1、单元质检九解析几何(时间:100分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.(2021新高考)抛物线y2=2px(p0)的焦点到直线y=x+1的距离为2,则p的值为()A.1B.2C.22D.42.(2021四川成都第二次联考)已知椭圆x23+y24=1的上焦点为F,以F点为圆心,且与一条坐标轴相切的圆的方程为()A.x2+y2-2y=0B.x2+y2-2x=0C.x2+y2-18y=0D.x2+y2-18x=03.(2021云南师大附中月考)已知左、右焦点分别为F1,F2的双曲线C:x2a2-y216=1(a0)上一点P到左焦点F1的距离为6,点O为坐标原点,
2、点M为PF1的中点,若|OM|=5,则双曲线C的渐近线方程为()A.y=2xB.y=xC.y=43xD.y=4x4.记双曲线C:x216-y2m=1(m0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为2,点M在双曲线C上,点N满足F1N=12F1M,若|MF1|=10,O为坐标原点,则|ON|=()A.8B.9C.8或2D.9或15.(2021天津高考)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右焦点与抛物线y2=2px(p0)的焦点重合,抛物线的准线交双曲线于A,B两点,交双曲线的渐近线于C,D两点.若|CD|=2|AB|,则双曲线的离心率为()A.2B.3C.2D.36.过点A(0,3),
3、被圆(x-1)2+y2=4截得的弦长为23的直线方程是()A.y=-43x+3B.x=0或y=-43x+3C.x=0或y=43x+3D.x=07.已知椭圆x24+y23=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F2且垂直于长轴的直线交椭圆于A,B两点,则ABF1内切圆的半径为()A.43B.1C.45D.348.已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,M(3,2),直线MF交抛物线于A,B两点,且M为AB的中点,则p的值为()A.3B.2或4C.4D.29.我们把焦点相同且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”.已知F1,F2是一对相关曲线的焦点,e1,e2分别是椭圆和双曲线的离心率
4、,若P为它们在第一象限的交点,F1PF2=60,则双曲线的离心率e2=()A.2B.2C.3D.310.已知抛物线y2=2px(p0)上一点M(1,m)(m0)到其焦点的距离为5,双曲线x2a-y2=1的左顶点为A,若双曲线一条渐近线与直线AM平行,则实数a的值为()A.19B.13C.3D.911.点M(3,2)到抛物线C1:y=ax2(a0)准线的距离为4,F为抛物线的焦点,点N(1,1),当点P在直线l:x-y=2上运动时,|PN|-1|PF|的最小值为()A.3-228B.2-24C.5-228D.5-22412.(2021广西来宾模拟预测)设双曲线C:x29-y216=1的左、右焦点
5、分别为F1,F2,点P(异于顶点)在双曲线C的右支上,则下列说法正确的是()A.PF1F2可能是正三角形B.P到两渐近线的距离之积是定值C.若PF1PF2,则PF1F2的面积为8D.在PF1F2中,sinF1PF2sinPF2F1-sinPF1F2=54二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.(2021广西浦北中学月考)已知椭圆的中心在坐标原点,右焦点与圆x2+my2-6mx-7=0的圆心重合,长轴长等于圆的直径,那么短轴长等于.14.抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,M是抛物线C上的点,若三角形OFM的外接圆与抛物线C的准线相切,且该圆的面积为36,则p的值为.15.
