1、1.设f(x)是定义在R上的可导函数，当x0时，f(x)0，则关于x的函数g(x)f(x)的零点个数为()A1 B2C0 D0或2答案C解析由f(x)0，得0，当x0时，xf(x)f(x)0，即xf(x)0，函数xf(x)单调递增；当x0时，xf(x)f(x)0，即xf(x)0f(0)0，又g(x)f(x)x1，函数g(x)的零点个数等价于函数yxf(x)1的零点个数当x0时，yxf(x)11，当x1，所以函数yxf(x)1无零点，所以函数g(x)f(x)x1的零点个数为0.故选C.2设函数f(x)是定义在(，0)上的可导函数，其导函数为f(x)，且有2f(x)xf(x)x2，则不等式(x20
2、14)2f(x2014)4f(2)0的解集为_答案(，2016)解析由2f(x)xf(x)x2，x0得2xf(x)x2f(x)x3，x2f(x)x30.令F(x)x2f(x)(x0)，则F(x)0(x0即为F(x2014)F(2)0，即F(x2014)F(2)，又因为F(x)在(，0)上是减函数，所以x20142，x2016.3已知f(x)axcosx，x.若x1，x2，x1x2，0，所以f(x)在(0，)单调递增若a0，则当x时，f(x)0；当x时，f(x)0时，f(x)在x取得最大值，最大值为fln aln aa1.因此f2a2等价于ln aa10.令g(a)ln aa1，则g(a)在(0
3、，)单调递增，g(1)0.于是，当0a1时，g(a)1时，g(a)0.因此，a的取值范围是(0,1)5设a1，函数f(x)(1x2)exa.(1)求f(x)的单调区间；(2)证明：f(x)在(，)上仅有一个零点；(3)若曲线yf(x)在点P处的切线与x轴平行，且在点M(m，n)处的切线与直线OP平行(O是坐标原点)，证明：m 1.解(1)f(x)2xex(1x2)ex(x22x1)ex(x1)2ex0，故f(x)是R上的单调递增函数，其单调增区间是(，)，无单调减区间(2)证明：因为f(0)(102)e0a1a0，由零点存在性定理知，f(x)在(，)上至少有一个零点又由(1)知，函数f(x)是
4、(，)上的单调递增函数，故函数f(x)在(，)上仅有一个零点 (3)证明：设点P(x0，y0)，由曲线yf(x)在点P处的切线与x轴平行知，f(x0)0，即f(x0)(x01)2ex00，(x01)20，x01，即P(1,2e1a)由点M(m，n)处的切线与直线OP平行知，f(m)kOP，即(1m)2ema.由em1m知，(1m)3(1m)2ema，即1m ，即m 1.6已知函数f(x)ln x.(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)证明：当x1时，f(x)1，当x(1，x0)时，恒有f(x)k(x1)解(1)f(x)x1，x(0，)由f(x)0得解得0x.故f(x)的单调递增区间是.(2
5、)证明：令F(x)f(x)(x1)，x(0，)则F(x).当x(1，)时，F(x)1时，F(x)1时，f(x)1满足题意当k1时，对于x1，有f(x)x1k(x1)，则f(x)1满足题意当k1时，令G(x)f(x)k(x1)，x(0，)，则G(x)x1k.由G(x)0得，x2(1k)x10.解得x11.当x(1，x2)时，G(x)0，故G(x)在1，x2)内单调递增从而当x(1，x2)时，G(x)G(1)0，即f(x)k(x1)，综上，k的取值范围是(，1)7设函数f(x)kln x，k0.(1)求f(x)的单调区间和极值；(2)证明：若f(x)存在零点，则f(x)在区间(1，上仅有一个零点解
6、(1)由f(x)kln x(k0)，得f(x)x.由f(x)0，解得x.f(x)与f(x)在区间(0，)上的情况如下：x(0，)(，)f(x)0f(x)所以，f(x)的单调递减区间是(0，)，单调递增区间是(，)；f(x)在x处取得极小值f().(2)证明：由(1)知，f(x)在区间(0，)上的最小值为f().因为f(x)存在零点，所以0，从而ke.当ke时，f(x)在区间(1，上单调递减，且f()0，所以x是f(x)在区间(1，上的唯一零点当ke时，f(x)在区间(0，)上单调递减，且f(1)0，f()0，所以f(x)在区间(1， 上仅有一个零点综上可知，若f(x)存在零点，则f(x)在区间
7、(1， 上仅有一个零点8已知函数f(x)ln xax22x(a0)依题意f(x)0在x0时恒成立，即ax22x10在x0时恒成立则a21在x0时恒成立，即amin(x0)，当x1时，21取最小值1.a的取值范围是(，1(2)a，f(x)xbx2xln xb0.设g(x)x2xln xb(x0)则g(x).列表：x(0,1)1(1,2)2(2,4)g(x)00g(x)极大值极小值g(x)极小值g(2)ln 2b2，g(x)极大值g(1)b，又g(4)2ln 2b2，方程g(x)0在1,4上恰有两个不相等的实数根，则得ln 22b.9. 如图，现要在边长为100 m的正方形ABCD内建一个交通“环
8、岛”以正方形的四个顶点为圆心在四个角分别建半径为x m(x不小于9)的扇形花坛，以正方形的中心为圆心建一个半径为x2 m的圆形草地为了保证道路畅通，岛口宽不小于60 m，绕岛行驶的路宽均不小于10 m.(1)求x的取值范围(运算中取1.4)；(2)若中间草地的造价为a元/m2，四个花坛的造价为ax 元/m2，其余区域的造价为元/m2，当x取何值时，可使“环岛”的整体造价最低？解(1)由题意得，解得，即9x15.所以x的取值范围是9,15(2)记“环岛”的整体造价为y元，则由题意得ya2axx2x312x2，令f(x)x4x312x2，则f(x)x34x224x4x，由f(x)0，解得x10或x15或x0(舍)，列表如下：x9(9,10)10(10,15)15f(x)00f(x)极小值所以当x10时，y取最小值即当x10时，可使“环岛”的整体造价最低