1、考点规范练54随机事件的概率基础巩固1.从正五边形的五个顶点中,随机选择三个顶点连成三角形,记“这个三角形是等腰三角形”为事件A,则下列推断正确的是()A.事件A发生的概率等于15B.事件A发生的概率等于25C.事件A是不可能事件D.事件A是必然事件答案:D解析:因为从正五边形的五个顶点中随机选三个顶点连成的三角形都是等腰三角形,所以事件A是必然事件.故选D.2.(2020山东济南期末)2020年起,山东省高考实行新方案,新高考规定:语文、数学、英语是必考科目,考生还需从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6个等级考试科目中选取3个作为选考科目.某考生已经确定物理作为自己的选考科目,然后只需
2、从剩下的5个等级考试科目中再选择2个组成自己的选考方案,则该考生“选择思想政治、化学”和“选择生物、地理”为()A.相互独立事件B.对立事件C.不是互斥事件D.互斥事件但不是对立事件答案:D解析:该考生“选择思想政治、化学”和“选择生物、地理”不能同时发生,但能同时不发生,因此该考生“选择思想政治、化学”和“选择生物、地理”为互斥事件但不是对立事件.故选D.3.从一箱产品中随机地抽取一件,设事件A为“抽到一等品”,事件B为“抽到二等品”,事件C为“抽到三等品”,且已知P(A)=0.65,P(B)=0.2,P(C)=0.1,则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为()A.0.7B.0.65C.0.
3、35D.0.5答案:C解析:“抽到的产品不是一等品”与事件A是对立事件,所求概率为1-P(A)=0.35.4.从某班学生中任意找出一人,如果该同学的身高小于160 cm的概率为0.2,该同学的身高在区间160,175(单位:cm)上的概率为0.5,那么该同学的身高超过175 cm的概率为()A.0.2B.0.3C.0.7D.0.8答案:B解析:因为必然事件发生的概率是1,所以该同学的身高超过175cm的概率为1-0.2-0.5=0.3,故选B.5.我国高铁发展迅速,技术先进.经统计,在经停某站的高铁列车中,有10个车次的正点率为0.97,有20个车次的正点率为0.98,有10个车次的正点率为0
4、.99,则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为.答案:0.98解析:由题意,得经停该高铁站的列车的正点数约为100.97+200.98+100.99=39.2,其中车次数为10+20+10=40,所以经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为39.240=0.98.6.中国乒乓球队中的甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛,已知甲夺得冠军的概率为37,乙夺得冠军的概率为14,则中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为.答案:1928解析:因为事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”包括事件“甲夺得冠军”和“乙夺得冠军”,但这两个事件不可能同时发生,即彼此互斥,所以可按互斥事件概率的加
5、法公式进行计算,即中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为37+14=1928.7.(2020广西南宁期末)在某次数学考试中,小江的成绩在90分以上的概率是x,在80,90的概率是0.48,在70,80)的概率是0.11,在60,70)的概率是0.09,在60分以下的概率是0.07.计算:(1)x的值;(2)小江在此次数学考试中取得80分及以上的概率;(3)小江考试及格(成绩不低于60分)的概率.解：(1)分别记小江的成绩在90分以上,80,90),70,80),60,70),60分以下为事件A,B,C,D,E,它们是互斥事件.由条件得P(A)=x,P(B)=0.48,P(C)=0.11,P(D)
6、=0.09,P(E)=0.07,由题意得P(A)+P(B)+P(C)+P(D)+P(E)=1,因此x=1-0.48-0.11-0.09-0.07=0.25.(2)小江的成绩在80分及以上的概率为P(AB),P(AB)=P(A)+P(B)=0.25+0.48=0.73.(3)小江考试及格(成绩不低于60分)的概率为P(E)=1-P(E)=1-0.07=0.93.8.在某商场有奖销售中,购满100元商品得1张奖券,多购多得.1 000 张奖券为一个开奖单位,设特等奖1个,一等奖10个,二等奖50个.设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A,B,C,求:(1)P(A),P(B),P(C);(
7、2)1张奖券的中奖概率;(3)1张奖券不中特等奖,且不中一等奖的概率.解：(1)由题意可知P(A)=11000,P(B)=101000=1100,P(C)=501000=120.故事件A,B,C的概率分别为11000,1100,120.(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖.设“1张奖券中奖”为事件M,则M=ABC.A,B,C两两互斥,P(M)=P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)=1+10+501000=611000.故1张奖券的中奖概率为611000.(3)设“1张奖券不中特等奖,且不中一等奖”为事件N,则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件,故P(N)=1-P(
