1、等差数列习题课(30分钟60分)一、选择题(每小题5分，共30分，多选题全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)1等差数列中，a1a4a739，a2a5a833，则a6的值为()A10 B9 C8 D7【解析】选B.因为等差数列中，a1a4a739，a2a5a833，所以2(a2a5a8)(a1a4a7)(a3a6a9)，所以a3a6a927，所以3a627，所以a69.2已知等差数列an的公差d0，Sn是其前n项和，若a1a3a515，a2a4a621，则S3的值是()A5 B C D【解析】选C.由等差数列性质知3a315，3a421，故a35，a47，则a23.则S3.3在数
2、列中，a13，且对任意大于1的正整数n，点(，)在直线xy0上，则()Aan3n BanCann Dan3n2【解析】选D.因为点(，)在直线xy0上，所以，所以数列是首项为，公差为的等差数列所以数列的通项公式为n(n1)n.所以an3n2.4若数列an的通项an2n6，设bn|an|，则数列bn的前7项和为()A14 B24 C26 D28【解析】选C.当n3时，an0，bn|an|an62n，即b14，b22，b30.当n3时，an0，bn|an|an2n6，即b42，b54，b66，b78.所以数列bn的前7项和为420246826.5已知等差数列an的前n项和为Sn，a55，S515，
3、则数列的前100项和为()A B C D【解析】选A.因为a55，S515，所以15，所以a11.所以d1，所以ann.所以.则数列的前100项的和为：T1001.6(多选题)等差数列an中，是一个与n无关的常数，则该常数的可能值为()A1 B C2 D3【解析】选AB.本题考查等差数列设等差数列an的公差为d，则为常数，则a1d或d0，或1.二、填空题(每小题5分，共10分)7在等差数列an中，a23，a3a49，则a1a6_【解析】因为a23，a3a49，所以a2a3a412，即3a312，故a34，a45，所以ann1，所以a1a62714.答案：148已知数列an满足an112n，则|
4、a1|a2|a3|a8|_【解析】原式(a1a2a3a4a5)(a6a7a8)(97531)(135)34.答案：34三、解答题(每小题10分，共20分)9已知数列an中，a76，a103，Sn为等差数列an的前n项和(1)求数列an的通项公式及Sn的最大值；(2)求|a1|a2|a3|a19|a20|的值【解析】(1)因为a76，a103，故，解得a124，d3，则an3n27，数列的前n项和公式为：Snn24(3)n2n，注意到数列an单调递减，且a80，a90，所以Sn的最大值S8S9108.(2)因为|a1|a2|a3|a19|a20|a1a2a3a9(a10a11a20)，所以a1a
5、2a3a9(a10a11a20)2S9S20，由于S9108，S2090，即|a1|a2|a3|a19|a20|306.10已知Sn为各项均为正数的数列an的前n项和，a1(0，2)，a3an26Sn.(1)求an的通项公式；(2)设bn，数列bn的前n项和为Tn，若对任意nN*，t4Tn恒成立，求实数t的最大值【解析】(1)当n1时，a3a126S16a1，即a3a120，又因为a1(0，2)，解得a11.对任意nN*，由a3an26Sn知a3an126Sn1，两式相减，得aa3(an1an)6an1，即(an1an)(an1an3)0，由an0得an1an30，即an1an3，所以an是首
6、项为1，公差为3的等差数列，所以an13(n1)3n2.(2)由an3n2得bn，所以Tnb1b2bn.因为Tn1Tn0，所以Tn1Tn，即数列Tn是递增数列，所以t4Tn，Tn，T1，t1，所以实数t的最大值是1.(35分钟70分)一、选择题(每小题5分，共20分，多选题全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)1已知数列的前n项和为Sn，若an，Sn10，则n()A90 B119 C120 D121【解析】选C.因为an ，所以Sn()110，故n1121 ，故n120.2已知数列an是等差数列，a10，a8a90，a8a90.则使Sn0的n的最小值为()A8 B9 C15 D1
