1、单元质检八立体几何(A)(时间:45分钟满分:100分)一、选择题(本大题共5小题,每小题7分,共35分)1.(2021黑龙江大庆中学高三月考)已知直线l,m,n与平面,下列说法正确的是()A.若,l,n,则lnB.若,l,则lC.若ln,mn,则lmD.若l,l,则2.如图,一个透明的球形装饰品内放置了两个共底面的圆锥,且这两个圆锥的顶点和底面圆周都在这个球面上,已知圆锥底面面积是这个球面面积的316,则较大圆锥与较小圆锥的体积之比为()A.21B.31C.41D.513.下图为某几何体的三视图,则该几何体的表面积是()A.6+42B.4+42C.6+23D.4+234.(2021北京高考)
2、某一时间段内,从天空降落到地面上的雨水,未经蒸发、渗漏、流失而在水平面上积聚的深度,称为这个时段的降雨量(单位:mm).24 h降雨量的等级划分如下:等级24h降雨量(精确到0.1)小雨0.19.9中雨10.024.9大雨25.049.9暴雨50.099.9在综合实践活动中,某小组自制了一个底面直径为200 mm,高为300 mm的圆锥形雨量器.若一次降雨过程中,该雨量器收集的24 h的雨水高度是150 mm(如图所示),则这24 h降雨量的等级是()A.小雨B.中雨C.大雨D.暴雨5.在空间四面体ABCD中,平面ABD平面BCD,且DA平面ABC,则ABC的形状是()A.锐角三角形B.直角三
3、角形C.钝角三角形D.不能确定二、填空题(本大题共3小题,每小题7分,共21分)6.已知四棱锥P-ABCD的三视图如图所示,则此四棱锥外接球的半径为.7.(2021山东济南二模)已知一个圆锥的侧面积是底面面积的2倍,则该圆锥的母线与其底面所成的角的大小为.8.已知A,B,C,D是球面上不共面的四点,AB=AC=3,BD=CD=2,BC=6,平面ABC平面BCD,则此球的体积为.三、解答题(本大题共3小题,共44分)9.(14分)如下的三个图中,上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图,它的正视图和侧视图在下面画出(单位:cm).(1)在正视图下面,按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图;
4、(2)按照给出的尺寸,求该多面体的体积;(3)在所给直观图中连接BC,证明BC平面EFG.10.(15分)(2021江西上饶三模)如图,在圆柱W中,点O1,O2分别为上、下底面的圆心,平面MNFE是轴截面,点H在上底面圆周上(异于点N,F),点G为下底面ME的中点,点H与点G在平面MNFE的同侧,圆柱W的底面半径为1,高为2.(1)若平面FNH平面NHG,证明:NGFH;(2)若直线O1H平面GEF,求H到平面NGF的距离.11.(15分)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面ABB1A1底面ABC,ACAB,AC=AB=AA1=2,AA1B1=60,E,F分别为棱A1B1,BC的中点.(
5、1)求三棱柱ABC-A1B1C1的体积;(2)在直线AA1上是否存在一点P,使得CP平面AEF?若存在,求出AP的长;若不存在,说明理由.答案：1.D解析A.若,l,n,则ln或异面,故A不正确;B.缺少l垂直于交线这个条件,不能推出l,故B不正确;C.由垂直关系可知,lm或l,m相交,或是异面,故C不正确;D.因为l,所以平面内存在直线sl,若l,则s,且s,所以,故D正确.2.B解析不妨设球的半径为4,则球的表面积为64,圆锥的底面积为12,所以圆锥的底面半径为23.由几何体的特征知球心到圆锥底面的距离、球的半径以及圆锥底面的半径三者可以构成一个直角三角形,由此可以求得球心到圆锥底面的距离