6、(2021浙江高考)已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0),焦点F1(-c,0),F2(c,0)(c0).若过F1的直线和圆x-12c2+y2=c2相切,与椭圆在第一象限交于点P,且PF2x轴,则该直线的斜率是,椭圆的离心率是.16.已知点M(-1,1)和抛物线C:y2=4x,过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点,若AMB=90,则k=.三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(10分)如图,在平面直角坐标系xOy中,点A(0,3),直线l:y=2x-4,设圆C的半径为1,圆心在l上.(1)若圆心C也在直线y=x-1上,过点A作圆C的切线,求切线的方程;(2)若圆C上存在点M,使
7、|MA|=2|MO|,求圆心C的横坐标a的取值范围.18.(12分)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为154,F1,F2是椭圆的两个焦点,P是椭圆上任意一点,且PF1F2的周长是8+215.(1)求椭圆C的方程;(2)设圆T:(x-2)2+y2=49,过椭圆的上顶点M作圆T的两条切线交椭圆于E,F两点,求直线EF的斜率.19.(12分)(2021全国)已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点F到准线的距离为2.(1)求C的方程.(2)已知O为坐标原点,点P在C上,点Q满足PQ=9QF,求直线OQ斜率的最大值.20.(12分)(2021山东潍坊一模)在平面直角坐标系中,A1,
8、A2两点的坐标分别为(-2,0),(2,0),直线A1M,A2M相交于点M且它们的斜率之积是-34,记动点M的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程.(2)过点F(1,0)作直线l交曲线E于P,Q两点,且点P位于x轴上方,记直线A1Q,A2P的斜率分别为k1,k2.证明:k1k2为定值;设点Q关于x轴的对称点为Q1,求PFQ1面积的最大值.21.(12分)已知抛物线E的顶点为平面直角坐标系xOy的坐标原点O,焦点为圆F:x2+y2-4x+3=0的圆心F.经过点F的直线l交抛物线E于A,D两点,交圆F于B,C两点,A,B在第一象限,C,D在第四象限.(1)求抛物线E的方程;(2)是否存在直线l使2|
9、BC|是|AB|与|CD|的等差中项?若存在,求直线l的方程;若不存在,请说明理由.22.(12分)已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点,直线l:y=-x+3与椭圆E有且只有一个公共点T.(1)求椭圆E的方程及点T的坐标;(2)设O是坐标原点,直线l平行于OT,与椭圆E交于不同的两点A,B,且与直线l交于点P,证明:存在常数,使得|PT|2=|PA|PB|,并求的值.答案：1.B解析本题考查抛物线的性质.抛物线y2=2px(p0)的焦点为p2,0,焦点到直线y=x+1的距离d=p2+12=2,即p2+1=2,解得p=2或p=-6(舍去),
10、故选B.2.A解析由题意,椭圆x23+y24=1的上焦点为F(0,1),在y轴正半轴上,故所求圆只能是与x轴相切,切点为原点,所以r=|OF|=1,可得圆的方程为x2+(y-1)2=1,即x2+y2-2y=0.3.A解析由|OM|=5,得|PF2|=106,故点P在双曲线左支上,故|PF1|-|PF2|=-4=-2a,得a=2,故双曲线的方程为x24-y216=1,故双曲线C的渐近线方程为y=2x.4.B解析a=4,离心率为e=ca=2,c=8.根据题意e=1+m16=2,解得m=48.|MF2|-|MF1|=2a=8,|MF2|=18或2,而|MF2|c-a=8-4=4,故|MF2|=18.
11、点N满足F1N=12F1M,N为MF1的中点,O是F1F2的中点,则|ON|=12|MF2|=9.故选B.5.A解析设双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)与抛物线y2=2px(p0)的公共焦点为(c,0),则抛物线y2=2px(p0)的准线为x=-c,令x=-c,则c2a2-y2b2=1,解得y=b2a,所以|AB|=2b2a,又因为双曲线的渐近线方程为y=bax,所以|CD|=2bca,所以2bca=22b2a,即c=2b,所以a2=c2-b2=12c2,所以双曲线的离心率e=ca=2.6.B解析当弦所在的直线斜率不存在时,即弦所在直线方程为x=0,此时被圆(x-1)2+y2=4截得的
12、弦长为23.当弦所在的直线斜率存在时,设弦所在直线l的方程为y=kx+3,即kx-y+3=0.因为弦长为23,圆的半径为2,所以弦心距为22-(3)2=1.由点到直线距离公式,得|k+3|k2+(-1)2=1,解得k=-43.综上所述,所求直线方程为x=0或y=-43x+3.7.D解析由x24+y23=1得a=2,c=1,根据椭圆的定义可知ABF1的周长为4a=8,ABF1的面积为12|F1F2|yA-yB|=1223=3=128r,解得r=34,故选D.8.B解析设A(x1,y1),B(x2,y2).y12=2px1,y22=2px2,两式相减,得(y1+y2)(y1-y2)=2p(x1-x
