1、单元质检十二概率(A)(时间:45分钟满分:100分)一、选择题(本大题共6小题,每小题7分,共42分)1.(2021贵州遵义模拟)在区间-2,2内随机取一个数a,则关于x的方程x2-2x+a=0有实根的概率是()A.15B.14C.34D.132.若B(n,p)且E()=6,D()=3,则P(=1)的值为()A.322B.3210C.2-4D.2-83.(2021广西南宁阶段检测)哥尼斯堡“七桥问题”是著名的古典数学问题,它描述的是:在哥尼斯堡的一个公园里,有七座桥将普雷格尔河中两个岛及岛与河岸连接起来(如图1所示).问是否可能从这四块陆地中的任一块出发,恰好通过每座桥一次,再回到起点?瑞士
2、数学家欧拉于1736年研究并解决了此问题,他把该问题归结为如图2所示的“一笔画”问题,并证明了上述走法是不可能的.假设在图2所示七条线中随机选取两条不同的线,则这两条线都与A直接相连的概率为()A.27B.37C.12D.10214.某商场为了解毛衣的月销售量y(件)与月平均气温x()之间的关系,随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温,其数据如下表:月平均气温x/171382月销售量y/件24334055由表中数据算出线性回归方程y=bx+a中的b=-2,气象部门预测下个月的平均气温约为6 ,据此估计该商场下个月毛衣销售量约为()A.46件B.40件C.38件D.58件5.(2021新高考
3、)某物理量的测量结果服从正态分布N(10,2),下列结论中不正确的是()A.越小,该物理量在一次测量中在(9.9,10.1)的概率越大B.越小,该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5C.越小,该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等D.越小,该物理量在一次测量中落在(9.9,10.2)与落在(10,10.3)的概率相等6.设随机变量X服从二项分布XB5,12,则函数f(x)=x2+4x+X存在零点的概率是()A.56B.45C.3132D.12二、填空题(本大题共2小题,每小题7分,共14分)7.(2021四川成都七中高三期中)已知某品牌电子元件的使用寿命X(单位:天)服
4、从正态分布N(98,64).(1)一个该品牌电子元件的使用寿命超过100天的概率为;(2)由三个该品牌的电子元件组成的一条电路(如图所示)在100天后仍能正常工作(要求K能正常工作,A,B中至少有一个能正常工作,且每个电子元件能否正常工作相互独立)的概率为.(参考公式:若XN(,2),则P(-0.25X+0.25)=0.2)8.在区间0,1上随机抽取两个数x,y,则事件“xy12”发生的概率为.三、解答题(本大题共3小题,共44分)9.(14分)(2021广西柳州一模)根据国家工信部关于全面推行中国特色企业新型学徒制,加强技能人才培养的通知,我区明确面向各类企业全面推行企业新型学徒制培训,深化
5、产教融合,校企合作,学徒培养目标以符合企业岗位需要的中、高级技术工人.2020年度某企业共需要学徒制培训200人,培训结束后进行考核,现对考核取得相应岗位证书进行统计,统计情况如下表:岗位证书初级工中级工高级工技师高级技师人数2060604020(1)现从这200人中采用分层抽样的方式选出10人组成学习技能经验交流团,求交流团中取得技师类(包括技师和高级技师)岗位证书的人数;(2)再从(1)选出的10人交流团中任意抽出3人作为代表发言,记这3人中技师类的人数为X,求随机变量X的分布列和数学期望.10.(15分)随着金融市场的发展,越来越多人选择投资“黄金”作为理财的手段,下面将A市把黄金作为理
6、财产品的投资人的年龄情况统计如图所示.(1)求图中a的值;(2)求把黄金作为理财产品的投资者的年龄的中位数以及平均数;(结果用小数表示,小数点后保留两位有效数字)(3)以频率估计概率,现从所有投资者中随机抽取4人,记年龄在区间20,40)内的人数为X,求X的分布列及数学期望E(X).11.(15分)为了更好地贯彻党的“五育并举”的教育方针,某市为了解全市中小学生“体能达标”情况,决定通过随机抽样选择几个样本校对学生进行体能达标测试,并规定测试成绩低于60分为不合格,否则为合格.若样本校学生不合格人数不超过其总人数的5%,则该样本校体能达标为合格.已知某样本校共有1 000名学生,现从中随机抽取
