1、考纲要求1.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数。2根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解。考情分析1.函数零点个数、存在区间及方程解的确定与应用是高考热点。2常与函数的图象与性质交汇命题，主要考查函数与方程、转化与化归、数形结合思想。3题型以选择题和填空题为主，属中、高档题。小题热身1思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数 f(x)x21 的零点是(1,0)和(1,0)。()(2)函数 yf(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则一定有 f(a)f(b)0。()(3)二次函数 yax2bxc(a0)在 b2
2、4ac0 时没有零点。()(4)若函数 f(x)在(a，b)上单调且 f(a)f(b)0，则函数 f(x)在a，b上有且只有一个零点。()解析：(1)错误，函数 f(x)x21 的零点为1 和 1，而并非其与 x轴的交点(1,0)与(1,0)。(2)错误。函数 f(x)x2x 在(1,2)上有两个零点，但 f(1)f(2)0。(3)正确。当 b24ac0 时，二次函数图象与 x 轴无交点，从而二次函数没有零点。(4)正确。由已知条件，数形结合得 f(x)与 x 轴在区间a，b上有且仅有一个交点，故正确。2若函数 f(x)唯一的零点同时在区间(0,16)，(0,8)，(0,4)，(0,2)内，那
3、么下列命题正确的是()A函数 f(x)在区间(0,1)内有零点B函数 f(x)在区间(0,1)或(1,2)内有零点C函数 f(x)在区间2,16)上无零点D函数 f(x)在区间(1,16)内无零点解析：函数 f(x)唯一零点同时在区间(0,16)，(0,8)，(0,4)，(0,2)内，函数 f(x)的唯一零点必在区间(0,2)内，故应选 C。答案：C3函数 f(x)lnx2x的零点所在的大致区间是()A(1,2)B(2,3)C(e,3)D(e，)解析：f(1)ln1220，f(2)ln210，故排除 A，又f(3)ln323，3e，ln31，f(3)0，故选 B。答案：B4若函数 f(x)ax
4、b 有一个零点是 2，那么函数 g(x)bx2ax的零点是_。解析：因 2 是零点，2ab0，b2a。2ax2ax0，x0，x12。答案：0，125已知函数 f(x)x2xa(a0)在区间(0,1)上有零点，则 a 的范围为_。解析：因 f(1)f(0)0，a(2a)0，2a0。答案：(2,0)知识重温一、必记 4个知识点1函数的零点的概念对于函数 yf(x)，xD，我们把使_的实数 x 叫做函数yf(x)，xD 的零点。2方程的根与函数的零点的关系由函数的零点的概念可知，函数 yf(x)的零点就是方程 f(x)0 的实数根，也就是函数 yf(x)的图象与_的交点的横坐标所以方程f(x)0有实
5、数根_函数yf(x)有零点。f(x)0 x 轴函数 yf(x)的图象与 x 轴有交点3函数零点的存在性定理如果函数 yf(x)在区间a，b上的图象是_的一条曲线，并且_，那么函数 yf(x)在区间(a，b)内有零点，即存在 c(a，b)，使得_，这个 c 也就是方程 f(x)0 的根。4二分法的定义对于在区间a，b上连续不断且 f(a)f(b)0 的函数 yf(x)，通过不断把函数 f(x)的零点所在的区间_，使区间的两个端点逐渐逼近零点，进而得到_的方法叫做二分法。连续不断f(a)f(b)0f(c)0一分为二零点近似值二、必明 2个易误点1函数 yf(x)的零点即方程 f(x)0 的实根，是
6、函数图象与 x 轴交点的横坐标，是一个实数，易误为是一个点而写成坐标形式。2由函数 yf(x)在闭区间a，b上有零点不一定能推出 f(a)f(b)0，如图所示。所以 f(a)f(b)0 是 yf(x)在闭区间a，b上有零点的充分不必要条件。考点一 判断函数零点所在的区间【典例 1】(1)已知函数 f(x)6xlog2x，在下列区间中，包含 f(x)零点的区间是()A(0,1)B(1,2)C(2,4)D(4，)(2)设函数 f(x)13xlnx，则函数 yf(x)()A在区间1e，1，(1，e)内均有零点B在区间1e，1，(1，e)内均无零点C在区间1e，1 内有零点，在区间(1，e)内无零点D
7、在区间1e，1 内无零点，在区间(1，e)内有零点CD解析：(1)因为 f(1)6log2160，f(2)3log2220，f(3)2log230，f(4)64log243220，所以包含 f(x)的区间是(2,4)，故选 C。(2)法一 当 x1e，e 时，函数图象是连续的，且 f(x)131xx33x 0，所以函数 f(x)在1e，e 上单调递减。又 f1e 13eln1e0，f(1)130，f(e)13elne0，法二 令 f(x)0 得13xln x。作出函数 y13x 和 yln x 的图象，如图，显然 yf(x)在1e，1 内无零点，在(1，e)内有零点，故选 D。悟技法确定函数零
8、点所在区间的方法(1)解方程法：当对应方程 f(x)0 易解时，可先解方程，然后再看求得的根是否落在给定区间上。(2)利用函数零点的存在性定理：首先看函数 yf(x)在区间a，b上的图象是否连续，再看是否有 f(a)f(b)0。若有，则函数 yf(x)在区间(a，b)内必有零点。(3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与 x 轴在给定区间上是否有交点来判断。通一类1函数 f(x)1xlog2x 的零点所在区间是()A.14，12 B.12，1C(1,2)D(2,3)解析：f14 114log214112320，f12 112log212112320，f(1)1010，f(2)12log221