13、2),依题意x1x2,y1-y2x1-x2=2py1+y2.M为AB的中点,y1+y2=4,又Fp2,0在AB上,23-p2=2p4,解得p=2或4.故选B.9.C解析设F1(-c,0),F2(c,0),椭圆的长半轴长为a,双曲线的实半轴长为m,可得|PF1|+|PF2|=2a,|PF1|-|PF2|=2m,可得|PF1|=a+m,|PF2|=a-m,由余弦定理可得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|cos60,即有4c2=(a+m)2+(a-m)2-(a+m)(a-m)=a2+3m2,由离心率公式可得1e12+3e22=4,e1e2=1,即有e24-4e22+3=
14、0,解得e2=3.10.A解析由题意可知,抛物线y2=2px(p0)的准线方程为x=-4,则p=8,所以点M(1,4).因为双曲线x2a-y2=1的左顶点为A(-a,0),渐近线方程为y=1ax,所以直线AM的斜率为41+a.由题意得41+a=1a,解得实数a=19.11.B解析点M(3,2)到抛物线C:y=ax2(a0)准线的距离为4,2+14a=4,a=18,抛物线C:x2=8y,直线l:x-y=2与x轴交于A(2,0),则FAl.设AP=t,则|AN|=2,|AF|=22,|PN|=t2+2,|PF|=t2+8,设t2+2-1=m(m2-1),则|PN|-1|PF|=t2+2-1t2+8
15、=m(m+1)2+6=171m+172+67,m=2-1,即当t=0时,|PN|-1|PF|的最小值为2-24.所以B选项是正确的.12.B解析在双曲线C中,可知a=3,b=4,c=5,A选项,由双曲线的定义可知,|PF1|=|PF2|+2a|PF2|,PF1F2不可能是正三角形,故A错误;B选项,设点P(x0,y0),则x029-y0216=1,即16x02-9y02=144,双曲线C的渐近线方程为4x3y=0.P到两渐近线的距离之积为|4x0-3y0|42+32|4x0+3y0|42+32=|16x02-9y02|25=14425是定值,故B正确;C选项,由PF1PF2,可得PF12+PF
16、22=F1F22,即(PF2+2a)2+PF22=(2c)2,解得PF2=41-3,则PF1=41+3,故SF1PF2=12PF1PF2=16,故C错误;D选项,设点P(x0,y0),则sinPF1F2=|y0|PF1,sinPF2F1=|y0|PF2,在PF1F2中,SPF1F2=12PF1PF2sinF1PF2=12|y0|F1F2,故sinF1PF2=|y0|F1F2PF1PF2,则sinF1PF2sinPF2F1-sinPF1F2=|y0|F1F2PF1PF2|y0|PF2-|y0|PF1=F1F2PF1-PF2=2c2a=53,故D错误.13.27解析由于x2+my2-6mx-7=0
17、是圆,故m=1,即圆的方程为x2+y2-6x-7=0.其中圆心为(3,0),半径为4,所以椭圆的长轴长为8,即c=3,a=4,b=a2-c2=7,所以短轴长为27.14.8解析设OFM的外接圆圆心为O1,则|O1O|=|O1F|=|O1M|,所以O1在线段OF的垂直平分线上.又因为O1与抛物线的准线相切,所以O1在抛物线上,所以O1p4,22p.又因为圆面积为36,所以半径为6,所以p216+12p2=36,所以p=8.15.25555解析由题意,可知直线的斜率一定存在,且大于0.由直线过点F1,可设直线的方程为y=k(x+c)(k0),直线和圆x-12c2+y2=c2相切,圆心12c,0到直
18、线的距离与半径相等,kc2-0+kck2+1=c,解得k=255.将x=c代入x2a2+y2b2=1,可得点P的坐标为c,b2a,由题意,可知k=tanPF1F2=|PF2|F1F2|=b2a2c=255,a2-c22ac=255,1-e22e=255,解得e=55.16.2解析设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB:x=my+1,m0,联立x=my+1,y2=4x,得y2-4my-4=0,y1+y2=4m,y1y2=-4.而MA=(x1+1,y1-1)=(my1+2,y1-1),MB=(x2+1,y2-1)=(my2+2,y2-1).AMB=90,MAMB=(my1+2)(my2+2
19、)+(y1-1)(y2-1)=(m2+1)y1y2+(2m-1)(y1+y2)+5=-4(m2+1)+4m(2m-1)+5=4m2-4m+1=0.m=12.k=1m=2.17.解(1)由y=2x-4,y=x-1,得圆心C(3,2).又因为圆C的半径为1,所以圆C的方程为(x-3)2+(y-2)2=1.显然切线的斜率一定存在,设所求圆C的切线方程为y=kx+3,即kx-y+3=0,则|3k-2+3|k2+1=1,所以|3k+1|=k2+1,即2k(4k+3)=0.所以k=0或k=-34.所以所求圆C的切线方程为y=3或y=-34x+3,即y=3或3x+4y-12=0.(2)由圆C的圆心在直线l:
20、y=2x-4上,可设圆心C为(a,2a-4),则圆C的方程为(x-a)2+y-(2a-4)2=1.又因为|MA|=2|MO|,所以设M(x,y),则x2+(y-3)2=2x2+y2,整理得x2+(y+1)2=4.设方程x2+(y+1)2=4表示的是圆D,所以点M既在圆C上又在圆D上,即圆C和圆D有交点,所以2-1a2+(2a-4)-(-1)22+1,由5a2-12a+80,得aR.由5a2-12a0,得0a125,因此圆C的横坐标a的取值范围为0,125.18.解(1)由题意,得e=ca=154=a2-b2a,可知a=4b,c=15b.PF1F2的周长是8+215,2a+2c=8+215,a=
21、4,b=1.椭圆C的方程为x216+y2=1.(2)椭圆的上顶点为M(0,1),由题意知过点M与圆T相切的直线存在斜率,则设其方程为l:y=kx+1,由直线y=kx+1与圆T相切可知|2k+1|1+k2=23,即32k2+36k+5=0,0,k1+k2=-98,k1k2=532.由y=k1x+1,x216+y2=1,得(1+16k12)x2+32k1x=0,xE=-32k11+16k12.同理xF=-32k21+16k22,kEF=yE-yFxE-xF=k1xE-k2xFxE-xF=k1+k21-16k1k2=34.故直线EF的斜率为34.19.解(1)在抛物线C中,焦点F到准线的距离为p,故
22、p=2,C的方程为y2=4x.(2)设点P(x1,y1),Q(x2,y2).又F(1,0),则PQ=(x2-x1,y2-y1),QF=(1-x2,-y2).因为PQ=9QF,所以x2-x1=9(1-x2),y2-y1=-9y2,得x1=10x2-9,y1=10y2.又因为点P在抛物线C上,所以y12=4x1,所以(10y2)2=4(10x2-9),则点Q的轨迹方程为y2=25x-925.易知直线OQ的斜率存在.设直线OQ的方程为y=kx,当直线OQ和曲线y2=25x-925相切时,斜率取得最大值、最小值.由y=kx,y2=25x-925,得k2x2=25x-925,即k2x2-25x+925=
23、0,(*)当直线OQ和曲线y2=25x-925相切时,方程(*)的判别式=0,即-252-4k2925=0,解得k=13,所以直线OQ斜率的最大值为13.20.(1)解设点M坐标为(x,y),则直线A1M,A2M的斜率分别为yx+2,yx-2,x2,依题意知yx+2yx-2=-34,化简得x24+y23=1(x2).(2)证明设直线l的方程为x=my+1,P(x1,y1),Q(x2,y2)(y10,y20),p2=2,解得p=4.抛物线E的方程为y2=8x.存在满足要求的直线l:2x-y-4=0或2x+y-4=0.(2)理由如下.2|BC|是|AB|与|CD|的等差中项,|BC|=2r,|AB
24、|+|CD|=4|BC|=42r=8.|AD|=|AB|+|BC|+|CD|=10.讨论:若l垂直于x轴,则l的方程为x=2,代入y2=8x,解得y=4.此时|AD|=8,不满足题意;若l不垂直于x轴,则设l的斜率为k(k0),此时l的方程为y=k(x-2),由y=k(x-2),y2=8x,得k2x2-(4k2+8)x+4k2=0.设A(x1,y1),D(x2,y2),则x1+x2=4k2+8k2.抛物线E的准线方程为x=-2,|AD|=|AF|+|DF|=(x1+2)+(x2+2)=x1+x2+4.4k2+8k2+4=10,解得k=2.当k=2时,k2x2-(4k2+8)x+4k2=0化为x
25、2-6x+4=0,(-6)2-4140,x2-6x+4=0有两个不相等实数根.k=2满足题意.存在满足要求的直线l:2x-y-4=0或2x+y-4=0.22.解(1)由已知,a=2b,则椭圆E的方程为x22b2+y2b2=1.由方程组x22b2+y2b2=1,y=-x+3消去y,得3x2-12x+(18-2b2)=0.方程的判别式为=24(b2-3),由=0,得b2=3,此时方程的解为x=2,所以椭圆E的方程为x26+y23=1,点T的坐标为(2,1).(2)由已知可设直线l的方程为y=12x+m(m0),由方程组y=12x+m,y=-x+3,可得x=2-2m3,y=1+2m3.所以点P的坐标
26、为2-2m3,1+2m3,|PT|2=89m2.设点A,B的坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2).由方程组x26+y23=1,y=12x+m消去y,得3x2+4mx+(4m2-12)=0.方程的判别式为=16(9-2m2).由0,解得-322m322.由得x1+x2=-4m3,x1x2=4m2-123.所以|PA|=2-2m3-x12+1+2m3-y12=522-2m3-x1,同理|PB|=522-2m3-x2.所以|PA|PB|=542-2m3-x12-2m3-x2=542-2m32-2-2m3(x1+x2)+x1x2=542-2m32-2-2m3-4m3+4m2-123=109m2.故存在常数=45,使得|PT|2=|PA|PB|.15