6、是42-(23)2=2,所以圆锥体积较小者的高为4-2=2,同理可得圆锥体积较大者的高为4+2=6.又这两个圆锥的底面相同,所以较大圆锥与较小圆锥的体积之比等于它们的高之比,即31,故选B.3.C解析由三视图可知,该几何体为三棱锥,是棱长为2的正方体一角,其表面积为31222+122222sin60=6+23.4.B解析由题意,一个半径为2002=100(mm)的圆面内的降雨充满一个底面半径为2002150300=50(mm),高为150mm的圆锥,所以积水厚度d=135021501002=12.5(mm),属于中雨.5.B解析作AEBD,交BD于E,平面ABD平面BCD,交线为BD,AE平面
7、BCD,BC平面BCD,AEBC.而DA平面ABC,BC平面ABC,DABC.又AEAD=A,AD,AE平面ABD,BC平面ABD.而AB平面ABD,BCAB,即ABC为直角三角形.故选B.6.5解析因为三视图对应的几何体是四棱锥,顶点在底面的射影是底面矩形的长边的中点,底面边长分别为4,2,满足侧面PAD底面ABCD,PAD为等腰直角三角形,且高为2,如图所示,可知外接球球心为底面对角线的交点,可求得球半径为1242+22=5.7.3解析设圆锥的母线长为l,底面半径为r,圆锥的母线与其底面所成的角为,则122rl=2r2rl=12,cos=12=3.8.823解析取BC的中点E,连接DE,A
8、E.由已知知ABC为等腰直角三角形,BCD为等腰三角形,又平面ABC平面BCD,且交线为BC,所以球心O在平面ABC的射影为BC的中点E.如图所示,连接AO,由题意可知OE2+AE2=OA2.设球的半径R=OD=OA=x,由题意,得DE=22,在RtAOE中,x-222+622=x2,解得x=2,则此球的体积为V=43R3=823.9.(1)解如图:(2)解所求多面体体积V=V长方体-V正三棱锥=446-1312222=2843(cm3).(3)证明在长方体ABCD-ABCD中,连接AD,则ADBC.因为E,G分别为AA,AD的中点,所以ADEG.从而EGBC.又BC平面EFG,所以BC平面E
9、FG.10.(1)证明平面FNH平面NHG,平面FNH平面NHG=NH,又NHFH,FH平面FHN,FH平面NHG.NG平面NHG,FHNG.(2)解设点H到平面NGF的距离为h,取NF的中点A,连接AG,AF,O1O2,O1H,O2H.A,G分别为FN,EM的中点,则AGEF且AG=EF,A,G,E,F四点共面,且AFN=4.O1O2为圆柱的轴,则O1O2EF.O1O2平面EFG,EF平面EFG,O1O2平面EFG.O1H平面EFG,O1O2O1H=O1,平面HO1O2平面EFG.平面NHF平面HO1O2=O1H,平面NHF平面EFG=AF,O1HAF,则NO1H=AFN=4,SNHF=2S
10、NO1H=21212sin4=22,VG-NHF=13SNHF2=23.又点G为下底面圆弧ME的中点,GE=O2G2+O2E2=2,EF=2GF=GN=EF2+GE2=6.O1为NF的中点,则O1GNF,O1G=5,SNFG=1225=5,VG-NHF=VH-NGF13SNGFh=135h=23h=105.11.解(1)在三棱柱ABC-A1B1C1中,A1B1=AB.因为AB=AA1=2,所以A1B1=AA1=2.又因为AA1B1=60,连接AB1,所以AA1B1是边长为2的正三角形.因为E是棱A1B1的中点,所以AEA1B1,且AE=3.又ABA1B1,所以AEAB.又侧面ABB1A1底面A
11、BC,且侧面ABB1A1底面ABC=AB,又AE侧面ABB1A1,所以AE底面ABC,所以三棱柱ABC-A1B1C1的体积为V=SABCAE=12ABACAE=12223=23.(2)在直线AA1上存在点P,使得CP平面AEF.理由如下:连接BE并延长,与AA1的延长线相交,交点为P.连接CP.因为A1B1AB,故PEPB=PA1PA=A1EAB.因为E为棱A1B1的中点,AB=A1B1,所以A1EAB=12,所以PE=EB.又F为棱BC的中点,所以EF为BCP的中位线,所以EFCP.又EF平面AEF,CP平面AEF,所以CP平面AEF.故在直线AA1上存在点P,使得CP平面AEF.此时,PA1=AA1=2,所以AP=2AA1=4.