1、考点规范练53直线与圆锥曲线基础巩固1.若双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一条渐近线与抛物线y=x2+1只有一个公共点,则双曲线的离心率为()A.54B.5C.54D.52.已知抛物线y=ax2(a0)与直线y=kx+b(k0)有两个公共点,其横坐标分别是x1,x2,而直线y=kx+b与x轴焦点的横坐标是x3,则x1,x2,x3之间的关系是()A.x3=x1+x2B.x3=1x1+1x2C.x1x3=x1x2+x2x3D.x1x2=x1x3+x2x33.(2021云南玉溪一中模拟)已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点到准线的距离为1,若抛物线C上存在关于直线l:x-y-2=0对
2、称的不同两点P和Q,则线段PQ的中点坐标为()A.(1,-1)B.(2,0)C.12,-32D.(1,1)4.(2021广东梅州模拟)过点P(-1,-2)的两条直线与抛物线C:x2=4y分别相切于A,B两点,则PAB的面积为()A.272B.35C.27D.3525.已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,过F作两条互相垂直的直线l1,l2,直线l1与C交于A,B两点,直线l2与C交于D,E两点,则|AB|+|DE|的最小值为()A.16B.14C.12D.106.在平面直角坐标系xOy中,P为双曲线x2-y2=1右支上的一个动点.若点P到直线x-y+1=0的距离大于c恒成立,则实数c的最大值为.
3、7.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左焦点F(-2,0),上顶点B(0,2).(1)求椭圆C的方程;(2)若直线y=x+m与椭圆C交于不同的两点M,N,且线段MN的中点G在圆x2+y2=1上,求m的值.8.(2021云南昆明一中月考)已知直线l:y=x+m与椭圆C:x23+y2=1交于A,B两点.(1)若直线l过椭圆C的左焦点F1,求|AB|;(2)线段AB的垂直平分线与x轴交于点N12,0,求m.能力提升9.已知椭圆x216+y24=1,过右焦点F且斜率为k(k0)的直线与椭圆交于A,B两点,若AF=3FB,则k=()A.1B.2C.3D.210.已知双曲线C:x23-y2=1
4、,O为坐标原点,F为C的右焦点,过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M,N.若OMN为直角三角形,则|MN|=()A.32B.3C.23D.411.如图,O为坐标原点,过点P(0,3)作圆O的两条切线分别交椭圆C:x24+y23=1于点A,B和点D,C.(1)若圆O和椭圆C有4个公共点,求直线AB和CD的斜率之积的取值范围;(2)四边形ABCD的对角线是否交于一个定点?若是,求出该定点的坐标;若不是,请说明理由.高考预测12.(2021广西南宁三中月考)若抛物线:x2=2py(p0)上的点(t,1)到焦点F的距离为2,平行于y轴的两条直线l1,l2分别交于A,B两点,交的准线于C,D两点.(
5、1)若F在线段AB上,E是CD的中点,证明:AEFD;(2)若过P(0,2)的直线交于G,H,以GH为直径的圆交y轴于M,N,证明:OMON为定值.答案：1.D解析不妨设双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一条渐近线y=bax与y=x2+1只有一个交点,由y=bax,y=x2+1,得ax2-bx+a=0,所以=b2-4a2=0,即c2-a2-4a2=0,c2a2=5,e=ca=5.故选D.2.D解析由题意x3=-bx,联立抛物线y=ax2(a0)与直线y=kx+b,得ax2-kx-b=0,0,x1+x2=ka,x1x2=-ba,1x1+1x2=-kb,x1x2=x1x3+x2x3,故选
6、D.3.A解析因为焦点到准线的距离为p,则p=1,所以y2=2x.设点P(x1,y1),Q(x2,y2).则y12=2x1,y22=2x2,则(y1-y2)(y1+y2)=2(x1-x2),kPQ=2y1+y2.P,Q关于直线l对称,kPQ=-1,即y1+y2=-2,y1+y22=-1.PQ的中点一定在直线l上,故x1+x22=y1+y22+2=1.故线段PQ的中点坐标为(1,-1).4.A解析抛物线C:x2=4y,即y=14x2,故y=12x.设A,B两点的坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),则有12x1=y1+2x1+1,整理得x1+2y1=4,同理x2+2y2=4.故直线AB的方程
7、为x+2y=4,由x+2y=4,x2=4y,得x2+2x-8=0,故x1+x2=-2,x1x2=-8,|AB|=1+14(-2)2-4(-8)=35.因为点P(-1,-2)到直线AB的距离为d=|-1-4-4|12+22=95,故PAB的面积为123595=272.5.A解析(方法一)由题意,易知直线l1,l2斜率不存在时,不合题意.设直线l1方程为y=k1(x-1),联立抛物线方程,得y2=4x,y=k1(x-1),消去y,得k12x2-2k12x-4x+k12=0,所以x1+x2=2k12+4k12.同理,直线l2与抛物线的交点满足x3+x4=2k22+4k22.由抛物线定义可知|AB|+