9、0，由 f(1)f(2)0 知选 C。答案：C2函数 f(x)1xlog2x 的零点落在区间()A(0,1)B(1,2)C(2,3)D(3,4)解析：f(1)10，f(2)120，故其零点会落在(1,2)内。答案：B考点二 判断函数零点的个数【典例 2】函数 f(x)2x|log0.5x|1 的零点个数为()A1 B2C3 D4解析：函数 f(x)2x|log0.5x|1 的零点即 2x|log0.5x|10 的解，即|log0.5x|12x 的解，作出函数 g(x)|log0.5x|和函数 h(x)12x 的图象，由图象可知，两函数图象共有两个交点，故函数 f(x)2x|log0.5x|1
10、有2 个零点，故选 B。答案：B悟技法判断函数零点个数的方法(1)解方程法：令 f(x)0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点。(2)零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间a，b上是连续不断的曲线，且 f(a)f(b)0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质。(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题，先画出两个函数的图象，看其交点个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点。通一类3函数 f(x)xcos2x 在区间0,2上的零点的个数为()A2 B3C4 D5解析：令 f(x)xcos2x0
11、，得 x0 或 cos2x0，故 x0 或 2xk2，kZ，即 x0 或 xk2 4，kZ。又 x0,2，故 k 可取 0,1,2,3，故零点的个数有 5 个。答案：D4已知符号函数 sgn(x)1，x00，x01，x0，则函数 f(x)sgn(x1)lnx 的零点个数为()A1 B2C3 D4解析：依题意得，当 x10，即 x1 时，f(x)1lnx，令 f(x)0 得 xe1；当 x10，即 x1 时，f(1)0ln10；当 x10，即 x1 时，f(x)1lnx，令 f(x)0 得 x1e1。因此，函数f(x)的零点个数为 3。答案：C考点三 函数零点的应用【典例3】(1)已知函数f(x
12、)|x25x4|，x02|x2|，x0，若函数yf(x)a|x|恰有4个零点，则实数a的取值范围为_。(2)已知e是自然对数的底数，函数f(x)exx2的零点为a，函数g(x)lnxx2的零点为b，则f(a)，f(1)，f(b)的大小关系为_。(1,2)f(a)f(1)f(b)解析：(1)在同一平面直角坐标系内画出函数yf(x)和ya|x|的图象可知，若满足条件，则a0。当a2时，在y轴右侧，两函数图象只有一个公共点，此时在y轴左侧，射线yax(x0)与抛物线yx25x4(4x1)需相切。由yx25x4yax消去y，得x2(5a)x40。由(5a)2160，解得a1或a9。a1与a2矛盾，a9
13、时，切点的横坐标为2，不符合，故0a2，此时，在y轴右侧，两函数图象有两个公共点，若满足条件，则a1。故1a02xa，x0有且只有一个零点时，a的取值范围是()Aa0 B0a12C.12a1 Da0或a1解析：f(1)lg10，当x0时，函数f(x)没有零点，故2xa0或2xa0在(，0上恒成立，即a2x，或a2x在(，0上恒成立，故a1或a0。答案：D高考模拟1.(2016茂明一模)下列函数中，在(1,1)内有零点且单调递增的是()Aylog 12 x By2x1Cyx212 Dyx3解析：函数ylog 12 x在定义域上是减函数，yx2 12 在(1,1)上不是单调函数，yx3在定义域上单
14、调递减，均不符合要求。对于y2x1，当x0(1,1)时，y0且y2x1在R上单调递增，故选B。答案：B2(2016河南八校一模)函数f(x)lnxx12，则函数的零点所在区间是()A.14，12 B.12，34C.34，1 D(1,2)解析：函数f(x)lnxx 12 的图象在(0，)上连续，且f 34 ln343412ln34140，f(1)ln1112120，故f(x)的零点所在区间为34，1。答案：C3(2016威海一模)已知a1，设函数f(x)axx4的零点为m，g(x)logaxx4的零点为n，则mn的最大值为()A8 B4C2 D1解析：由f(x)axx40，得ax4x，函数f(x
15、)axx4的零点为m，即yax，y4x的图象相交于点(m,4m)；由g(x)logaxx40，得logax4x，函数g(x)logaxx4的零点为n，即ylogax，y4x的图象相交于点(n,4n)。因为yax，ylogax互为反函数，则(m,4m)与(n,4n)关于直线yx对称，所以m4n，即mn4，且m0，n0。由mn mn224，当且仅当mn2时“”成立，所以mn的最大值为4。故选B。答案：B4函数f(x)x22，x02x6lnx，x0 的零点个数是_。解析：当x0时，令x220，解得x2；当x0时，f(x)2x6lnx，因为f(x)2 1x 0，所以函数f(x)2x6lnx在(0，)上单调递增，因为f(1)26ln 140，f(3)ln30，所以函数f(x)2x6lnx在(0，)有且只有一个零点。综上，函数f(x)的零点个数为2。答案：25(2015湖南卷)已知函数f(x)x3，xax2，xa。若存在实数b，使函数g(x)f(x)b有两个零点，则a的取值范围是_。解析：令(x)x3(xa)，h(x)x2(xa)，函数g(x)f(x)b有两个零点，即函数yf(x)的图象与直线yb有两个交点，结合图象可得a0或(a)h(a)，即a0或a3a2，解得a0或a1，故a(，0)(1，)。答案：(，0)(1，)
