比为q，则q38，所以q2，所以数列bn的前n项和为Tn2n12.11设是等比数列，其前n项的和为Sn，且a22，S23a10. (1)求的通项公式；(2)若Snan48，求n的最小值【解析】(1)设的公比为q，因为S23a10，所以a22a10，所以q2，又a22，所以a11，所以ana1qn12n1.(2)因为Sn2n1，所以Snan2n12n132n11，由32n1148，得32n149，即2n1，解得n6，所以n的最小值为6.