8、|DE|=x1+x2+x3+x4+2p=2k12+4k12+2k22+4k22+4=4k12+4k22+8216k12k22+8=16,当且仅当k1=-k2=1(或-1)时,取得等号.(方法二)如图所示,由题意可得F(1,0),设AB倾斜角为不妨令0,2.作AK1垂直于准线且垂足为K1,AK2垂直于x轴且垂足为K2,结合图形,根据抛物线的定义,可得|AF|cos+|GF|=|AK1|,|AK1|=|AF|,|GF|=2,所以|AF|cos+2=|AF|,即|AF|=21-cos.同理可得|BF|=21+cos,所以|AB|=41-cos2=4sin2.又DE与AB垂直,即DE的倾斜角为2+,则
9、|DE|=4sin22+=4cos2,所以|AB|+|DE|=4sin2+4cos2=4sin2cos2=414sin22=16sin2216,当=4时取等号,即|AB|+|DE|的最小值为16,故选A.6.22解析直线x-y+1=0与双曲线的渐近线y=x平行,且两平行线间的距离为22.由图形知,双曲线右支上的动点P到直线x-y+1=0的距离的最小值无限趋近于22,要使距离d大于c恒成立,只需c22即可,故c的最大值为22.7.解(1)由题意可得,c=2,b=2,由a2=b2+c2得a2=22+22=8,故椭圆C的方程为x28+y24=1.(2)设点M,N的坐标分别为(x1,y1),(x2,y
10、2),线段MN的中点G(x0,y0),由y=x+m,x28+y24=1,消去y得3x2+4mx+2m2-8=0,则=96-8m20,解得-23m0,且x1+x2=-322,x1x2=34,所以|AB|=2(x1+x2)2-4x1x2=2-3222-3=3.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点M(x0,y0),由题知线段AB的垂直平分线方程为y=-x+12,直线AB不平行于y轴,即x1x2,由x123+y12=1,x223+y22=1,两式相减整理得y1-y2x1-x2y1+y2x1+x2=-13.因为M(x0,y0)是AB的中点,所以2x0=x1+x2,2y0=y1+y2.因
11、为MNAB,所以kAB=-1kMN=12-x0y0,所以变形为12-x0y02y02x0=-13,解得x0=34,所以y0=-14,代入直线y=x+m,可得-14=34+m,解得m=-1.9.B解析c2=a2-b2=16-4=12,c=23.椭圆的右焦点F(23,0).设过右焦点F且斜率为k(k0)的直线为my=x-23,m0,其中m=1k.设A(x1,y1),B(x2,y2).联立my=x-23,x216+y24=1,消去x,得到(4+m2)y2+43my-4=0.y1+y2=-434+m2,y1y2=-44+m2.AF=3FB,即(23-x1,-y1)=3(x2-23,y2),-y1=3y
12、2,联立方程组-y1=3y2,y1+y2=-434+m2,y1y2=-44+m2,得到m2=12,1k2=12,即k2=2.又k0,k=2.故选B.10.B解析由条件知F(2,0),渐近线方程为y=33x,所以NOF=MOF=30,MON=6090.不妨设OMN=90,则|MN|=3|OM|.又|OF|=2,在RtOMF中,|OM|=2cos30=3,所以|MN|=3.11.解(1)若圆O和椭圆C有4个交点,则r2(3,4),设过点P的切线方程为y=kx+3,则r=31+k2(3,2),即k254,2,又因为直线y=kx+3和椭圆有两个交点,将y=kx+3代入椭圆C:x24+y23=1,消去y
13、,可得(3+4k2)x2+24kx+24=0,因为=96(2k2-3)0,所以k232,由可得k232,2,所以kABkCD=-k2-2,-32.(2)设AC:y=kx+t,由y=kx+t,x24+y23=1,消去y,可得(3+4k2)x2+8ktx+4t2-12=0,设A(x1,y1),C(x2,y2),当0时,则x1+x2=-8kt3+4k2,x1x2=4t2-123+4k2.由题设条件易知kPA+kPC=0,所以kPA+kPC=y1-3x1+y2-3x2=x2(y1-3)+x1(y2-3)x1x2=x2(kx1+t-3)+x1(kx2+t-3)x1x2=2kx1x2+(t-3)(x1+x
14、2)x1x2=0,即2kx1x2+(t-3)(x1+x2)=2k(4t2-12)-8kt(t-3)3+4k2=24k(t-1)3+4k2=0对一切k成立,所以t=1,此时满足0,即直线AC过定点(0,1),同理可得直线BD也过定点(0,1),所以,四边形ABCD的对角线交于定点(0,1).12.证明(1)由题意1+p2=2,p=2,抛物线方程为x2=4y,焦点为F(0,1),准线方程为y=-1,设直线AB方程为y=kx+1,设A(x1,y1),B(x2,y2),由y=kx+1,x2=4y得x2-4kx-4=0,x1+x2=4k,x1x2=-4,所以Ex1+x22,-1.又D(x2,-1),要证
15、AEFD,即证kAE=kFD,即证y1+1x1-x1+x22=2-x2,只要证y1+1x1-x2=-1x2.又y1=x124,x2=-4x1,所以x124+1x1+4x1=x14=-1x2成立,所以AEFD.(2)设直线AB方程为y=kx+2,A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点为Q(x0,y0),由y=kx+2,x2=4y得x2-4kx-8=0,=16k2+320,x1+x2=4k,x1x2=-8,所以x0=x1+x22=2k,y0=kx0+2=2k2+2,即Q(2k,2k2+2).又|AB|=1+k2|x1-x2|=1+k2(x1+x2)2-4x1x2=4(1+k2)(2+k2),所以以AB为直径的圆的方程为(x-2k)2+(y-2k2-2)2=4(1+k2)(2+k2),令x=0得y2-(4k2+4)y-4=0.设M(0,y3),N(0,y4),则y3y4=-4,所以OMON=y3y4=-4为定值.