7、40名学生参加体能达标测试,首先将这40名学生随机分为甲、乙两组,其中甲、乙两组学生人数的比为32,测试后,两组各自的成绩统计如下:甲组的平均成绩为70,方差为16,乙组的平均成绩为80,方差为36.(1)估计该样本校学生体能测试的平均成绩;(2)求该样本校40名学生测试成绩的标准差s;(3)假设该样本校体能达标测试成绩服从正态分布N(,2),用样本平均数x作为的估计值,用样本标准差s作为的估计值,利用估计值估计该样本校学生体能达标测试是否合格.(注:本题所有数据的最后结果都精确到整数;若随机变量z服从正态分布,则P(-Z+)0.682 7,P(-2Z+2)0.954 5,P(-3Z100)=
8、1-P(-0.25X+0.25)2=0.4.(2)由题意,使电路能正常工作的概率P=252525+251-2525+25251-25=32125.8.1-ln22解析设P(x,y).0x1,0y1,点P落在正方形OABC内部(含边界),如图.作曲线y=12x,交正方形OABC于D,E两点,则满足条件xy12的点P落在区域BDE内(含边界),如图阴影部分所示.由于S阴影=121-12112xdx=12-12ln2.因此“xy12”发生的概率为S阴影S正方形OABC=12-12ln2.9.解(1)从200人中采用分层抽样的方式选出10人,故抽样比是10200=120,故技师和高级技师应该抽取的人数
9、是(40+20)120=3.(2)根据(1)中所求,10人中有3人是技师,7人是非技师.则从10人中抽取3人,技师人数X可以取:0,1,2,3.P(X=0)=C73C103=724,P(X=1)=C31C72C103=2140,P(X=2)=C32C71C103=740,P(X=3)=C33C103=1120.故X的分布列如下所示X0123P72421407401120则E(X)=0724+12140+2740+31120=910.故随机变量X的数学期望是910.10.解(1)依题意,0.07+0.18+10a+0.25+0.2=1,解得a=0.03.(2)平均数为250.07+350.18+
10、450.3+550.25+650.2=48.30.中位数为40+0.5-0.250.0348.33.(3)依题意,年龄在区间20,40)内的概率为0.00710+0.01810=0.25=14,以频率估计概率,则年龄在区间20,40)内的概率为P=14,现从所有投资者中随机抽取4人,年龄在区间20,40)内的人数为X,则X的可能取值为0,1,2,3,4,XB4,14,故P(X=0)=344=81256,P(X=1)=C4114343=2764,P(X=2)=C42142342=27128,P(X=3)=C4314334=364,P(X=4)=144=1256.因此X的分布列为X01234P81
11、2562764271283641256故随机变量X的数学期望E(X)=414=1.11.解(1)由题知,甲、乙两组学生数分别为24和16,则这40名学生测试成绩的平均分x=7024+801640=74.故可估计该样本校学生体能测试的平均成绩为74.(2)由s2=1ni=1n(xi-x)2变形得s2=1ni=1n(xi2-nx2),设甲组学生的测试成绩分别为x1,x2,x3,x24,乙组学生的测试成绩分别为x25,x26,x27,x40,则甲组的方差为s12=124(x12+x22+x242)-24702=42,解得x12+x22+x242=24(16+702).乙组的方差为s22=116(x2
12、52+x262+x402)-16802=62,解得x252+x262+x402=16(36+802).这40名学生的方差为s2=140(x12+x22+x242+x252+x262+x402)-40x2=14024(16+702)+16(36+802)-40742=48,所以s=48=437.综上,标准差s=7.(3)由x=74,s7,得的估计值为=74,的估计值=7,故P(-2X+2)=P(74-27X74+27)=0.954 5,即P(60X88)=0.954 5,所以P(X60)=P(X88)=121-P(60X88)=12(1-0.954 5)=0.022 75.从而,在全校1 000名学生中,体能达标测试“不合格”的有1 0000.022 75=22.7523(人).而2310005%,故可估计该样本校学生体能达标测试合格.