7、6【解析】选D.因为等差数列an，首项a10，a8a90，所以a80，由Snn(a1an)，可得S1515a80，所以使前n项和Sn0成立的最小自然数n的值为16.3已知函数f(x)是(1，)上的单调函数，且函数yf(x2)的图象关于直线x1对称，若数列an是公差不为0的等差数列，且f(a50)f(a51)，则数列an的前100项的和为()A200 B100 C0 D50【解析】选B.因为函数yf(x2)的图象关于直线x1对称，则函数f(x)的图象关于直线x1对称，又因为函数f(x)是(1，)上的单调函数，an是公差不为0的等差数列，f(a50)f(a51)，所以a50a512，S10050(
8、a50a51)100.4(多选题)设an(nN*)是等差数列，Sn是其前n项的和，且S5S6，S6S7S8，则下列结论正确的是()Ad0Ba70CS9S5DS6与S7均为Sn的最大值【解析】选ABD.由S5S6得a1a2a5a1a2a5a6，即a60，又因为S6S7，所以a1a2a6a1a2a6a7，所以a70，故B正确；同理由S7S8，得a80，因为da7a60，故A正确；而C选项S9S5，即a6a7a8a90，可得2(a7a8)0，由结论a70，a80，显然C选项是错误的因为S5S6，S6S7S8，所以S6与S7均为Sn的最大值，故D正确二、填空题(每小题5分，共20分)5在等差数列中，S
9、n为其前n项的和，若S412，S840，则S16_.【解析】设等差数列的公差为d，则，解得a1，d1，所以S16161144.答案：1446已知Sn为等差数列an的前n项和，满足a2a86，S55，则a6_，Sn的最小值为_【解析】依题意得：解得所以a65105，Sn5n2n26n，当n3时，Sn的最小值为9.答案：597已知数列an中a11，a22，当整数n1时，Sn1Sn12(SnS1)都成立，则S15_【解析】因为数列an中，当整数n1时，Sn1Sn12(SnS1)都成立Sn1SnSnSn12an1an2(n1).所以当n2时，an是以2为首项，2为公差的等差数列所以S1514a22a1
10、14221211.答案：2118已知等差数列an的前n项和为Sn，若1a13，3a1S36，则的取值范围是_【解析】在等差数列an中，a1a32a2，所以S3a1a2a33a2，又3a1S36，所以3a13a26.由1a13得1.所以16，即116，所以0.即的取值范围是.答案：三、解答题(每小题10分，共30分)9已知数列an，anN*，Sn是其前n项和，Sn(an2)2.(1)求证：an是等差数列；(2)设bnan30，求数列bn的前n项和的最小值【解析】(1)当n1时，a1S1(a12)2，解得a12.当n2时，anSnSn1(an2)2(an12)2，即8an(an2)2(an12)2
11、，整理得(an2)2(an12)20，即(anan1)(anan14)0.因为anN*，所以anan10，所以anan140，即anan14(n2).故数列an是以2为首项，4为公差的等差数列(2)设数列bn的前n项和为Tn，因为bnan30，且由(1)知，an2(n1)44n2(nN*)，所以bn(4n2)302n31.故数列bn是单调递增的等差数列令2n310，得n15.因为nN*，所以当n15时，bn0，即b1b2b150b16b175时，an0；当n5时，an0；当n0.设Sna1a2an.所以当n5时，Hn|a1|a2|an|a1a2a5(a6a7an)S5(SnS5)2S5Snn29n40，当n5时，Hn|a1|a2|an|a1a2an9nn2.所以Hn(nN*).11数列an满足a1，an1(nN*).(1)求证：为等差数列，并求出an的通项公式(2)设bn1，数列bn的前n项和为Bn，对任意n2都有B3nBn成立，求正整数m的最大值【解析】(1)因为an1，所以1，即1，所以是首项为2，公差为1的等差数列，2(n1)(1)(n1)，所以an.(2)bn1，令CnB3nBn，所以Cn1Cn0，所以Cn1Cn0，Cn为单调递增数列，又因为n2，所以(B3nBn)minB6B2，m19.又因为mN*，所以m的最大值为18.9