8、AB)=1-11000+1100=9891000,即1张奖券不中特等奖,且不中一等奖的概率为9891000.能力提升9.(2020山东淄博期末)当调查敏感问题时,一般难以获得到被调查者的合作,所得结果可能不真实,此时通常采用“瓦纳随机问答法”进行调查.为调查某大学学生谈恋爱的比例,提出问题如下:问题1:你现在谈恋爱吗?问题2:你学籍号尾数是偶数吗?设计了一副纸牌共100张,其中75张标有数字1,25张标有数字2.随机调查了该校1 000名学生,每名学生任意抽取一张纸牌.若抽到标有数字1的纸牌回答问题1;若抽到标有数字2的纸牌回答问题2,回答“是”或“否”后放回.统计显示共有200名学生回答“是
9、”,估计该大学学生现在谈恋爱的百分比是()A.10%B.20%C.25%D.45%答案:A解析:由题意得回答问题2的学生有100025100=250人,故回答问题2的学生有25012=125人回答是,则回答问题1的学生有750人,其中200-125=75人回答是,因此该大学学生现在谈恋爱的百分比是75750100%=10%.故选A.10.假设甲、乙两种品牌的同类产品在某地区市场上的销售量相等,为了解它们的使用寿命,现从这两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试,统计结果如图所示.(1)估计甲品牌产品寿命小于200 h的概率;(2)在这两种品牌产品中,某个产品已使用了200 h,试估计该产品
10、是甲品牌的概率.解：(1)甲品牌产品寿命小于200h的频率为5+20100=14,用频率估计概率,可得甲品牌产品寿命小于200h的概率为14.(2)根据频数分布直方图可得寿命不低于200h的两种品牌产品共有75+70=145(个),其中甲品牌产品有75个,所以在样本中,寿命不低于200h的产品是甲品牌的频率是75145=1529.据此估计已使用了200h的该产品是甲品牌的概率为1529.11.袋中有除颜色外其他均相同的12个小球,分别为红球、黑球、黄球、绿球,从中任取一球,得到红球的概率是13,得到黑球或黄球的概率是512,得到黄球或绿球的概率也是512,分别求得到黑球、黄球和绿球的概率各是多
11、少.解：(方法一)从袋中选取一个球,记事件“摸到红球”“摸到黑球”“摸到黄球”“摸到绿球”分别为A,B,C,D,则P(A)=13,P(BC)=P(B)+P(C)=512,P(CD)=P(C)+P(D)=512,P(BCD)=P(B)+P(C)+P(D)=1-P(A)=1-13=23,解得P(B)=14,P(C)=16,P(D)=14,因此得到黑球、黄球、绿球的概率分别是14,16,14.(方法二)设红球有n个,则n12=13,即n=4,即红球有4个.又得到黑球或黄球的概率是512,所以黑球和黄球共有5个.又总球数是12,所以绿球有12-4-5=3个.又得到黄球或绿球的概率也是512,所以黄球和
12、绿球共有5个,而绿球有3个,所以黄球有5-3=2个.所以黑球有12-4-3-2=3个.因此得到黑球、黄球、绿球的概率分别是312=14,212=16,312=14.12.电影公司随机收集了电影的有关数据,经分类整理得到下表:电影类型第一类第二类第三类第四类第五类第六类电影部数14050300200800510好评率0.40.20.150.250.20.1好评率是指:一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部,求这部电影是获得好评的第四类电影的概率;(2)随机选取1部电影,估计这部电影没有获得好评的概率;(3)电影公司为增加投资回报,拟改变投资策略,
13、这将导致不同类型电影的好评率发生变化.假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化,那么哪类电影的好评率增加0.1,哪类电影的好评率减少0.1,使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大?(只需写出结论)解：(1)由题意知,样本中电影的总部数是140+50+300+200+800+510=2000.第四类电影中获得好评的电影部数是2000.25=50,故所求概率为502000=0.025.(2)设“随机选取1部电影,这部电影没有获得好评”为事件B.没有获得好评的电影共有1400.6+500.8+3000.85+2000.75+8000.8+5100.9=1628(部).由古典概型
14、概率公式得P(B)=16282000=0.814.(3)第五类电影的好评率增加0.1,第二类电影的好评率减少0.1.高考预测13.(2020海南模拟)某中学高一年级有1 000名学生,他们选考科目的情况如表所示:科目人数物理化学生物思想政治历史地理300200100200100100从这1 000名学生中随机抽取1人,分别设:事件A=“该生选了物理”;事件B=“该生选了化学”;事件C=“该生选了生物”;事件D=“该生选了思想政治”;事件E=“该生选了历史”;事件F=“该生选了地理”.(1)求P(B),P(DEF).(2)求P(CE),P(BF).(3)事件A与D是否相互独立?请说明理由.解：(
15、1)事件B=“该生选了化学”,由题意得1000名学生中选化学的学生有300+100+100=500(名),故P(B)=5001000=12.事件D=“该生选了思想政治”;事件E=“该生选了历史”;事件F=“该生选了地理”.由题意得1000名学生中同时选思想政治、历史、地理的学生有200名,故P(DEF)=2001000=15.(2)事件C=“该生选了生物”,事件E=“该生选了历史”,由题意得1000名学生中选生物或历史的学生有300+200+200+100=800(名),故P(CE)=8001000=45.事件B=“该生选了化学”,事件F=“该生选了地理,由题意得1000名学生中选化学或地理的学生有300+200+100+200+100+100=1000(名),故P(BF)=10001000=1.(3)事件A=“该生选了物理”,事件D=“该生选了思想政治”,事件A与D相互独立.理由如下:由题意得选择物理与否与选择思想政治无关,选择思想政治与否与选择物理无关,故事件A与D相互独立.