1、3.2.2函数模型的应用实例目标 1.会用分段函数模型或自建函数模型解决一些简单的实际问题；2.会根据所给数据选择合适的函数模型进行拟合重点 根据给定的函数模型解决实际问题难点 建立数学模型解答实际问题.知识点一解函数模型应用题的一般步骤填一填1函数模型应用的两个方面(1)利用已知函数模型解决问题；(2)建立恰当的函数模型，并利用所得函数模型解释有关现象，对某些发展趋势进行预测2解函数应用题的一般步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数理关系(2)建模：将文字语言转化为数学语言，用数学知识建立相应的数学模型(3)求模：求解数学模型，得到数学结论(4)还原：将用数学方法得到的结论还原为实
2、际问题答一答1常见的函数模型有哪些？提示：(1)正比例函数模型：f(x)kx(k为常数，k0)；(2)反比例函数模型：f(x)(k为常数，k0)；(3)一次函数模型：f(x)kxb(k，b为常数，k0)；(4)二次函数模型：f(x)ax2bxc(a，b，c为常数，a0)；(5)指数函数模型：f(x)abxc(a，b，c为常数，a0，b0，b1)；(6)对数函数模型：f(x)mlogaxn(m，n，a为常数，m0，a0，a1)；(7)幂函数模型：f(x)axnb(a，b，n为常数，a0，n1)知识点二函数拟合与预测的一般步骤填一填(1)收集数据；(2)画散点图；(3)选择函数模型；(4)求函数模
3、型；(5)检验若符合实际情况，则用函数模型解释实际问题；若不符合实际情况则从(3)重新开始答一答2如何根据收集到的数据解决实际问题？提示：通过收集数据直接去解决问题的一般过程如下：第一步：收集数据；第二步：根据收集到的数据在平面直角坐标系内画出散点图；第三步：根据点的分布特征，选择一个能刻画散点图特征的函数模型；第四步：选择其中的几组数据求出函数模型；第五步：将已知数据代入所求出的函数模型进行检验，看其是否符合实际若不符合实际，则重复第三、四、五步若符合实际，则进入下一步；第六步：用求得的函数模型去解释实际问题以上过程可用程序框图表示如下：3数据拟合时，得到的函数为什么需要检验？提示：因为根据
4、已给的数据作出散点图，一般是以比较熟悉的、最简单的函数作模拟，但所估计的函数有时可能误差较大或不切合客观实际，此时要重新调整数据或选用其他函数模型类型一建立函数模型的应用题例1某汽车城销售某种型号的汽车，进货单价为25万元市场调研表明：当销售单价为29万元时，平均每周能售出8辆，而当销售单价每降低0.5万元时，平均每周能多售出4辆设每辆汽车降价x万元，每辆汽车的销售利润为y万元(每辆车的销售利润销售单价进货单价)(1)求y与x之间的函数关系式，并在保证商家不亏本的前提下，写出x的取值范围；(2)假设这种汽车平均每周的销售利润为z万元，试写出z与x之间的函数关系式；(3)当每辆汽车的销售单价为多
5、少万元时，平均每周的销售利润最大？最大利润是多少？分析解决本题需弄清楚：每辆车的销售利润销售单价进货单价；先求出每辆车的销售利润，再乘以售出辆数可得每周销售利润通过二次函数求最值，可得汽车合适的销售单价解(1)因为y2925x，所以yx4(0x4)(2)z(84)y(8x8)(x4)8x224x32(0x4)(3)由(2)知，z8x224x328(x1.5)250(0x4)故当x1.5时，zmax50.所以当销售单价为291.527.5万元时，每周的销售利润最大，最大利润为50万元在函数模型中，二次函数模型占有重要的地位，因为根据实际问题建立函数解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的
6、单调性等来求函数的最值，从而解决实际问题中的最大、最小等问题. 变式训练1据市场分析，烟台某海鲜加工公司当月产量在10吨至25吨时，月生产总成本y(万元)可以看成月产量x(吨)的二次函数；当月产量为10吨时，月总成本为20万元；当月产量为15吨时，月总成本最低为17.5万元，且为二次函数的顶点(1)写出月总成本y(万元)关于月产量x(吨)的函数关系式；(2)已知该产品销售价为每吨1.6万元，那么月产量为多少时，可获最大利润？解：(1)设ya(x15)217.5，将x10，y20代入上式，得2025a17.5.解得a.所以y(x15)217.5(10x25)(2)设最大利润为Q(x)，则Q(x)
7、1.6xy1.6x(x23)212.9(10x25)因为x2310,25，所以月产量为23吨时，可获最大利润12.9万元类型二已知函数模型的应用题 例2已知某产品市场价格与市场供应量P的关系近似满足P(x)2(1kt)(xb)2(其中t为关税的税率，且t0，)，x为市场价格，b，k为正常数)，当t时的市场供应量曲线如图所示(1)根据图象求b，k的值；(2)记市场需求量为Q，它近似满足Q(x)211，当PQ时的价格称为市场平衡价格，为使市场平衡价格不低于9元，求税率的最小值解(1)由图象知：(2)当PQ时，有2(16t)(x5)2211，即(16t)(x5)2112(16t).令m，则2(16t
8、)17m2m.x9，m(0，当m时，2(16t)取最大值，故t，即税率的最小值为.(1)本题利用已知函数模型解决实际问题，首先利用给出的函数图象，通过待定系数法确定函数关系式，再利用函数关系式求最值，求最值时注意自变量的取值范围.(2)对于题中已给出数学模型问题，只要解数学模型即可，较常用的方法是待定系数法解模型，然后利用相应的解析式及对应函数的性质解决实际问题.变式训练2灌满开水的热水瓶放在室内，如果瓶内开水原来的温度是1度，室内气温是0度，t分钟后，开水的温度可由公式0(10)ekt求得，这里，k是一个与热水瓶类型有关的正的常量现有一只某种类型的热水瓶，测得瓶内水温为100，过1小时后又测
9、得瓶内水温变为98.已知某种奶粉必须用不低于85的开水冲调，现用这种类型的热水瓶在早上六点灌满100的开水，问：能否在这一天的中午十二点用这瓶开水来冲调上述奶粉？(假定该地白天室温为20)解：根据题意，有9820(10020)e60k，整理得e60k.利用计算器，解得k0.000 422 2.故2080e0.000 422 2t.从早上六点至中午十二点共过去6小时，即360分钟当t360时，2080e0.000 422 23602080e0.152，由计算器算得8885，即能够在这一天的中午十二点用这瓶开水来冲调奶粉类型三拟合函数模型的应用题例3某个体经营者把开始六个月试销A，B两种商品的逐月
10、投资与所获纯利润列成下表：该经营者准备下月投入12万元经营这两种产品，但不知投入A，B两种商品各多少万元才合算请你帮助制定一个资金投入方案，使得该经营者能获得最大利润，并按你的方案求出该经营者下月可获得的最大纯利润(结果保留两个有效数字)分析只给出数据，没明确函数关系，这样就需要准确的画出散点图然后根据图形选择合适的函数模型来解决实际问题解以投资额为横坐标，纯利润为纵坐标，在平面直角坐标系中画出散点图，如图所示观察散点图可以看出，A种商品的所获纯利润y与投资额x之间的变化规律可以用二次函数模型进行模拟，如图所示取(4,2)为最高点，则ya(x4)22，再把点(1,0.65)代入，得0.65a(
11、14)22，解得a0.15，所以y0.15(x4)22.B种商品所获纯利润y与投资额x之间的变化规律是线性的，可以用一次函数模型进行模拟，如图所示设ykxb，取点(1,0.25)和(4,1)代入，得解得所以y0.25x.即前六个月所获纯利润y关于月投资A种商品的金额x的函数关系式是y0.15(x4)22；前六个月所获纯利润y关于月投资B种商品的金额x的函数关系式是y0.25x.设下月投入A，B两种商品的资金分别为xA，xB(万元)，总利润为W(万元)，那么所以W0.15(xA)20.15()22.6.当xA3.2(万元)时，W取最大值，约为4.1万元，此时xB8.8(万元)即该经营者下月把12
12、万元中的3.2万元投资A种商品，8.8万元投资B种商品，可获得最大利润约为4.1万元拟合数据，建立函数模型解决实际问题的一般步骤：根据收集到的数据作出散点图，然后根据散点图的形状，选用比较接近的可能的函数模型来描述所涉及的数量之间的关系，然后利用待定系数法确定出具体的函数解析式，若符合实际，可用此函数模型解释问题，若不符合实际，则继续选择模型，重复操作过程.变式训练3我国2014年至2017年国内生产总值(单位：万亿元)如下表所示：年份2014201520162017x0123生产总值y8.206 78.944 29.593 310.239 8(1)画出函数图象，猜想它们之间的函数关系，近似地
13、写出一个函数关系式；(2)利用得出的关系式求生产总值，与表中实际生产总值比较解：(1)画出函数图象，如图所示，从函数的图象可以看出，画出的点近似地落在一条直线上，设所求的一次函数为ykxb(k0)把点(0,8.206 7)和(3,10.239 8)的坐标代入上式，解方程组，得因此所求的函数关系式为y0.677 7x8.206 7.(2)由得到的关系式计算出2015年和2016年的国内生产总值分别为0.677 718.206 78.884 4(万亿元)，0677 728.206 79.562 1(万亿元)与实际的生产总值相比，误差不超过0.1万亿元1一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm
14、，燃烧时剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数关系用图象表示为图中的(B)解析：由题意h205t,0t4.结合图象知应选B.2“红豆生南国，春来发几枝？”如图给出了红豆生长时间t(月)与枝数y(枝)的散点图，那么红豆生长时间与枝数的关系用下列哪个函数模型拟合最好(C)Ayt3Bylog2tCy2t Dy2t2解析：符合指数函数模型3将进货单价为8元的商品按10元/个销售时，每天可卖出100个，若此商品的销售单价涨1元，日销售量就减少10个，为了获取最大利润，此商品的销售单价应定为14元解析：设销售单价应涨x元，则实际销售单价为(10x)元，此时日销售量为(10010x)个，每个商品的利润
15、为(10x)82x(元)，总利润y(2x)(10010x)10x280x20010(x4)2360(0xy乙；当x10时，令y甲y乙，即4 200x18 0005 100x，解得x20.答：当购买的台数不超过20台时，应选择乙公司，当购买台数超过20台时，应选择甲公司本课须掌握的三大问题1函数模型的应用实例主要包括三个方面：(1)利用给定的函数模型解决实际问题；(2)建立确定性的函数模型解决实际问题；(3)建立拟合函数模型解决实际问题2在引入自变量建立目标函数解决函数应用题时，一是要注意自变量的取值范围，二是要检验所得结果，必要时运用估算和近似计算，以使结果符合实际问题的要求3在实际问题向数学问题的转化过程中，要充分使用数学语言，如引入字母，列表，画图等使实际问题数学符号化
